Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 038 задач
АлгебраПеретворення виразів
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-016

Система з квадратними коренями

Знайдіть усі дійсні числа xx і yy такі, що (x−x2+1)(y−y2+1)=1 і (x2+y+2)(y2+x+2)=8.\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(y-\sqrt{y^{2}+1}\right)=1 \text{ і }\left(x^{2}+y+2\right)\left(y^{2}+x+2\right)=8 .
8–10 класиПеретворення ірраціональних вираз…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-019

Найбільший степінь неолімпійського монома

Позначимо через Z[x,y,z]\mathbb{Z}[x, y, z] множину многочленів з цілими коефіцієнтами від трьох змінних x,yx, y і zz. Будемо далі казати, що многочлен P∈Z[x,y,z]P \in \mathbb{Z}[x, y, z] є олімпійським, якщо Z[x,y,z]\mathbb{Z}[x, y, z] містить многочлени A,BA, B і CC такі, що P(x,y,z)=(x+y+z)A(x,y,z)+(xy+yz+zx)B(x,y,z)+xyzC(x,y,z).P(x, y, z)=(x+y+z) A(x, y, z)+(x y+y z+z x) B(x, y, z)+x y z C(x, y, z) . Знайти найбільше ціле число nn, для якого існують невід'ємні цілі числа i,ji, j і kk із сумою i+j+k=ni+j+k=n і такі, що многочлен xiyjzkx^{i} y^{j} z^{k} не є олімпійським. Зауваження: многочлен з цілими коефіцієнтами від змінних x,yx, y і zz — це функція, яку можна записати як суму доданків вигляду λxiyjzk\lambda x^{i} y^{j} z^{k}, де λ\lambda — ціле число, а i,ji, j і kk — невід'ємні цілі числа. Наприклад, x−y+1x-y+1 і xy+yz+zxx y+y z+z x — такі многочлени, а πxyz,exp⁡(x),x/(y2+1)\pi x y z, \exp (x), x /(y^{2}+1) і xy+z\sqrt{x y+z} — ні.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-001

Цілі значення вкладених радикалів

Нехай aa і bb — натуральні числа, причому a>ba > b. Припустімо, що a+b+a−b\sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{b}} є цілим числом. a. Чи обов'язково a\sqrt{a} є цілим числом? b. Чи обов'язково b\sqrt{b} є цілим числом?
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-060

Добутки значень слів з обмеженнями

Нехай h⋅a⋅r⋅v⋅a⋅r⋅d=m⋅i⋅t=h⋅m⋅m⋅t=100.h \cdot a \cdot r \cdot v \cdot a \cdot r \cdot d = m \cdot i \cdot t = h \cdot m \cdot m \cdot t = 100. Знайдіть (r⋅a⋅d)⋅(t⋅r⋅i⋅v⋅i⋅a)(r \cdot a \cdot d) \cdot (t \cdot r \cdot i \cdot v \cdot i \cdot a).
10–11 класиПеретворення дробів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-009

Сума кратних з кубічним параметром

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких - сума перших mm кратних числа nn дорівнює 120120, і - сума перших m3m^{3} кратних числа n3n^{3} дорівнює 40320004032000. Знайдіть суму перших m2m^{2} кратних числа n2n^{2}.
10–11 класиАрифметична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-098

Сума розв'язків рівняння для десятої ітерації функції

Визначимо функцію f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} формулою f(x)={1x2+x4+2x якщо x∉(−23,0]0 інакше f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x^{4}+2 x}} & \text{ якщо } x \notin(-\sqrt[3]{2}, 0] \\ 0 & \text{ інакше }\end{cases} Суму всіх дійсних чисел xx, для яких f10(x)=1f^{10}(x)=1, можна записати у вигляді a+bcd\frac{a+b \sqrt{c}}{d}, де a,b,c,da, b, c, d — цілі числа, dd — додатне, cc — вільне від квадратів, а НСД(a,b,d)=1\text{НСД}(a, b, d)=1. Знайдіть 1000a+100b+10c+d1000 a+100 b+10 c+d. (Тут fn(x)f^{n}(x) — це функція f(x)f(x), ітерована nn разів. Наприклад, f3(x)=f(f(f(x)))f^{3}(x)=f(f(f(x))).)
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-114

Комплексні числа з рівними модулями

Нехай xx, yy і zz — комплексні числа з рівними модулями, які задовольняють x+y+z=−32−i5x + y + z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i \sqrt{5} і xyz=3+i5.xyz = \sqrt{3} + i \sqrt{5}. Якщо x=x1+ix2x = x_1 + i x_2, y=y1+iy2y = y_1 + i y_2 і z=z1+iz2z = z_1 + i z_2 для дійсних x1x_1, x2x_2, y1y_1, y2y_2, z1z_1 і z2z_2, то (x1x2+y1y2+z1z2)2\left(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\right)^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-075

Сума із симетричними оберненими умовами

Нехай x,y,zx, y, z — дійсні числа, що задовольняють 1x+y+z=x+1y+z=x+y+1z=3.\frac{1}{x} + y + z = x + \frac{1}{y} + z = x + y + \frac{1}{z} = 3. Сума всіх можливих значень x+y+zx + y + z може бути записана у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n) = 1. Знайдіть 100m+n100m + n.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2021-009

Попарні суми та вирази x² + y² + 6xy

Знайдіть усі четвірки (x1,x2,x3,x4)(x_1, x_2, x_3, x_4) дійсних чисел, які є розв’язками такої системи з шести рівнянь: \begin{align*} x_1 + x_2 &= x_3^2 + x_4^2 + 6x_3x_4, \\ x_1 + x_3 &= x_2^2 + x_4^2 + 6x_2x_4, \\ x_1 + x_4 &= x_2^2 + x_3^2 + 6x_2x_3, \\ x_2 + x_3 &= x_1^2 + x_4^2 + 6x_1x_4, \\ x_2 + x_4 &= x_1^2 + x_3^2 + 6x_1x_3, \\ x_3 + x_4 &= x_1^2 + x_2^2 + 6x_1x_2. \end{align*}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2021-012

Симетрична система з модулями

Знайдіть усі трійки (x,y,z)(x, y, z) дійсних чисел, для яких виконується x2−yz=∣y−z∣+1,y2−zx=∣z−x∣+1,z2−xy=∣x−y∣+1\begin{aligned} & x^{2}-y z=|y-z|+1, \\ & y^{2}-z x=|z-x|+1, \\ & z^{2}-x y=|x-y|+1 \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-012

Максимум добутку впорядкованих цілих чисел

Нехай aa, bb, cc, dd — цілі числа такі, що a>b>c>d≥−2021a > b > c > d \geq -2021 і a+bb+c=c+dd+a\frac{a + b}{b + c} = \frac{c + d}{d + a} (причому b+c≠0≠d+ab + c \neq 0 \neq d + a). Яке найбільше можливе значення acac?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-012

Подільність зважених степеневих сум

Нехай a>2a > 2 — ціле число. Нехай x=(a−1)⋅aa−2+(a−2)⋅aa−3+⋯+2⋅a1+1⋅a0,x = (a-1) \cdot a^{a-2} + (a-2) \cdot a^{a-3} + \dots + 2 \cdot a^1 + 1 \cdot a^0, y=1⋅aa−2+2⋅aa−3+⋯+(a−2)⋅a1+(a−1)⋅a0.y = 1 \cdot a^{a-2} + 2 \cdot a^{a-3} + \dots + (a-2) \cdot a^1 + (a-1) \cdot a^0. Доведіть, що x−1x - 1 ділиться на y+1y + 1.
11 класРозкладання на множники і розкрит…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-004

Сума дробів із квадратами у знаменнику

Знайдіть значення виразу 1(12019)2+1+1(22018)2+1+1(32017)2+1+⋯+1(20182)2+1+1(20191)2+1\frac{1}{\left(\frac{1}{2019}\right)^2 + 1} + \frac{1}{\left(\frac{2}{2018}\right)^2 + 1} + \frac{1}{\left(\frac{3}{2017}\right)^2 + 1} + \dots + \frac{1}{\left(\frac{2018}{2}\right)^2 + 1} + \frac{1}{\left(\frac{2019}{1}\right)^2 + 1}
8–10 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-118

Вкладені логарифми з різними основами

Нехай a=256a = 256. Знайдіть єдине дійсне число x>a2x > a^{2} таке, що log⁡alog⁡alog⁡ax=log⁡a2log⁡a2log⁡a2x\log_{a} \log_{a} \log_{a} x = \log_{a^{2}} \log_{a^{2}} \log_{a^{2}} x
10–11 класиПоказникові та логарифмічні рівня…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-012

Різниця послідовних кубів

Обчисліть значення 1053−1043\sqrt{105^{3}-104^{3}}, якщо відомо, що воно є натуральним числом.
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-017

Обчислення виразу за умов на змінні

Якщо x,y,zx, y, z — дійсні числа такі, що xy=6x y=6, x−z=2x-z=2 і x+y+z=9x+y+z=9, обчисліть xy−zx−z2xy\frac{x}{y}-\frac{z}{x}-\frac{z^{2}}{x y}.
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-105

Максимум симетричної суми мономів

Нехай xx і yy — невід'ємні дійсні числа, сума яких дорівнює 11. Обчисліть кількість впорядкованих пар (a,b)(a, b), де a,b∈{0,1,2,3,4}a, b \in \{0,1,2,3,4\}, для яких вираз xayb+yaxbx^{a} y^{b} + y^{a} x^{b} має найбільше значення 21−a−b2^{1-a-b}.
10–11 класиНерівність Коші
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-044

Сума кутових розв’язків тригонометричного рівняння

Існує кілька розв’язків рівняння 1+sin⁡xsin⁡4x=sin⁡3xsin⁡2x1 + \frac{\sin x}{\sin 4x} = \frac{\sin 3x}{\sin 2x} де xx виражено в градусах і 0∘<x<180∘0^{\circ} < x < 180^{\circ}. Знайдіть суму всіх таких розв’язків.
10–11 класиТригонометричні рівняння
Відбіркові тести на IMOTST-2020-029

Трикутники з послідовними цілими сторонами і співвідношенням кутів

Назвемо невироджений трикутник з мірами кутів θ1,θ2,θ3\theta_1, \theta_2, \theta_3 примхливим, якщо існують цілі числа r1,r2,r3r_1, r_2, r_3, не всі нульові, такі, що r1θ1+r2θ2+r3θ3=0.r_1\theta_1 + r_2\theta_2 + r_3\theta_3 = 0. Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких трикутник зі сторонами n−1,n,n+1n-1, n, n+1 є примхливим.
10–11 класиІнші класи многочленів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-031

Рівняння з дробом і квадратним коренем

Знайдіть усі значення xx, що задовольняють x+x+1x−x+1=115\frac{x+\sqrt{x+1}}{x-\sqrt{x+1}}=\frac{11}{5}
10–11 класиПеретворення ірраціональних вираз…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-033

Сума і куби двох дійсних чисел

Якщо xx і yy — дійсні числа такі, що x+y=10x+y=10 і x3+y3=400x^{3}+y^{3}=400, знайдіть значення x2+y2x^{2}+y^{2}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-034

Сума квадратів синусів

Знайдіть значення суми S=sin⁡21∘+sin⁡22∘+sin⁡23∘+…+sin⁡289∘S=\sin^{2} 1^{\circ}+\sin^{2} 2^{\circ}+\sin^{2} 3^{\circ}+\ldots+\sin^{2} 89^{\circ}
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-012

Відношення четвертих степенів із квадратного рівняння

Якщо 6xy−3x2=3y26 x y - \sqrt{3} x^{2} = \sqrt{3} y^{2}, обчисліть (xy)4+(yx)4\left(\frac{x}{y}\right)^{4} + \left(\frac{y}{x}\right)^{4}
8–9 класиПеретворення симетричних виразів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-046

Раціональні пари з вкладеними радикалами

Кажемо, що число є раціональним, якщо його можна записати у вигляді pq\frac{p}{q}, де pp і qq — цілі числа. Якщо дійсне число не є раціональним, кажемо, що воно ірраціональне. Наприклад, 14\frac{1}{4} — раціональне число, а 3\sqrt{3} — ірраціональне. Знайдіть усі пари раціональних чисел (a,b)(a, b) такі, що a+b=2+3\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2+\sqrt{3}}
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-047

Корінь кубічного рівняння та розклад на множники

Розгляньмо дійсні числа pp і qq та кубічне рівняння: x3+px+q=0x^{3}+p x+q=0 a) Якщо x0x_{0} — дійсний корінь рівняння, то x3+px+q=(x−x0)(x2+ax+b)x^{3}+p x+q=\left(x-x_{0}\right)\left(x^{2}+a x+b\right) Доведіть, що a=x0a=x_{0}. b) Доведіть, що p2≥4x0qp^{2} \geq 4 x_{0} q.
10–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.