Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

205 задач
АлгебраГеометрична прогресія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-107

Промені з подвоєними кутами та їх кількість

З точки OO проведений промінь. Під кутом у 10∘10^\circ за рухом годинникової стрілки до нього з тим самим початком проведений другий промінь, далі від другого променя під кутом у 20∘20^\circ за рухом годинникової стрілки проведений третій промінь і т.д. Кожен наступний кут у 22 рази більший від попереднього. Яка кількість різних променів виявиться на рисунку?
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Київська математична карусельKMC-06-07-001

Довжина нескінченної ламаної між n променями

Через точку AA проведено nn променів під кутами 2πn\frac{2\pi}{n}. На одному з них на відстані dd від точки AA взято точку BB, з неї опущено перпендикуляр на сусідній промінь і т.д. до нескінченності. Знайти довжину LL цієї нескінченної ламаної, що обертається навколо точки AA.
10–11 класиГеометрична прогресія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-045

Дві останні цифри суми цілих частин степенів двійки

Позначимо через [a][a] найбільше ціле число, що не перевищує aa. Знайдіть дві останні цифри числа [13]+[23]+[223]+…+[220203].\left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2020}}{3}\right].
7 класЦіла та дробова частини числа
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-020

Шлях равлика від A до B у рівносторонніх трикутниках

Дано декілька рівносторонніх трикутників, розташованих один всередині іншого. При цьому сторона кожного меншого трикутника вдвічі менша від сторони більшого трикутника, у якому він розташований. Сторона найбільшого трикутника дорівнює 20162016 см. Равлик проповз указаним на рис. 10.6 маршрутом від точки AA до точки BB. Яку загалом відстань здолав равлик?
4 класГеометрична прогресія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-027

Гра Анни і Бена з віддаленням точки на 100

На координатній площині задали точку A0A_0. Після цього Анна задає число a0∈(0;1]a_0 \in (0; 1], а Бен пересуває цю точку вправо, уліво, угору чи вниз у позицію A1A_1 таким чином, щоб A0A1=a0A_0A_1 = a_0. Далі вони аналогічно вчиняють з точкою A1A_1: Анна вибирає число a1∈(0;1]a_1 \in (0; 1], а Бен рухає цю точку в одному із чотирьох заданих напрямів, що паралельні координатним осям, у позицію A2A_2 так, щоб A1A2=a1A_1A_2 = a_1. Цей процес триває так довго, як того хоче Анна. Бен щоразу вибирає напрямок руху з одним обмеженням — серед кожних 100100 послідовних рухів є принаймні один кожного із чотирьох напрямів. Анна прагне добитися ситуації, коли відстань чергової точки від початкової перевищуватиме 100100. Чи завжди Анна зможе досягти своєї мети?
11 класГеометрична прогресія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-012

Натуральні чисельники дробів та стеля суми обернених знаменників

Нехай SS — непорожня скінченна множина, що складається з простих чисел. Нехай 1=b1<b2<b3<…1=b_1<b_2<b_3<\ldots — усі натуральні числа, чиї прості дільники належать до множини SS. Доведіть, що для всіх натуральних nn, окрім скінченної їх кількості, існують такі натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що справджується рівність: a1b1+a2b2+…+anbn=⌈1b1+1b2+…+1bn⌉.\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\ldots+\frac{a_n}{b_n}=\left\lceil \frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\ldots+\frac{1}{b_n} \right\rceil. Тут через ⌈x⌉\lceil x \rceil позначено найменше ціле число, що не менше за xx, тобто ⌈3⌉=3\lceil 3 \rceil = 3, ⌈π⌉=4\lceil \pi \rceil = 4.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-007

Неспадна додатна функція та зсув на обернене значення

Дано функцію f:R→(0,+∞)f: \mathbb{R} \to (0, +\infty) таку, що для довільних x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, x⩽yx \leqslant y, справджується нерівність f(x)⩽f(y)f(x) \leqslant f(y). Доведіть, що існує t∈Rt \in \mathbb{R}, для якого виконується нерівність f(t+1f(t))<2f(t).f\left(t + \frac{1}{f(t)}\right) < 2f(t).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-003

n чисел між сусідніми n-ми степенями з добутком-степенем

Задано натуральне число n>2n > 2. Доведіть, що існує натуральне KK таке, що для всіх цілих k⩾Kk \geqslant K на відкритому інтервалі (kn,(k+1)n)(k^n, (k + 1)^n) існують nn різних цілих чисел, добуток яких є nn-м степенем цілого числа.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-004

Найбільша кількість цікавих пар у послідовності

У послідовності цілих чисел a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n пару чисел (ai,aj)(a_i, a_j), де 1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n, називають цікавою, якщо існує така пара чисел (ak,al)(a_k, a_l), де 1⩽k<l⩽n1 \leqslant k < l \leqslant n, що справджується рівність al−akaj−ai=2.\frac{a_l - a_k}{a_j - a_i} = 2. Знайдіть найбільшу можливу кількість цікавих пар у послідовності цілих чисел довжини nn, якщо n⩾3n \geqslant 3.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-002

Темп зростання рекурентних послідовностей

Для натурального числа nn називаємо nn-послідовністю послідовність (a0,…,an)(a_{0}, \ldots, a_{n}) з невід'ємних цілих чисел, яка задовольняє таку умову: якщо ii і jj — невід'ємні цілі числа, для яких i+j⩽ni+j \leqslant n, то ai+aj⩽na_{i}+a_{j} \leqslant n і aai+aj=ai+ja_{a_{i}+a_{j}}=a_{i+j}. Нехай f(n)f(n) — кількість nn-послідовностей. Доведіть, що існують додатні дійсні числа c1,c2c_{1}, c_{2} і λ\lambda такі, що c1λn<f(n)<c2λnc_{1} \lambda^{n}<f(n)<c_{2} \lambda^{n} для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-003

Суми обернених чисел з підмножин

Для будь-якої множини SS натуральних чисел доведіть, що виконується принаймні одне з двох тверджень: (1) Існують різні скінченні підмножини FF і GG множини SS такі, що ∑x∈F1/x=∑x∈G1/x\sum_{x \in F} 1 / x = \sum_{x \in G} 1 / x; (2) Існує додатне раціональне число r<1r < 1 таке, що ∑x∈F1/x≠r\sum_{x \in F} 1 / x \neq r для всіх скінченних підмножин FF множини SS.
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-011

Границя зваженої рекурентної послідовності

Нехай x1x_1 і x2x_2 — дійсні числа, а 0<p<10 < p < 1. Визначимо xn=pxn−1+(1−p)xn−2x_n = p x_{n-1} + (1-p) x_{n-2} для n=3,4,…n = 3, 4, \dots. Доведіть, що послідовність (xn)(x_n) збігається, і знайдіть lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-004

Нерівність суми-добутку для степенів

Нехай nn — натуральне число, а xx і yy — додатні дійсні числа такі, що xn+yn=1x^{n}+y^{n}=1. Доведіть, що (∑k=1n1+x2k1+x4k)(∑k=1n1+y2k1+y4k)<1(1−x)(1−y).\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1+x^{2 k}}{1+x^{4 k}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1+y^{2 k}}{1+y^{4 k}}\right)<\frac{1}{(1-x)(1-y)} .
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-001

Послідовність із цілою та дробовою частинами

Послідовність дійсних чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots задано формулою ai+1=⌊ai⌋⋅⟨ai⟩ при i≥0a_{i+1}=\left\lfloor a_{i}\right\rfloor \cdot\left\langle a_{i}\right\rangle \quad \text{ при } \quad i \geq 0 де a0a_{0} — довільне дійсне число, ⌊ai⌋\left\lfloor a_{i}\right\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує aia_{i}, а ⟨ai⟩=ai−⌊ai⌋\left\langle a_{i}\right\rangle=a_{i}-\left\lfloor a_{i}\right\rfloor. Доведіть, що ai=ai+2a_{i}=a_{i+2} для достатньо великих ii.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-005

Лінійні нерівності для сум Фібоначчі

Послідовність c0,c1,…,cn,…c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n}, \ldots задано умовами c0=1c_{0}=1, c1=0c_{1}=0 і cn+2=cn+1+cnc_{n+2}=c_{n+1}+c_{n} для n≥0n \geq 0. Розглянемо множину SS впорядкованих пар (x,y)(x, y), для яких існує скінченна множина JJ натуральних чисел така, що x=∑j∈Jcjx=\sum_{j \in J} c_{j}, y=∑j∈Jcj−1y=\sum_{j \in J} c_{j-1}. Доведіть, що існують дійсні числа α\alpha, β\beta і mm, MM з такою властивістю: впорядкована пара невід'ємних цілих чисел (x,y)(x, y) задовольняє нерівність m<αx+βy<Mm<\alpha x+\beta y<M тоді й лише тоді, коли (x,y)∈S(x, y) \in S. N. B. Сума за елементами порожньої множини вважається рівною 00.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Балтійський шляхBW-2003-004

Рекурентна послідовність і добуткова нерівність

Послідовність (an)\left(a_{n}\right) задано так: a1=2a_{1}=\sqrt{2}, a2=2a_{2}=2, а an+1=anan−12a_{n+1}=a_{n} a_{n-1}^{2} при n≥2n \geq 2. Доведіть, що для кожного n≥1n \geq 1 виконується (1+a1)(1+a2)⋯(1+an)<(2+2)a1a2⋯an.\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)<(2+\sqrt{2}) a_{1} a_{2} \cdots a_{n} .
10–11 класиМетод математичної індукції
Балтійський шляхBW-1998-005

Біноміальна сума геометричних многочленів

Нехай Pk(x)=1+x+x2+⋯+xk−1P_{k}(x) = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{k-1}. Доведіть, що ∑k=1n(nk)Pk(x)=2n−1Pn(1+x2)\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} P_{k}(x) = 2^{n-1} P_{n}\left(\frac{1+x}{2}\right) для кожного дійсного числа xx і кожного натурального числа nn.
10–11 класиФормула біном Ньютона
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1988-004

Мінімум многочлена геометричної суми

Нехай mnm_{n} — найменше значення функції fn(x)=∑k=02nxkf_{n}(x)=\sum_{k=0}^{2 n} x^{k} Доведіть, що mn→12m_{n} \rightarrow \frac{1}{2} при n→∞n \rightarrow \infty.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-056

Нескінченна сума знаків синусів степенів двійки

Означимо sgn⁡(x)\operatorname{sgn}(x) як 11, коли xx додатне, −1-1, коли xx від'ємне, і 00, коли xx дорівнює 00. Обчисліть ∑n=1∞sgn⁡(sin⁡(2n))2n.\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\operatorname{sgn}(\sin(2^{n}))}{2^{n}}. (Аргументи sin⁡\sin задано в радіанах.)
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-020

Квадратичний многочлен плюс геометрична прогресія

Нехай ff — квадратичний многочлен із дійсними коефіцієнтами, а g1g_{1}, g2g_{2}, g3g_{3},... — геометрична прогресія дійсних чисел. Визначимо an=f(n)+gna_{n} = f(n) + g_{n}. Відомо, що a1a_{1}, a2a_{2}, a3a_{3}, a4a_{4} та a5a_{5} дорівнюють 11, 22, 33, 1414 та 1616 відповідно. Обчисліть g2g1\frac{g_{2}}{g_{1}}.
10–11 класиГеометрична прогресія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-007

Красива послідовність з обмеженням на медіану

Для цілого n≥3n \ge 3 послідовність цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n називається красивою послідовністю, якщо всі наведені нижче умови виконано. 0=a1<a2<⋯<an0 = a_1 < a_2 < \dots < a_n. Існує ціле ii таке, що 1≤i≤n1 \le i \le n і ai=2025a_i = 2025. Для всіх цілих i,j,ki, j, k з 1≤i<j<k≤n1 \le i < j < k \le n виконується нерівність ai+ak2≤aj\frac{a_i + a_k}{2} \le a_j. Нехай NN — максимально можлива довжина красивої послідовності. Для красивих послідовностей a1,a2,…,aNa_1, a_2, \dots, a_N довжини NN визначте найменше можливе значення aNa_N. Тут довжина послідовності цілих чисел x1,x2,…,xlx_1, x_2, \dots, x_l дорівнює ll.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-033

Геометрична прогресія з цілими членами

Перші три члени геометричної прогресії — цілі числа aa, 720720 і bb, причому a<720<ba < 720 < b. Чому дорівнює сума цифр найменшого можливого значення bb? (A) 9 (B) 12 (C) 16 (D) 18 (E) 21
8–10 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-017

Математичне сподівання збору всіх граней кубика без повторів

У Марка є проклятий шестигранний гральний кубик, на якому ніколи не випадає те саме число двічі поспіль, а всі інші результати рівноймовірні. Обчисліть математичне сподівання кількості кидків, потрібної для того, щоб кожне число випало хоча б раз.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-027

Ітеровані проєкції між мимобіжними прямими

Нехай ℓ\ell і mm — дві мимобіжні прямі у просторі, а P1P_{1} — точка на прямій ℓ\ell. Нехай P2P_{2} — точка на прямій mm, найближча до P1P_{1}, P3P_{3} — точка на прямій ℓ\ell, найближча до P2P_{2}, P4P_{4} — точка на прямій mm, найближча до P3P_{3}, а P5P_{5} — точка на прямій ℓ\ell, найближча до P4P_{4}. Відомо, що P1P2=5P_{1}P_{2}=5, P2P3=3P_{2}P_{3}=3 і P3P4=2P_{3}P_{4}=2. Обчисліть довжину відрізка P4P5P_{4}P_{5}.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-031

Математичне сподівання у процесі вилучення карт

Колода зі 100 карт позначена 1,2,…,1001, 2, \ldots, 100 зверху вниз. Беруть дві верхні карти; одну з них навмання відкидають, а іншу кладуть назад у низ колоди. Цей процес повторюють, доки в колоді не залишиться одна карта. Обчисліть математичне сподівання номера карти, що залишилася.
10–11 класиІнші інваріанти2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.