Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

172 задачі
ГеометріяКола, що дотикаються
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-115

Нерівність для точки всередині опуклого чотирикутника

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD знайшлася така точка MM, що ∠AMB=∠ADM+∠BCM\angle AMB = \angle ADM + \angle BCM та ∠AMD=∠ABM+∠DCM\angle AMD = \angle ABM + \angle DCM. Доведіть, що AM⋅CM+BM⋅DM⩾AB⋅BC⋅CD⋅DAAM \cdot CM + BM \cdot DM \geqslant \sqrt{AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA}.
11 класІнверсія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-031

Симедіана трикутника AFE і дотик описаних кіл

Нехай ADAD — внутрішня бісектриса трикутника ABCABC. Перпендикуляр, проведений до сторони BCBC із точки DD, перетинає зовнішню бісектрису кута CABCAB у точці II. Коло із центром II та радіусом IDID перетинає сторони ABAB і ACAC у точках FF і EE відповідно. Симедіана трикутника AFEAFE, проведена з вершини AA, перетинає описане коло трикутника AFEAFE вдруге в точці XX. Доведіть, що описані кола трикутників AFEAFE та BXCBXC дотикаються.
11 класРадикальна вісь
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2003-012

Вписане коло трикутника та точки Q, R, P

Нехай вписане коло ω\omega трикутника ABCABC дотикається до його сторони ACAC в точці PP. На сторонах ABAB і CBCB обрано відмінні від вершин точки QQ і RR відповідно так, що пряма QRQR дотикається до кола ω\omega в деякій точці MM, причому BQ+QP=BR+RPBQ + QP = BR + RP. Доведіть, що вписане коло трикутника PQRPQR дотикається до кола ω\omega.
Зовнівписане коло
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-005

Коло через кінці бісектриси, дотичне до сторони

Нехай коло ω\omega проходить через кінці бісектриси ALAL трикутника ABCABC і дотикається до його сторони BCBC. Доведіть, що коло ω\omega дотикається внутрішньо в точці AA до описаного кола трикутника ABCABC.
Кола, що дотикаються
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-008

Два кола, хорди-дотичні та коло ABZ до PQ

Нехай кола γ\gamma та ω\omega перетинаються в точках AA та BB і нехай DD — довільна точка на колі γ\gamma. Точки PP та QQ лежать на колі γ\gamma так, що хорди DPDP і DQDQ дотикаються до кола ω\omega в точках XX та YY відповідно. Пряма XYXY перетинає пряму PQPQ в точці ZZ. Доведіть, що описане коло трикутника ABZABZ дотикається до прямої PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-011

Дві паралельні січні і кола трикутників з перпендикулярів

Нехай у деякому трикутнику ABCABC прямі l1,l2l_1, l_2 — паралельні. Для i=1,2i = 1, 2 нехай пряма lil_i перетинає прямі BCBC, CACA, ABAB у точках Xi,Yi,ZiX_i, Y_i, Z_i відповідно. Прямі, що проходять через точку XiX_i перпендикулярно до прямої BCBC, через точку YiY_i — перпендикулярно до прямої CACA та через точку ZiZ_i — перпендикулярно до прямої ABAB, утворюють невироджений трикутник Δi\Delta_i. Доведіть, що кола, описані навколо невироджених трикутників Δ1\Delta_1 і Δ2\Delta_2, дотикаються один до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-011

Дотик описаних кіл трикутників AID і IAEF

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Нехай точка II — це інцентр, а точка IAI_A — це центр зовнівписаного кола, що дотикається до сторони BCBC. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма ADAD перетинає прямі BIABI_A і CIACI_A в точках EE та FF відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників AIDAID та IAEFI_AEF дотикаються одне до одного.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-014

Зовнівписане коло, коло AEF на BC та середина AD

Нехай ω\omega — зовнівписане коло трикутника ABCABC, що дотикається до сторони BCBC. Нехай DD, EE і FF — точки дотику кола ω\omega до прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нехай точка MM — середина відрізка ADAD. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до кола ω\omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-006

Перетин B1C1 з висотою та дотик описаних кіл

Дано гострокутний трикутник ABCABC. Його висоти AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1 перетинаються в точці HH — ортоцентрі трикутника ABCABC. Нехай прямі B1C1B_1C_1 та AA1AA_1 перетинаються в точці KK, точка MM — середина відрізка AHAH. Доведіть, що описане коло трикутника MKB1MKB_1 дотикається до описаного кола трикутника ABCABC тоді й тільки тоді, коли BA1=3A1CBA_1 = 3A_1C.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-014

Зовнівписане коло, точки P і Q та середина AD

Нехай ω\omega — зовнівписане коло трикутника ABCABC, що дотикається до сторони BCBC. Нехай D,ED, E і FF — точки дотику кола ω\omega до прямих BC,ACBC, AC і ABAB відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нехай точка MM — середина ADAD. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до кола ω\omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-016

Коло на MN як на діаметрі і фіксована точка

Гострокутний трикутник ABCABC, у якому ∠A<∠B<∠C\angle A < \angle B < \angle C, вписано в коло ω\omega. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, вибрано довільним чином точку DD. Прямі CDCD і ABAB перетинаються в точці EE, а прямі BDBD і ACAC — у точці FF. Нехай O1O_1 — центр кола ω1\omega_1, яке знаходиться всередині трикутника EBDEBD та дотикається до прямих EBEB, EDED і до кола ω\omega. Аналогічно нехай O2O_2 — центр кола ω2\omega_2, яке лежить усередині трикутника FCDFCD й дотикається до прямих FCFC, FDFD і до кола ω\omega. Позначимо точку дотику ω1\omega_1 до прямої BEBE через NN, а точку дотику ω2\omega_2 до прямої CFCF — через MM. Доведіть, що кола, побудовані на MNMN як на діаметрі, проходять через фіксовану точку незалежно від вибору точки DD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-009

Точка у вписаному чотирикутнику і дотичне коло

Усередині вписаного чотирикутника ABCDABCD відмічено точку PP таку, що ∠PBC=∠PDA\angle PBC = \angle PDA, ∠PCB=∠PAD\angle PCB = \angle PAD. Доведіть, що існує коло, яке дотикається до прямих ABAB і CDCD, а також до кіл, описаних навколо трикутників ABPABP і CDPCDP.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-008

Два кола, пряма AB і фіксована точка

Задані два кола γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 з центрами у точках O1O_1 та O2O_2 відповідно. На колі γ2\gamma_2 вибрали деяку точку KK і побудували два кола – γ3\gamma_3, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці AA, та γ4\gamma_4, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці BB. Довести, що незалежно від вибору точки KK на колі γ2\gamma_2, усі прямі ABAB проходять через фіксовану точку площини.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-003

Внутрішнє дотичне коло до кіл на сторонах трапеції

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому сторони ADAD і BCBC є паралельними. Позначимо через ω1\omega_1, ω2\omega_2, ω3\omega_3, ω4\omega_4 кола, побудовані як на діаметрах на сторонах ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно. Доведіть, що коло, центр якого міститься всередині чотирикутника ABCDABCD і яке дотикається зсередини до всіх кіл ω1\omega_1, ω2\omega_2, ω3\omega_3, ω4\omega_4, існує тоді й тільки тоді, коли чотирикутник ABCDABCD є паралелограмом.
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-005

Перпендикулярність BT і CN у гострокутному трикутнику

Задано гострокутний трикутник ABCABC з ортоцентром HH. Нехай точка DD — основа висоти, опущеної з точки AA на сторону BCBC. Точка TT на колі з діаметром AHAH така, що це коло дотикається внутрішнім чином до описаного кола трикутника BDTBDT. Нехай точка NN — це середина відрізка AHAH. Доведіть, що BT⊥CNBT \perp CN.
10–11 класиРадикальна вісь
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-001

Чотири кола через точки на прямій і січна

Попарно різні точки T1,T2,T3,T4T_1, T_2, T_3, T_4 лежать на деякій прямій у зазначеному порядку. Нехай довільне коло ω1\omega_1 проходить через точки T1T_1 і T4T_4; коло ω2\omega_2 проходить через точку T2T_2 та дотикається до кола ω1\omega_1 у точці T1T_1 внутрішнім чином; коло ω3\omega_3 проходить через точку T3T_3 та дотикається до кола ω2\omega_2 у точці T2T_2 зовнішнім чином; коло ω4\omega_4 проходить через точку T4T_4 та дотикається до кола ω3\omega_3 у точці T3T_3 зовнішнім чином. Деяка пряма перетинає коло ω1\omega_1 у точках PP та WW, коло ω2\omega_2 — у точках QQ та RR, коло ω3\omega_3 — у точках SS і TT, коло ω4\omega_4 — у точках UU та VV, причому точки PP, QQ, RR, SS, TT, UU, VV, WW лежать на цій прямій саме в такому порядку. Доведіть, що PQ+TU=RS+VWPQ + TU = RS + VW.
10–11 класиКола, що дотикаються
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-004

Трикутник з кутом 60° та кола BOC і ADE

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай точки DD і EE — основи перпендикулярів, проведених з точки AA до бісектрис зовнішніх кутів BB і CC у трикутнику ABCABC відповідно. Позначимо літерою OO центр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що описане коло трикутника BOCBOC має рівно одну спільну точку з описаним колом трикутника ADEADE.
7–10 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-014

Коло з діаметром AH, дотичне до серединного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, HH — його ортоцентр, а MM — середина сторони BCBC. Крім того, нехай k1k_1 і k2k_2 — відповідно коло з діаметром AHAH і коло з центром MM, яке дотикається до описаного кола трикутника ABCABC зсередини. Доведіть, що кола k1k_1 і k2k_2 дотикаються.
10–11 класиКола, що дотикаються
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-001

Вписаний чотирикутник і дотик двох описаних кіл

Нехай чотирикутник ABCDABCD — вписаний, а точка PP лежить на стороні ABAB. Діагональ ACAC перетинає відрізок DPDP у точці QQ. Пряма, що проходить через точку PP паралельно стороні CDCD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці KK, а пряма, що проходить через точку QQ паралельно діагоналі BDBD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці LL. Доведіть, що описані кола трикутників BKPBKP та CLQCLQ дотикаються.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-003

Описані кола трикутників KQH і FKM

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB>ACAB > AC, Γ\Gamma — описане коло, а точка HH — ортоцентр цього трикутника. Нехай точка FF — основа висоти, що проведена з вершини AA, а точка MM — середина сторони BCBC. Нехай QQ — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HQA=90∘\angle HQA = 90^\circ, KK — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HKQ=90∘\angle HKQ = 90^\circ. Нехай точки AA, BB, CC, KK та QQ різні та лежать на колі Γ\Gamma у наведеному порядку. Доведіть, що описані кола трикутників KQHKQH та FKMFKM дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-019

Чотирикутник з бісектрисою і прямою, паралельною до AC

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому пряма BDBD є бісектрисою кута ABCABC. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає сторони ADAD і CDCD у точках PP і QQ відповідно. Пряма, що проходить через точку DD і паралельна ACAC, перетинає прямі BCBC і BABA в точках RR і SS відповідно. Доведіть, що точки PP, QQ, RR і SS лежать на спільному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-014

Відстань до ексцентра та нерівність для точки

Трикутник ABCABC задовольняє AB<ACAB < AC. Нехай II — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Точка PP лежить усередині кута BACBAC, але поза трикутником ABCABC і задовольняє ∠CPB=∠PBA+∠ACP\angle CPB = \angle PBA + \angle ACP. Доведіть, що AP≤AIAP \le AI.
10–11 класиТеорема про тризуб
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-005

Дотичне коло трикутника, паралельна пряма і кути

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC. Коло ω\omega дотикається до сторін ACAC, BCBC і внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega в точці PP. Пряма, що паралельна прямій ABAB і перетинає трикутник ABCABC, дотикається до кола ω\omega в точці QQ. Довідіть, що ∠ACP=∠QCB\angle ACP = \angle QCB.
10–11 класиКола, що дотикаються
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-003

Вписаний чотирикутник, середина відрізка PQ і дотик кіл

У коло ww вписано чотирикутник ABCDABCD. Прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці PP, прямі ADAD і BCBC — у точці QQ, а діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці RR. Через MM позначимо середину відрізка PQPQ, а через KK — точку перетину відрізка MRMR і кола ww. Доведіть, що описане коло △KPQ\triangle KPQ дотикається до кола ww.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-036

Вписане коло сектора та відношення площ

На рис. 5.13 зображено сектор OABOAB, який є шостою частиною круга, та круг, що дотикається до відрізків OAOA, OBOB і до дуги ABAB. Знайдіть відношення площі круга до площі сектора OABOAB.
7–9 класиКола, що дотикаються

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.