Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
ГеометріяГомотерія і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-201

Дотичні кола в трикутнику і прямі AD, BE, CF

У трикутнику ABCABC містяться три кола ωA\omega_A, ωB\omega_B та ωC\omega_C, що попарно дотикаються зовнішнім чином: ωB\omega_B та ωC\omega_C дотикаються в точці DD, ωC\omega_C та ωA\omega_A дотикаються в точці EE, а ωA\omega_A та ωB\omega_B — у точці FF. При цьому коло ωA\omega_A дотикається до сторін ABAB й ACAC, коло ωB\omega_B дотикається до сторін BABA й BCBC, а коло ωC\omega_C — до сторін CACA й CBCB трикутника. Доведіть, що прямі ADAD, BEBE та CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-211

Перпендикулярність прямих CX і PQ у трикутнику

Задано трикутник ABCABC. На промені BABA за точкою AA позначили точку DD, для якої AD=ACAD = AC, а на промені ABAB за точкою BB позначили точку EE, для якої BE=BCBE = BC. Нехай прямі, що містять бісектриси APAP та BQBQ трикутника ABCABC, удруге перетинають описане навколо трикутника коло в точках MM та NN відповідно. Пряма, що проходить через точку AA і центр описаного кола трикутника BEMBEM, перетинає пряму, що проходить через точку BB і центр описаного кола трикутника ADNADN, у точці XX, яка лежить усередині трикутника ABCABC. Доведіть, що CX⊥PQCX \perp PQ.
10–11 класиГомотерія і подібність
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-079

Січна через точку дотику двох кіл

Коло O1O_1 радіуса 22 та коло O2O_2 радіуса 44 дотикаються зовнішнім чином у точці PP. Через точку PP проведена пряма, яка вдруге перетинає ці кола в точках AA і BB відповідно. Знайдіть довжину PBPB, якщо AB=4AB = 4.
9 класГомотерія і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-169

Два рівні кола, січна і рівність відрізків

Два рівних кола S1S_1 та S2S_2 перетинаються у двох різних точках. Пряма ll перетинає коло S1S_1 у точках AA, CC, а коло S2S_2 — у точках BB, DD, причому розташування точок на прямій таке: AA, BB, CC, DD. Кола Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 визначаються так: вони обидва дотикаються до кола S1S_1 внутрішнім чином, до кола S2S_2 — зовнішнім і обидва з двох різних боків дотикаються до прямої ll. Припустимо, що кола Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 дотикаються одне до одного. Доведіть тоді, що AB=CDAB = CD.
10–11 класиГомотерія і подібність
Київський турнір математичних боївKMB-08-09-034

Поділ трикутника на чотири частини та два подібні трикутники

Заданий △ABC\triangle ABC. Чи можна його поділити на 4 частини, з яких можна побудувати 2 трикутника, які подібні до △ABC\triangle ABC, якщо кожну частину можна використати лише один раз?
9 класРозрізання, склеювання та рівноск…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-138

Вписаний рівносторонній трикутник і дотичні до меншого кола

Два кола дотикаються одне до одного внутрішнім чином і рівносторонній трикутник вписане у більше з них. З кожної вершини цього трикутника провели один з відрізків дотичної до меншого кола. Доведіть, що довжина одного з цих відрізків дорівнює сумі довжин двох інших.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-067

Рівність сум сторін трикутника і вписане коло

Нехай задано трикутник ABCABC та точку DD на стороні BCBC таку, що AB+BD=AC+CDAB + BD = AC + CD. Позначимо через XX та YY точки перетину прямої ADAD і вписаного кола трикутника ABCABC (XX лежить між AA та YY), EE – точка дотику цього кола до BCBC. Доведіть, що а) пряма ADAD перпендикулярна EYEY; б) XD=2IA′XD = 2IA', де II – центр вписаного кола, A′A' – середина BCBC.
8–9 класиГомотерія і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-165

Колінеарність ортоцентрів трикутників A1BC, AB1C, ABC1

A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 – такі точки описаного кола трикутника ABCABC, що AA1∥BB1∥CC1AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1. Довести, що ортоцентри трикутників A1BCA_1BC, AB1CAB_1C і ABC1ABC_1 лежать на одній прямій.
10–11 класиПряма Ейлера
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-179

Площі невидимих ділянок сфер без спільних точок

Нехай у просторі задані nn сфер, що не мають спільних точок, з радіусами R1,R2,...,RnR_1, R_2, ..., R_n. Позначимо через SkS_k площу множини точок на kk-й сфері, з яких не видно жодної точки жодної іншої сфери, k=1,n‾k = \overline{1,n}. Доведіть, що S1R12+S2R22+...+SnRn2=4π\dfrac{S_1}{R_1^2} + \dfrac{S_2}{R_2^2} + ... + \dfrac{S_n}{R_n^2} = 4\pi.
10–11 класиБієкції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-182

Кола OAB через точки дотику до кола і прямої

Дано коло kk, пряма pp, що його не перетинає, і точка O∉kO \notin k. Розглядаються кола ll, які дотикаються зовнішнім чином до кола kk та до прямої pp в деяких точках AA та BB відповідно. Доведіть, що кола, які описані навколо трикутників OABOAB (якщо цей трикутник не вироджений) мають спільну точку, відмінну від OO, або дотикаються до деякої прямої.
10–11 класиГомотерія і подібність
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-047

Кут між відрізками NL та KM у квадраті

Заданий квадрат ABCDABCD, його перетнули смугою ширини, що дорівнює стороні квадрата. Ця смуга перетинає сторони AB,BC,CD,DAAB, BC, CD, DA квадрата в точках K,L,M,NK, L, M, N відповідно. Довести, що кут між відрізками NLNL та KMKM складає 45∘45^\circ.
10–11 класиГомотерія і подібність
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-060

Трикутники з поділом сторін 2 - √3 на подібність

На сторонах BCBC, CACA, ABAB трикутника ABCABC вибрано точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно так, що AC1C1B=BA1A1C=CB1B1A=2−3\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{CB_1}{B_1A} = 2 - \sqrt{3}. На сторонах ΔA1B1C1\Delta A_1B_1C_1 вибираються точки A2A_2, B2B_2, C2C_2, які ділять сторони B1C1B_1C_1, C1A1C_1A_1, A1B1A_1B_1 відповідно в такому самому відношенні. З ΔA2B2C2\Delta A_2B_2C_2 виконують ту ж саму дію, і т.д. Чи обов'язково серед трикутників AiBiCiA_iB_iC_i, i∈Ni \in \mathbb{N} зустрінеться трикутник, подібний до ΔABC\Delta ABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-012

Поділена сторона трикутника і площа смуги між паралелями

На стороні ABAB трикутника ABCABC вибрані точки MM і NN таким чином, що AM:MN:BN=1:2:3AM : MN : BN = 1 : 2 : 3. Через точки MM і NN проведені прямі, які паралельні стороні ACAC трикутника. Знайти площу частини трикутника, який розташований між цими прямими, якщо площа ΔABC\Delta ABC дорівнює SS.
8–9 класиПлощі подібних фігур
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-045

Центри описаних кіл трикутників BOC і основи висот

Задано гострокутний трикутник ABCABC. OO – центр описаного кола, HH – ортоцентр, і AHAAH_A, BHBBH_B, CHCCH_C – висоти ΔABC\Delta ABC. Позначимо через A1A_1, B1B_1, C1C_1 – центри кіл, що описані навколо трикутників BOCBOC, COACOA та AOBAOB відповідно. Довести, що прямі A1HAA_1H_A, B1HBB_1H_B, C1HCC_1H_C перетинаються в одній точці, яка лежить на прямій Ейлера ΔABC\Delta ABC. Прямою Ейлера трикутника є пряма, що з'єднує центр описаного кола та центр ваги трикутника.
8–9 класиГомотерія і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-089

Точки A, M і центр O на одній прямій

Точки KK і LL на сторонах ABAB і ACAC гострокутного трикутника ABCABC такі, що KLKL паралельна BCBC. MM – точка перетину перпендикулярів, проведених через точки KK і LL до відрізків ABAB і ACAC відповідно. Довести, що AA, MM і центр OO описаного кола трикутника ABCABC лежать на одній прямій.
8–9 класиГомотерія і подібність
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-066

Пряма через центр рівностороннього трикутника ділить відрізок навпіл

На стороні ACAC рівностороннього трикутника ABCABC з центром в точці OO вибрана точка MM. Точки N,KN,K – основи перпендикулярів, що опущені з точки MM на сторони AB,BCAB,BC відповідно. Доведіть, що пряма MOMO ділить відрізок NKNK навпіл.
8–9 класиГомотерія і подібність
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-081

Відношення частин сторони трикутника при перетині з колом

На сторонах ABAB і ACAC трикутника ABCABC вибрано точки DD і EE відповідно, при цьому AB=6AB = 6, AC=9AC = 9, AD=4AD = 4 і AE=6AE = 6. Відомо, що описане коло трикутника ADEADE перетинає сторону BCBC у точках FF і GG, де BF<BGBF < BG. Точка перетину прямих DFDF і EGEG лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Знайдіть відношення FGBC\dfrac{FG}{BC}. У відповіді запишіть число 6⋅FGBC+106 \cdot \dfrac{FG}{BC} + 10 у вигляді a+ba + \sqrt{b} та наведіть значення суми a+ba + b.
11 класГомотерія і подібність
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-082

Трикутник з кутом 75°, висоти і середина відрізка A2B2

У гострокутному трикутнику ABCABC з кутом ∠ACB=75∘\angle ACB = 75^\circ висоти AA3,BB3AA_3, BB_3 перетинають описане коло в точках A1,B1A_1, B_1 відповідно. На прямих BCBC і CACA вибрано точки A2A_2 і B2B_2 відповідно так, що пряма B1B2B_1B_2 паралельна прямій BCBC і пряма A1A2A_1A_2 паралельна прямій ACAC. Нехай точка MM — середина відрізка A2B2A_2B_2. Знайдіть градусну міру кута B3MA3B_3MA_3.
11 класКоло Ейлера (коло 9 точок)
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-113

Рівнобедрений трикутник, коло і пряма BE

Дано трикутник ABCABC, у якому AB=ACAB = AC. Коло Γ\Gamma лежить зовні трикутника ABCABC та дотикається до прямої ACAC у точці CC. Точку DD вибрано на колі Γ\Gamma так, що описане коло трикутника ABDABD внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma. Відрізок ADAD перетинає коло Γ\Gamma у точці EE, відмінної від точки DD. Доведіть, що пряма BEBE дотикається до кола Γ\Gamma.
11 класГомотерія і подібність
Тематичні олімпіади з математикиTMO-15-16-008

Вкладений многокутник і гомотетія з коефіцієнтом -1/2

В опуклому многокутнику P1P_1 міститься опуклий многокутник P2P_2. Доведіть, що при будь-якій гомотетії із центром у точці X∈P2X \in P_2 та коефіцієнтом k=−12k=-\frac{1}{2} принаймні одна вершина P2P_2 не вийде за межі P1P_1.
9 класОпуклі множини
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2004-004

Трапеція, точки на діагоналях і перетини прямих

Нехай точка EE — середина більшої основи ADAD трапеції ABCDABCD. На діагоналях ACAC та BDBD обрано точки QQ і FF відповідно, причому відомо, що прямі AFAF, EQEQ та CDCD перетинаються в одній точці. Доведіть, що прямі ABAB, EFEF та DQDQ також перетинаються в одній точці.
Гомотерія і подібність
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2002-015

Зовнішні рівносторонні трикутники і перетини прямих

На сторонах трикутника ABCABC зовні побудовано рівносторонні трикутники ABC1ABC_1, ACB1ACB_1 і BCA1BCA_1. Нехай AB1∩BA1=C2AB_1 \cap BA_1 = C_2, CB1∩BC1=A2CB_1 \cap BC_1 = A_2, CA1∩AC1=B2CA_1 \cap AC_1 = B_2, причому точки A2A_2, B2B_2 і C2C_2 відмінні від точок A1A_1, B1B_1 і C1C_1 відповідно. Доведіть, що прямі A1A2A_1A_2, B1B2B_1B_2, C1C2C_1C_2 є паралельними.
Гомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-003

Опуклий п'ятикутник і перетин прямих KP, LQ, MD

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, точка MM — середина сторони ABAB. Відомо, що відрізок ABAB дотикається в точці MM до кола, описаного навколо трикутника CMECME, а точка DD лежить на перетині кіл, описаних навколо трикутників AMEAME та BMCBMC. Прямі ADAD та MEME перетинаються в точці KK, а прямі BDBD та MCMC — у точці LL. Точки PP та QQ на прямій CECE такі, що ∠PDC=∠EDQ=∠ADB.\angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB. Доведіть, що прямі KPKP, LQLQ та MDMD перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-014

Бісектриса, висоти та циклічні точки на сторонах трикутника

Бісектриса ALAL, висоти BEBE та CFCF у різносторонньому трикутнику ABCABC утворюють трикутник XYHXYH, де X=AL∩BEX = AL \cap BE, Y=AL∩CFY = AL \cap CF, H=BE∩CFH = BE \cap CF. Нехай точки PP і QQ лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що середина відрізка PQPQ є ортоцентром трикутника XYHXYH. Доведіть, що точки BB, CC, PP і QQ — циклічні.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-009

Трикутник з симетричних вершин і пряма через його центри

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник з ортоцентром у точці HH. Нехай lal_a — пряма, що проходить через точку BcB_c, яка симетрична точці BB відносно прямої CHCH, та через точку CbC_b, яка симетрична точці CC відносно прямої BHBH. Лінії lbl_b і lcl_c визначаємо аналогічним чином. Прямі lal_a, lbl_b і lcl_c визначають трикутник TT. Доведіть, що ортоцентр трикутника TT, центр описаного кола трикутника TT і точка HH лежать на одній прямій.
10–11 класиПоворотна гомотетія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.