Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

230 задач
КомбінаторикаІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-066

Чинні послідовності з плиток B, C і D

Є плитки 55 таких типів: 1011101100010A,B,C,DтаE,0101110101001\begin{array}{cccccc} 101 & 110 & 1 & 100 & & 010 \\ A, & B, & C, & D & \text{та} & E, \\ 010 & 11 & 101 & 010 & & 01 \end{array} кожного типу по 10001000 примірників. Ми хочемо викласти їх підряд у такий спосіб, щоб цифри 00 та 11 утворювали однакові послідовності у верхньому та нижньому рядах, тоді послідовність плиток назвемо чинною. Наприклад, послідовність плиток DDCDDC задає у верхньому ряду послідовність цифр 10010011001001, а в нижньому — послідовність цифр 010010101010010101. Оскільки верхня та нижня послідовності різні, то задана послідовність плиток DDCDDC не є чинною. Доведіть, що не існує чинних послідовностей, що складаються лише з плиток BB, CC і DD.
6–7 класиІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-015

Існування чинної послідовності з плиток B, C, D, E

Є плитки 55 таких типів: 101A010,110B11,1C101,100D010та010E01,\begin{array}{c}101\\ A\\ 010\end{array},\quad \begin{array}{c}110\\ B\\ 11\end{array},\quad \begin{array}{c}1\\ C\\ 101\end{array},\quad \begin{array}{c}100\\ D\\ 010\end{array}\quad \text{та}\quad \begin{array}{c}010\\ E\\ 01\end{array}, кожного типу по 10001000 примірників. Ми хочемо викласти їх підряд у такий спосіб, щоб цифри 00 та 11 утворювали однакові послідовності у верхньому та нижньому рядах, тоді послідовність плиток назвемо чинною. Наприклад, послідовність плиток DDCDDC задає у верхньому ряду послідовність 10010011001001, а в нижньому — послідовність 010010101010010101. Оскільки верхня та нижня послідовності різні, то задана послідовність плиток DDCDDC не є чинною. З’ясуйте, чи існує чинна послідовність, що складається лише з плиток BB, CC, DD та EE.
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-030

Гра з n каменями у чорній та білій коробках

Петрик і Василько грають у таку гру. У них є n⩾2n \geqslant 2 однакових каменів, а також дві коробки — чорна та біла. У кожну вміщується рівно по 12n\frac{1}{2}n каменів при парному nn; при непарному nn у чорну вміщується рівно 12(n+1)\frac{1}{2}(n+1) каменів, а в білу — рівно 12(n−1)\frac{1}{2}(n-1) каменів. Гравці роблять ходи по черзі, розпочинає Петрик. Він вибирає будь-який камінь, не покладений досі в жодну з коробок, пише на ньому додатне число та кладе його в будь-яку з іще не заповнених коробок. Василько бачить усі записані на каменях числа, своїм ходом він може або перекласти будь-який камінь з однієї коробки в іншу, якщо та не заповнена, або не перекладати. Гра завершується, коли обидві коробки заповнені. Якщо в чорній коробці сума чисел на каменях більша за суму чисел на каменях у білій коробці, то перемагає Петрик, інакше — перемагає Василько. Хто з гравців має виграшну стратегію?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-040

Два банки, що забирають половину грошей один в одного

Нехай b>a>c>0b > a > c > 0. Два банки грають у таку гру. На початку гри один банк має aa євро, другий банк — bb євро. Своїм ходом кожний банк забирає з рахунків іншого банку половину від усіх євро, що там є. Перший хід робить той банк, де грошей менше. Якщо в банку лишається не більше ніж cc євро, то він — банкрут, і тоді гра завершується. Доведіть, що якщо перший гравець не банкрут із самого початку, то він банкрутом і не стане.
7–8 класиІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-012

33 числа a, b, c та найбільше число N

На дошці написано 3333 числа aa, 3333 числа bb та 3333 числа cc, де 0<a,b,c<10 < a, b, c < 1. Петрик за один хід може витерти два довільних написаних числа xx, yy та замість них написати одне число x+y−2xyx + y - 2xy. Процес завершиться, коли на дошці лишиться написаним єдине число NN. Якого найбільшого значення може набувати число NN залежно від значень aa, bb, cc?
8 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-053

Гра з турою, що зафарбовує клітинки дошки

Петрик і Василь грають у гру на клітчастій дошці розміром n×nn \times n, де n>1n > 1. На початку гри вся дошка біла, за винятком кутової чорної клітинки, на якій стоїть тура. Гравці роблять ходи по черзі, пересуваючи туру по горизонталі чи по вертикалі. При цьому всі клітинки, якими пересувається тура, включно з тією, куди вона потрапляє, перефарбовують у чорний колір. Тура має пересуватися таким чином, щоб її шлях не перетинав чорні клітинки. Програє той, хто не зможе зробити свій хід; першим ходить Петрик. Хто перемагає за правильної гри обох гравців?
6–7 класиІнші інваріанти
Новорічний індивідуальний «Математичний занзібар»NYZ-22-23-017

Вісім фішок на дошці 3×4 та стрибки через фішку

Петрик грає на дошці розміром 3×43 \times 4, де розставлено вісім фішок, як це показано на рис. 11.2. Можна робити такі ходи: узяти довільну фішку (xx) та перестрибнути по вертикалі чи горизонталі через поле, на якому стоїть інша фішка (yy), якщо поле через одну клітинку на цей момент вільне. При цьому фішку (yy) прибирають з дошки. Наприклад, першим ходом Петрик може пересунути фішку 22 у верхній рядок, прибравши при цьому фішку 77. За сім ходів Петрика на дошці лишилася рівно одна фішка. Який номер могла мати та фішка? Укажіть усі можливі відповіді.
6 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-097

Обнулення таблиці ходами по рядках, стовпцях і діагоналях

У кожній одиничній комірці таблиці розміром m×nm \times n, m,n⩾3m, n \geqslant 3, записано ціле число. Діагоналлю назвемо групу комірок, у яких різниця між номером рядка та номером стовпчика є сталим числом. Наприклад, комірки (1,5)(1, 5), (2,6)(2, 6), (3,7)(3, 7), …\ldots утворюють діагональ, а от комірки (1,5)(1, 5), (2,4)(2, 4), (3,3)(3, 3), …\ldots діагональ не утворюють. Зазначимо, що окрема права верхня комірка таблиці сама також утворює діагональ. Ми можемо робити такі ходи: вибираємо деякий рядок, стовпчик або діагональ та додаємо 11 чи −1-1 до чисел, що стоять у вибраних комірках (до всіх вибраних чисел додаємо однакове число під час кожного ходу). Відомо, що в довільній частині таблиці розміром завбільшки 3×33 \times 3 ми можемо отримати такими ходами всі числа, що дорівнюватимуть 00, не змінюючи жодного іншого числа поза цим фрагментом 3×33 \times 3. Доведіть, що таким чином можна отримати таблицю із числом 00 у кожній комірці. На рис. 7.5 зображено приклад діагоналі та фрагмент 3×33 \times 3 таблиці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 1 | | | | | | ♣ | | | | | 2 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | ♣ | | | | 3 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | | ♣ | | | 4 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | | | ♣ | | 5 | | | | | | | | | | Рис. 7.5
9 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-100

Послідовність з нулів і одиниць та її періодичність

Послідовність (an)(a_n), що складається із чисел 00 та 11, для кожного k>2016k > 2016 задовольняє таку умову: ak=0⇔ak−1+ak−2+…+ak−2016>23.a_k = 0 \Leftrightarrow a_{k-1} + a_{k-2} + \ldots + a_{k-2016} > 23. Доведіть, що існує таке натуральне число TT, що для всіх достатньо великих kk справджується умова ak=ak+Ta_k = a_{k+T}.
9 класПеріодичні і неперіодичні послідо…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-19-20-026

Послідовний відбір яблук від кожного десятого до кожного третього

На столі в ряд лежать 10021002 яблука. Василь бере кожне десяте яблуко (тобто десяте, двадцяте, тридцяте й т. д.). Після цього він бере кожне дев'яте з тих яблук, що залишилися, потім кожне восьме з тих, що залишилися, і т. д. Нарешті, він бере кожне третє з тих яблук, що залишилися на цей момент. Скільки яблук залишиться на столі після відбору кожного третього яблука?
5 класІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-011

Визначення n після заміни трійок чисел 1–27

На дошці записано числа 1,2,3,…,271, 2, 3, \ldots, 27. Для деякого фіксованого натурального числа nn за один крок з дошки можна витерти довільні записані числа aa, bb, cc та записати замість них одне число, що дорівнює a+b+c+na + b + c + n. Визначте значення nn, якщо відомо, що після 1313 кроків на дошці лишилося записаним число n2n^2.
7–8 класиІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-18-19-018

Максимальний приз за хрестики і нулики в таблиці n×n

Андрій заповнює комірки прямокутної таблиці по черзі хрестиками (XX) та нуликами (00), розпочинаючи з хрестика. Після заповнення всіх комірок він підраховує величину xx — суму квадратів кількості хрестиків у кожному рядку та стовпчику, а також величину oo — суму квадратів кількості нуликів у кожному рядку та стовпчику. Потім отримує приз розміром x−ox-o. Який максимальний приз зможе отримати Андрій, якщо прямокутна таблиця має розміри n×nn \times n, де nn — деяке непарне число?
8 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-007

Найбільша та найменша сума чисел шляху кубика

На гранях грального кубика записано числа 11, 22, …\ldots, 66 так, що сума чисел на протилежних гранях дорівнює 77. Кубик лежить у лівій нижній клітинці квадрата 50×5050 \times 50, його перекочують на сусідні грані таким чином, щоб він рухався праворуч або вгору. При цьому кожній клітинці квадрата відповідає те число, яке було на нижній грані кубика в момент проходження цієї клітинки. Яка найбільша та найменша можлива сума відповідних 9999 чисел на клітинках, по яких рухався кубик?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-108

Перетворення пар чисел та обмін компонент

Дано впорядковану пару натуральних чисел (x,y)(x, y), у якій рівно одна компонента — парне число. Із цією парою чисел можна робити такі перетворення: (x,y)→(12x,y+12x)(x, y) \to \left(\frac{1}{2}x, y+\frac{1}{2}x\right), якщо компонента xx — парна, або (x,y)→(x+12y,12y)(x, y) \to \left(x+\frac{1}{2}y, \frac{1}{2}y\right), якщо компонента yy — парна. Доведіть, що для кожного непарного n>1n > 1 існує парне натуральне b<nb < n таке, що за скінченну кількість кроків (n,b)→(b,n)(n, b) \to (b, n).
9 класСтепені за модулем. Періодичність…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-113

Гра з різницями чисел 2016 та 47 на дошці

На дошці записано числа 20162016 та 4747. Андрій з Беллою грають у таку гру. Вони по черзі (розпочинає Андрій) можуть вибрати два довільних числа, записаних на дошці, наприклад a>ba > b, і записати їхню різницю a−ba - b, якщо її ще не було записано. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе в цій грі, якщо кожний прагне виграти?
9 класАлгоритм Евкліда
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-045

Шляхи з (0, N) до (M, 0) зі знаками

Нехай MM, NN — натуральні числа. Учень мандрує по координатній площині від точки (0,N)(0, N) у точку (M,0)(M, 0) такими шляхами: - кожен крок має довжину 11 і паралельний одній з осей координат; - для кожної точки (x,y)(x, y) на шляху маємо x,y⩾0x, y \geqslant 0. Після кожного кроку учень вимірює відстань від довільної точки зробленого кроку до координатної осі, якій той крок був паралельний. Якщо крок було здійснено в бік збільшення відстані від початку координат, то це значення беремо зі знаком «плюс», інакше — зі знаком «мінус». Доведіть, що по завершенні будь-якого маршруту сума записаних чисел дорівнюватиме 00.
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-072

Перетворення квадратних тричленів за двома правилами

Іванко виписує послідовність квадратних тричленів з дійсними коефіцієнтами. На попередньому кроці він має тричлен ax2+bx+cax^2+bx+c, спираючись на який може записати один із двох тричленів — cx2+bx+acx^2+bx+a або a(x+d)2+b(x+d)+ca(x+d)^2+b(x+d)+c — для деякого дійсного dd. Чи можна, починаючи з тричлена x2−2x−1x^2-2x-1, отримати за скінченну кількість кроків тричлен 2x2−x−12x^2-x-1?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-176

Числа на дошці та операції заміни пар

На дошці записано декілька натуральних чисел. Визначимо такі операції: - кожні два сусідніх числа, наприклад nn та n+1n+1, можна витерти та записати замість них число n−2n-2; - кожні два числа, різниця між якими дорівнює 44, наприклад nn та n+4n+4, можна витерти та записати замість них число n−1n-1. В обох випадках можна записувати цілі числа, які не обов’язково є натуральними. Якщо ми не можемо застосувати жодну з двох операцій, процес завершується. Знайдіть найбільше можливе ціле число cc, для якого справджується така властивість: які б натуральні числа не були записані на початку та які б операції до них не застосували, усі числа на дошці залишаться більшими за число cc або рівними числу cc.
10–11 класиІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-029

Три числа після натискань кнопки F5 із сумою 1536

Комп'ютер після введення трьох чисел aa, bb, cc після кожного натискання кнопки F5F5 замість цих чисел видає три числа a+ba + b, b+cb + c, c+ac + a. Настя ввела три різних натуральних числа: aa, bb, cc та після декількох натискань кнопки F5F5 отримала три числа із сумою 15361536. Учитель математики перепитав, скільки разів вона натиснула кнопку. Отримавши відповідь, він одразу зміг точно визначити початкові числа aa, bb, cc. Скільки разів Настя натиснула кнопку F5F5?
5 класІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-096

Мітки дев'яти трикутників і множина від n до n+8

Дев'ять однакових трикутників розташовані, як показано на рис. 8.1; кожний із них помічено «міткою» 00. Олесь може робити такі послідовні ходи: може вибрати два трикутники, які мають спільну сторону, і додати 11 до їхніх міток або відняти 11 від їхніх міток. Олесь хоче для деякого цілого невід'ємного nn отримати ситуацію, у якій мітки всіх трикутників утворюватимуть множину {n,n+1,…,n+8}\{n, n + 1, \ldots, n + 8\}. Для яких значень nn це можливо?
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-035

Гра зі зменшенням чисел 2, 4, …, 2018

Два гравці грають у таку гру. Спочатку на дошці записано числа 2,4,6,…,20182, 4, 6, \ldots, 2018. За один хід можна зменшити на 1 будь-яке із записаних чисел. При цьому з дошки витирають числа 0 та числа, які збігаються з уже записаними числами (тобто витирають рівно одне з двох рівних чисел). Програє той гравець, після чийого ходу на дошці не залишиться жодного числа. Хто виграє за правильної гри — той, хто розпочинає, чи той, хто ходить другим?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-063

Можливі значення добутку ваг сторін многокутника

Розглянемо многокутник з m+nm+n сторонами, де mm, nn — натуральні числа. Фарбуємо mm вершин у жовтий колір, інші nn вершин — у синій. Сторони, обидва кінці яких жовті, мають вагу 22, сторони з обома синіми кінцями — вагу 12\dfrac{1}{2}, а сторони з кінцями різного кольору — вагу 11. Позначимо через PP добуток ваг усіх сторін. Яких значень може набувати величина PP?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-172

Рівність членів послідовностей і число n+3

Дано натуральне nn. Задамо послідовності aia_i і bib_i таким чином. Нехай a0=1a_0 = 1, b0=nb_0 = n, для i>0i > 0: (ai,bi)={(2ai−1+1, bi−1ai−1−1),якщо ai−1<bi−1,(ai−1−bi−1−1, 2bi−1+1),якщо ai−1>bi−1,(ai−1,bi−1),якщо ai−1=bi−1.(a_i, b_i) = \begin{cases} (2a_{i-1}+1,\ b_{i-1}a_{i-1}-1), & \text{якщо } a_{i-1} < b_{i-1}, \\ (a_{i-1}-b_{i-1}-1,\ 2b_{i-1}+1), & \text{якщо } a_{i-1} > b_{i-1}, \\ (a_{i-1}, b_{i-1}), & \text{якщо } a_{i-1} = b_{i-1}. \end{cases} Для деякого цілого невід'ємного kk відомо, що ak=bka_k = b_k. Доведіть, що n+3n + 3 — степінь двійки.
10–11 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-125

Поділ купи цукерок та сума записаних чисел

У Сашка є купа з NN цукерок. Кожного разу він ділить одну з куп цукерок на дві та записує число ab(a+b)ab(a+b), де aa, bb — кількість цукерок у двох нових купках. Наприкінці в Сашка залишилися купки лише з однієї цукерки кожна. Чому може дорівнювати сума чисел, записаних Сашком?
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-204

Добутки чисел на розкиданих клітинках і діагоналі дошки

Назвемо nn клітинок дошки розміром n×nn \times n розкиданими, якщо жодні дві клітинки не знаходяться в жодному рядку та в жодному стовпчику. У кожну клітинку дошки записано натуральне число таким чином, що в кожному рядку та кожному стовпчику немає однакових чисел і для довільних двох наборів з nn розкиданих клітинок сума чисел, що записані в клітинках першого набору, дорівнює сумі чисел, що записані в клітинках другого набору. Відомо, що на одній з головних діагоналей записані числа йдуть у порядку зростання зліва направо й добуток цих чисел найменший із всіх можливих добутків чисел, які записані в довільних nn розкиданих клітинках. Доведіть, що найбільший добуток чисел, які записані в nn розкиданих клітинках, досягається на іншій діагоналі.
10–11 класиІнші класичні нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.