Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

74 задачі
ГеометріяКомбінації кіл (точка Мікеля, лема Архімеда тощо)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-005

Інцентри трикутників біцентричного п'ятикутника

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п’ятикутник такий, що п’ять вершин лежать на колі, а п’ять сторін дотикаються до іншого кола всередині п’ятикутника. Існує (53)=10\binom{5}{3} = 10 трикутників, які можна утворити, вибравши 3 з 5 вершин. Для кожного з цих 10 трикутників позначимо його інцентр. Доведіть, що ці 10 інцентрів лежать на двох концентричних колах.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-133

Точка з дотичними описаними колами в колі

Нехай ω\omega — коло з центром OO і радіусом 88. Нехай ACAC і BDBD — перпендикулярні хорди кола ω\omega. Нехай PP — точка всередині чотирикутника ABCDABCD така, що описані кола трикутників ABPABP і CDPCDP дотикаються, а описані кола трикутників ADPADP і BCPBCP дотикаються. Якщо AC=261AC=2\sqrt{61} і BD=67BD=6\sqrt{7}, то OPOP можна подати у вигляді a−b\sqrt{a}-\sqrt{b} для натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2020-027

Збіг інцентра трикутника з точкою дотику вписаного кола

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник із центром вписаного кола II. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Нехай PP — основа висоти, опущеної з точки DD на пряму EFEF, а MM — середина сторони BCBC. Промені APAP і IPIP вдруге перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках GG і QQ відповідно. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника GQMGQM збігається з точкою DD.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-026

Перетин дотичних кіл на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Нехай XX — точка, для якої відрізок AX‾\overline{AX} дотикається до описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через ωB\omega_B коло, що проходить через точки MM і BB та дотикається до відрізка MX‾\overline{MX}, а через ωC\omega_C — коло, що проходить через точки NN і CC та дотикається до відрізка NX‾\overline{NX}. Доведіть, що кола ωB\omega_B і ωC\omega_C перетинаються на прямій BCBC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-019

Рівні кути PXM і PYM та вписаний чотирикутник APXY

Нехай ABCABC — трикутник з AB=ACAB = AC, а MM — середина відрізка BCBC. Нехай PP — точка така, що PB<PCPB < PC і PAPA паралельна BCBC. Нехай далі XX і YY — точки на прямих PBPB і PCPC відповідно, такі, що BB лежить на відрізку PXPX, а CC лежить на відрізку PYPY, і виконується ∠PXM=∠PYM\angle PXM = \angle PYM. Доведіть, що APXYAPXY — вписаний чотирикутник.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-040

Пряма через ортоцентр і перетин на описаному колі

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Пряма через HH перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках EE і FF відповідно. Нехай KK — центр описаного кола трикутника △AEF\triangle AEF, і припустимо, що пряма AKAK перетинає коло Γ\Gamma знову в точці DD. Доведіть, що пряма HKHK і пряма через DD, перпендикулярна до BC‾\overline{BC}, перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиРадикальна вісь
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2019-007

Периметр об'єднання кіл у вершинах-квадратах

План замку побудовано в такий спосіб: розглянемо коло довжиною 20192019 метрів із вписаним правильним многокутником з 20192019 вершинами. Після нумерації вершин многокутника від 11 до 20192019 за годинниковою стрілкою проведемо кола довжиною 20192019 м з центрами в кожній точці, пронумерованій повним квадратом. План замку складається з об'єднання всіх накреслених кругів. Скільки метрів становить периметр замку? (A) 2692 (B) 4038 (C) 4627 (D) 293702π\frac{29370}{2 \pi} (E) 2019π2019 \pi
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-033

Геометричне місце точок перетину дотичних у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Для заданої точки PP прямої (BC)(BC) позначимо через E(P)E(P) і F(P)F(P) другі точки перетину прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) з колом з діаметром [AP][AP]. Нехай T(P)T(P) — точка перетину дотичних до цього кола в точках E(P)E(P) і F(P)F(P). Доведіть, що коли точка PP рухається по прямій (BC)(BC), геометричне місце точок T(P)T(P) є прямою.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-058

Радіус описаного кола: дотичні кола та відношення

Нехай ω\omega і Γ\Gamma — кола, причому ω\omega внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma у точці PP. Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma, яка дотикається до кола ω\omega у точці QQ. Нехай R≠PR \neq P — друга точка перетину прямої PQPQ з колом Γ\Gamma. Якщо радіус кола Γ\Gamma дорівнює 1717, радіус кола ω\omega дорівнює 77 і AQBQ=3\frac{AQ}{BQ} = 3, знайдіть радіус описаного кола трикутника AQRAQR.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-041

Нерухома точка при проєкції інцентра

Нехай LBCL B C — нерухомий трикутник, у якого LB=LCL B = L C, і нехай AA — змінна точка на дузі LBL B його описаного кола. Нехай II — інцентр трикутника △ABC\triangle A B C, а AK‾\overline{A K} — висота, проведена з вершини AA. Описане коло трикутника △IKL\triangle I K L перетинає прямі KAK A і BCB C ще раз у точках U≠KU \neq K і V≠KV \neq K відповідно. Нарешті, нехай TT — проєкція точки II на пряму UVU V. Доведіть, що пряма, проведена через TT і середину відрізка IK‾\overline{I K}, проходить через деяку нерухому точку незалежно від положення точки AA.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-101

Колінеарність у конфігурації з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, вписане коло якого дотикається до BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB} у точках D,E,FD, E, F. Точка PP лежить на EF‾\overline{EF} так, що DP‾⊥EF‾\overline{DP} \perp \overline{EF}. Промінь BPBP перетинає AC‾\overline{AC} у точці YY, а промінь CPCP перетинає AB‾\overline{AB} у точці ZZ. Точку QQ вибрано на описаному колі △AYZ\triangle AYZ так, що AQ‾⊥BC‾\overline{AQ} \perp \overline{BC}. Доведіть, що P,I,QP, I, Q лежать на одній прямій.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-031

Рівність відстаней від точки перетину кіл до основ висот

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами, такий, що AB≠ACAB \neq AC. Позначимо через DD основу бісектриси кута BAC^\widehat{BAC}. Точка EE (відп. FF) позначає основу висоти, проведеної з BB (відп. з CC). Описане коло трикутника DBFDBF перетинає описане коло трикутника DCEDCE у точці MM, відмінній від DD. Доведіть, що ME=MFME = MF.
9–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-005

Точка Мікеля серединного трикутника

У трикутнику ABCABC серединами сторін BCBC, CACA і ABAB є точки DD, EE і FF відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників AEFAEF, BFDBFD і CDECDE всі перетинаються в одній точці.
8–10 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…3 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-001

Точки на сторонах трикутника і відношення відрізків на чевіані

У трикутнику ABCABC точки P,Q,RP, Q, R лежать на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Нехай ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C позначають описані кола трикутників AQR,BRP,CPQAQR, BRP, CPQ відповідно. Відомо, що відрізок APAP вдруге перетинає ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C у точках X,Y,ZX, Y, Z відповідно, доведіть, що YX/XZ=BP/PCYX/XZ = BP/PC. (Задачу запропонував Зумін Фен.)
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-035

Дотичні до кіл і відношення дуг

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках AA і BB. Пряма ll дотикається до кола ω1\omega_1 у точці PP і до кола ω2\omega_2 у точці QQ, причому точка AA лежить ближче до прямої ll, ніж точка BB. Нехай XX і YY — точки на великих дугах PA^\widehat{PA} (на колі ω1\omega_1) і AQ^\widehat{AQ} (на колі ω2\omega_2) відповідно, такі, що AX/PX=AY/QY=cAX/PX = AY/QY = c. Відрізки PAPA і QAQA продовжено за точку AA до точок RR і SS відповідно так, що AR=AS=c⋅PQAR = AS = c \cdot PQ. Відомо, що центр описаного кола трикутника ARSARS лежить на прямій XYXY. Доведіть, що ∠XPA=∠AQY\angle XPA = \angle AQY.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2008-004

Рівносторонній трикутник, вписаний у трикутник

Нехай PP, QQ і RR — точки на сторонах BCBC, CACA і ABAB гострокутного трикутника ABCABC такі, що трикутник PQRPQR рівносторонній і має найменшу площу серед усіх таких рівносторонніх трикутників. Доведіть, що перпендикуляри, опущені з AA на пряму QRQR, з BB на пряму RPRP і з CC на пряму PQPQ, перетинаються в одній точці.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2006-005

Відношення відрізків дотичної до описаного кола трикутника

У гострокутному трикутнику ABCABC відрізки ADAD, BEBE і CFCF є його висотами, а HH — його ортоцентр. Коло ω\omega із центром OO проходить через точки AA і HH та перетинає сторони ABAB і ACAC удруге в точках QQ і PP (відмінних від AA) відповідно. Описане коло трикутника OPQOPQ дотикається до відрізка BCBC у точці RR. Доведіть, що CR/BR=ED/FDCR/BR = ED/FD.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-061

Рівні діагоналі чотирикутника AC = BD і дотик кіл

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AC=BDAC = BD, причому сторони ABAB і CDCD не паралельні. Нехай PP — точка перетину діагоналей (AC)(AC) і (BD)(BD). Нехай EE і FF — точки відповідно на відрізках [BP][BP] і [AP][AP] такі, що PC=PEPC = PE і PD=PFPD = PF. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника, утвореного прямими (AB)(AB), (CD)(CD) і (EF)(EF), дотикається до кола, описаного навколо трикутника ABPABP.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-073

Середини відрізків на перпендикулярних прямих через ортоцентр

Нехай ABCABC — трикутник і HH — його ортоцентр. Позначимо через ℓ1\ell_{1} і ℓ2\ell_{2} дві прямі, що проходять через HH і перпендикулярні між собою. Позначимо через X1,Y1X_{1}, Y_{1} і Z1Z_{1} точки перетину прямої ℓ1\ell_{1} з прямими (BC)(BC), (CA)(CA) і (AB)(AB) відповідно. Позначимо також через X2,Y2X_{2}, Y_{2} і Z2Z_{2} точки перетину прямої ℓ2\ell_{2} з прямими (BC)(BC), (CA)(CA) і (AB)(AB) відповідно. Доведіть, що середини відрізків [X1X2],[Y1Y2][X_{1}X_{2}], [Y_{1}Y_{2}] і [Z1Z2][Z_{1}Z_{2}] лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний гурток БеркліBMC-2020-009

Точка Мікеля чотирикутника

Дано чотирикутник ABCDA B C D. Прямі ADA D і BCB C перетинаються в точці EE, а прямі ABA B і DCD C — в точці FF. Розглянемо описані кола трикутників ABEA B E, ADFA D F, DCED C E і BCFB C F. Доведіть, що всі чотири ці кола проходять через одну точку.
Комбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1999-006

Трикутник найменшої площі із заданими кутами

Дано трикутник ABCABC. Поясніть, як за допомогою лінійки та циркуля побудувати трикутник A′B′C′A'B'C' найменшої площі такий, що C′∈ACC' \in AC, A′∈ABA' \in AB, B′∈BCB' \in BC і ∠B′A′C′=∠BAC\angle B'A'C' = \angle BAC, ∠A′C′B′=∠ACB\angle A'C'B' = \angle ACB.
Комбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-127

Точка Мікеля трикутника

Нехай A1,B1,C1A_{1}, B_{1}, C_{1} — точки на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB трикутника ABCABC відповідно. Доведіть, що три кола, описані навколо трикутників △AB1C1\triangle AB_{1}C_{1}, △BC1A1\triangle BC_{1}A_{1} і △CA1B1\triangle CA_{1}B_{1}, перетинаються в одній точці.
Комбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-265

Знерухомлення трикутника цвяхами на сторонах

Гострокутний трикутник ABCA B C виготовлено із суцільного металу, і він лежить на дерев'яному столі. Точки PP на стороні ABA B і QQ на стороні ACA C такі, що перпендикуляр до сторони ABA B через PP перетинає перпендикуляр до сторони ACA C через QQ всередині трикутника. У стіл забито цвяхи в точках PP і QQ. (Цвяхи не проходять крізь трикутник, а стоять біля його країв, обмежуючи трикутник.) Доведіть, що існує єдине положення точки RR на стороні BCB C таке, що якщо в стіл забити цвях у точці RR, то трикутник більше не зможе рухатися (у площині столу).
Площа трикутника
Математичний гурток БеркліBMC-0000-440

Центри рівносторонніх трикутників на сторонах

Рівносторонні трикутники △ABD\triangle ABD, △ACE\triangle ACE і △BCF\triangle BCF побудовано назовні від △ABC\triangle ABC на кожній його стороні, з центрами GG, HH і II відповідно. a) Доведіть, що △GHI\triangle GHI — рівносторонній. b) Нехай G′G', H′H' і I′I' — образи точок GG, HH і II при симетрії відносно прямих ABAB, BCBC і CACA відповідно. Доведіть, що △GHI\triangle GHI і △G′H′I′\triangle G'H'I' мають той самий центр описаного кола.
Комбінації кіл (точка Мікеля, лем…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.