Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-001

Паралельні прямі з висот і описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Відрізки EFEF і ADAD перетинаються в точці GG. Нехай KK — точка описаного кола трикутника ABCABC, діаметрально протилежна точці AA. Пряма AKAK перетинає BCBC в точці MM. Доведіть, що прямі GMGM і HKHK паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-032

Перетин дотичних і паралельні прямі

Нехай дано трикутник ABCABC. Коло kk проходить через AA, перетинає сторони AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає сторону BC‾\overline{BC} в точках FF і GG, причому FF лежить між BB і GG. Дотична до кола, що проходить через BB, DD і FF, в точці FF і дотична до кола, що проходить через CC, EE і GG, в точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що A≠TA \neq T. Доведіть, що прямі ATAT і BCBC паралельні.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2019-006

Центр вписаного кола і бісектриса кута

Нехай ABCABC — трикутник і нехай II — центр вписаного кола цього трикутника. Пряма через II, перпендикулярна до AIAI, перетинає описане коло △ABC\triangle ABC в точках PP і QQ, причому PP лежить з того самого боку від прямої AIAI, що й BB. Нехай SS — друга точка перетину описаних кіл △BIP\triangle BIP і △CIQ\triangle CIQ. Доведіть, що SISI є бісектрисою ∠PSQ\angle PSQ.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2019-013

Спільна точка кола та прямих у трикутнику з паралелограмом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, OO — центр його описаного кола. Точка QQ лежить на описаному колі △BOC\triangle BOC так, що OQOQ — діаметр. Точка MM лежить на прямій CQCQ, а точка NN лежить всередині відрізка BCBC так, що ANCMANC M — паралелограм. Доведіть, що описане коло △BOC\triangle BOC та прямі AQAQ і NMNM проходять через одну точку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-017

Вписаний чотирикутник з паралельних прямих

Дано трикутник ABCA B C. На стороні ACA C лежать точки DD і EE так, що порядок точок на цій прямій — A,E,D,CA, E, D, C. Пряма через EE, паралельна до BCB C, перетинає описане коло △ABD\triangle A B D у точці FF, причому EE і FF лежать по різні боки від прямої ABA B. Пряма через EE, паралельна до ABA B, перетинає описане коло △BCD\triangle B C D у точці GG, причому EE і GG лежать по різні боки від прямої BCB C. Доведіть, що DEFGD E F G — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-019

Рівні кути PXM і PYM та вписаний чотирикутник APXY

Нехай ABCABC — трикутник з AB=ACAB = AC, а MM — середина відрізка BCBC. Нехай PP — точка така, що PB<PCPB < PC і PAPA паралельна BCBC. Нехай далі XX і YY — точки на прямих PBPB і PCPC відповідно, такі, що BB лежить на відрізку PXPX, а CC лежить на відрізку PYPY, і виконується ∠PXM=∠PYM\angle PXM = \angle PYM. Доведіть, що APXYAPXY — вписаний чотирикутник.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-004

Перпендикулярність у трикутнику з серединою бісектриси

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай DD — основа внутрішньої бісектриси, проведеної з AA, а MM — середина відрізка ADAD. Нехай також XX — точка на відрізку BMBM така, що ∠MXA=∠DAC\angle MXA = \angle DAC. Доведіть, що пряма AXAX перпендикулярна до прямої XCXC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2019-001

Трикутник з паралельною DE і умовою FE = AD

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з основою BCBC, а D,ED, E — точки на сторонах AB,BCAB, BC відповідно, такі, що прямі DEDE і ACAC паралельні. Розглянемо також точку FF на прямій DEDE, що лежить з протилежного від DD боку відносно EE і таку, що FEFE дорівнює ADAD. Нехай OO — центр описаного кола трикутника BDEBDE, доведіть, що точки O,F,A,DO, F, A, D лежать на одному колі.
9–11 класиОписане коло
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-010

Бісектриса кута у чотирикутнику з прямими кутами

Нехай XX — перетин діагоналей ACAC і BDBD опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай PP — перетин прямих ABAB і CDCD, а QQ — перетин прямих PXPX і ADAD. Припустімо, що ∠ABX=∠XCD=90∘\angle ABX = \angle XCD = 90^{\circ}. Доведіть, що пряма QPQP є бісектрисою кута ∠BQC\angle BQC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-048

Перпендикулярні хорди і діаметр кола

На наведеному малюнку хорди DEDE і BCBC перпендикулярні, причому BCBC — діаметр кола з центром у AA. Крім того, ∠CGF=40∘\angle CGF = 40^\circ і GH=2 смGH = 2\ \text{см}. a) Визначте величину кута ∠CHF\angle CHF. b) Знайдіть довжину HJHJ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-013

Трикутник зі співвідношенням кутів і точкою всередині

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠CAB=2⋅∠ABC\angle CAB = 2 \cdot \angle ABC. Припустимо, що існує точка DD всередині трикутника ABCABC така, що AD=BDAD = BD і CD=ACCD = AC. Доведіть, що ∠ACB=3⋅∠DCB\angle ACB = 3 \cdot \angle DCB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-031

Рівність синусів кутів у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — точка всередині трикутника ABCABC. Нехай DD — середина відрізка [PC][PC], EE — точка перетину прямих (AP)(AP) і (BC)(BC), а QQ — точка перетину прямих (BP)(BP) і (DE)(DE). Доведіть, що якщо кути PAC^\widehat{PAC} і PCB^\widehat{PCB} рівні, то sin⁡(BCQ^)=sin⁡(BAP^)\sin (\widehat{BCQ}) = \sin (\widehat{BAP}).
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-039

Паралельні прямі з дотичної та середин сторін

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через L,M,NL, M, N середини відрізків [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB]. Позначимо через (d)(d) дотичну в точці AA до описаного кола трикутника ABCABC. Пряма (LM)(LM) перетинає (d)(d) у точці PP, а пряма (LN)(LN) перетинає (d)(d) у точці QQ. Доведіть, що прямі (CP)(CP) і (BQ)(BQ) паралельні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-042

Точки сітки зі вписаними чотирикутниками

На площині дано 16 попарно різних точок, які позначено Ai,jA_{i, j} для i,j∈{1,2,3,4}i, j \in \{1,2,3,4\}. Ці точки задовольняють такі співвідношення колінеарності та вписаності в коло: ▹\triangleright для всякого i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точки Ai,1,Ai,2,Ai,3A_{i, 1}, A_{i, 2}, A_{i, 3} і Ai,4A_{i, 4} колінеарні; ▹\triangleright для всякого j∈{1,2,3,4}j \in \{1,2,3,4\} точки A1,j,A2,j,A3,jA_{1, j}, A_{2, j}, A_{3, j} і A4,jA_{4, j} колінеарні; ▹\triangleright чотирикутники A1,1A1,2A2,2A2,1,A2,1A2,2A3,2A3,1,A3,1A3,2A4,2A4,1,A1,2A1,3A2,3A2,2A_{1,1} A_{1,2} A_{2,2} A_{2,1}, A_{2,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{3,1}, A_{3,1} A_{3,2} A_{4,2} A_{4,1}, A_{1,2} A_{1,3} A_{2,3} A_{2,2}, A1,3A1,4A2,4A2,3,A1,1A2,2A2,3A1,4A_{1,3} A_{1,4} A_{2,4} A_{2,3}, A_{1,1} A_{2,2} A_{2,3} A_{1,4} і A1,1A2,2A3,2A4,1A_{1,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{4,1} є вписаними. Доведіть, що чотирикутник A4,1A3,2A3,3A4,4A_{4,1} A_{3,2} A_{3,3} A_{4,4} також є вписаним. Зауваження: чотирикутник називається вписаним, якщо його чотири вершини лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2018-007

Дотична до описаного кола перпендикулярна до сторони

Дано трикутник △ABC\triangle A B C з ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}. Середину катета ACA C позначимо через DD, а ортогональну проєкцію CC на пряму BDB D позначимо через EE. Доведіть, що дотична в CC до описаного кола трикутника △AEC\triangle A E C перпендикулярна до гіпотенузи ABA B.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-008

Центр описаного кола на медіані трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а OO — центр його описаного кола. Пряма OAOA перетинає висоту hbh_{b} в точці PP, а висоту hch_{c} в точці QQ. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника PQHPQH лежить на медіані трикутника ABCABC, що проходить через AA.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2018-014

Висоти трикутника з рівними відстанями

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай DD — основа висоти з AA. На відрізку ADAD лежать різні точки EE і FF такі, що ∣AE∣=∣BE∣|AE| = |BE| і ∣AF∣=∣CF∣|AF| = |CF|. Точка T≠DT \neq D така, що ∠BTE=∠CTF=90∘\angle BTE = \angle CTF = 90^\circ. Доведіть, що ∣TA∣2=∣TB∣⋅∣TC∣|TA|^2 = |TB| \cdot |TC|. Розглядаємо конфігурацію з порядком точок як на малюнку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2018-032

Конкурентність дотичних на описаному колі трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром вписаного кола II, центром описаного кола OO та описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина сторони AB‾\overline{AB}. Промінь AIAI перетинає BC‾\overline{BC} у точці DD. Позначимо через ω\omega і γ\gamma описані кола трикутників △BIC\triangle BIC і △BAD\triangle BAD відповідно. Пряма MOMO перетинає ω\omega у точках XX і YY, а пряма COCO перетинає ω\omega у точках CC і QQ. Припустімо, що точка QQ лежить усередині △ABC\triangle ABC і що ∠AQM=∠ACB\angle AQM = \angle ACB. Проведено дотичні до кола ω\omega у точках XX і YY та дотичні до кола γ\gamma у точках AA і DD. За умови ∠BAC≠60∘\angle BAC \neq 60^\circ доведіть, що ці чотири прямі перетинаються в одній точці, що лежить на колі Γ\Gamma.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2018-027

Перетин прямих у трикутнику з побудованими точками

Нехай ABCABC — трикутник, MM — середина відрізка BCBC, а DD — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і DD. Нехай EE — точка з іншого боку від прямої CDCD, ніж BB, така, що ∠EDC=∠ACB\angle EDC = \angle ACB і ∠DCE=∠BAC\angle DCE = \angle BAC. Нехай FF — перетин прямої CECE з прямою, паралельною до DEDE, що проходить через AA, а ZZ — перетин прямих AEAE і DFDF. Доведіть, що прямі ACAC, BFBF і MZMZ перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-001

Трикутник з перпендикулярністю бісектриси

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — його внутрішня точка. Нехай HH — точка на стороні BCBC така, що бісектриса кута AHP^\widehat{AHP} перпендикулярна до прямої BCBC. Відомо, що ABC^=HPC^\widehat{ABC}=\widehat{HPC} і BPC^=130∘\widehat{BPC}=130^\circ, знайдіть величину кута BAC^\widehat{BAC}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-029

Рівнобедрений трикутник з внутрішньою точкою

На рисунку нижче ABCABC — рівнобедрений трикутник із BA=BCBA = BC. Точка DD лежить всередині нього так, що ∠ABD=13∘\angle ABD = 13^{\circ}, ∠ADB=150∘\angle ADB = 150^{\circ} і ∠ACD=30∘\angle ACD = 30^{\circ}. Крім того, ADEADE — рівносторонній трикутник. Знайдіть величину кута ∠DBC\angle DBC.
8–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-011

Сума відрізків від бісектриси в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник і γ=∠ACB\gamma = \angle ACB, причому γ/2<∠BAC\gamma / 2 < \angle BAC і γ/2<∠CBA\gamma / 2 < \angle CBA. Нехай DD — точка на відрізку BCBC, така, що ∠BAD=γ/2\angle BAD = \gamma / 2. Нехай EE — точка на відрізку CACA, така, що ∠EBA=γ/2\angle EBA = \gamma / 2. Крім того, нехай FF — точка перетину бісектриси кута ∠ACB\angle ACB з відрізком ABAB. Доведіть, що EF+FD=ABEF + FD = AB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-022

Ортоцентр як центр вписаного кола ортотрикутника

Нехай ABCABC — трикутник. HH — його ортоцентр, а PP, QQ і RR — основи висот, проведених з AA, BB і CC. Доведіть, що HH — центр вписаного кола трикутника PQRPQR.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-023

Центр описаного кола рівновіддалений від точок перетину кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Позначимо через OO центр його описаного кола. Нехай ΓB\Gamma_{B} — коло, що проходить через AA і BB та дотикається до (AC)(AC), а ΓC\Gamma_{C} — коло, що проходить через AA і CC та дотикається до (AB)(AB). Пряма Δ\Delta, що проходить через AA, перетинає ΓB\Gamma_{B} повторно в точці XX, а ΓC\Gamma_{C} — в точці YY. Доведіть, що OX=OYOX = OY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-063

Вписаний чотирикутник із бісектриси кута

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом CC. Нехай DD — основа висоти, проведеної з CC, а ZZ — точка на відрізку [AB][AB] така, що AC=AZAC = AZ. Бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинає прямі (CB)(CB) і (CZ)(CZ) у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що чотири точки BB, XX, YY, DD лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.