Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

158 задач
АлгебраПослідовності (інші властивості)
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-153

Рекурентна послідовність та оцінка її членів

Послідовність (un)(u_n) задано таким чином: u0=2u_0 = 2 та un=2un−1+1un−1+2u_n = \frac{2u_{n-1}+1}{u_{n-1}+2}, n∈Nn \in \mathbb{N}. Доведіть, що 1<un<1+23n1 < u_n < 1 + \frac{2}{3^n} для всіх n∈Nn \in \mathbb{N}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-126

Пошук тисячного члена послідовності з рівністю

Послідовність чисел a1a_1, a2a_2, …\ldots, a2015a_{2015} така, що a1=a2015a_1 = a_{2015} та для кожного 1⩽n⩽20141 \leqslant n \leqslant 2014 справджується рівність an+an+1=an+12+1a_n + a_{n+1} = a_{n+1}^2 + 1. Знайдіть значення a1000a_{1000}.
9 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-227

Обмеженість послідовності з рекурентним співвідношенням

Нехай (an)(a_n) і (bn)(b_n), n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+, — дві послідовності дійсних чисел таких, що a0>12a_0 > \frac{1}{2}, an+1⩾ana_{n+1} \geqslant a_n і bn+1=an(bn+bn+2)b_{n+1} = a_n (b_n + b_{n+2}) для довільного n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що існує константа CC така, що ∣bn∣<C|b_n| < C для довільного n⩾0n \geqslant 0.
10–11 класиСуми послідовностей
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-244

Оцінка останнього члена послідовності з умовою

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2 і послідовність додатних дійсних чисел a0,a1,…,ana_0, a_1, \ldots, a_n, яка задовольняє умову (ak−1+ak)(ak+ak+1)=ak−1−ak+1(a_{k-1}+a_k)(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1} при k=1,n−1‾k=\overline{1, n-1}. Доведіть, що an<1/(n−1)a_n<1/(n-1).
10–11 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-250

Гарна група з десяти школярів за чотирма темами

У математичній олімпіаді школярі розв’язували по одній задачі із чотирьох тем: з алгебри, геометрії, теорії чисел і комбінаторики. Виявилося, що довільні два учасники отримали різні бали за розв’язання кожної задачі. Групу школярів будемо називати гарною, якщо учнів можна відсортувати таким чином, щоб хоча б у двох з тем їхні оцінки йтимуть у зростаючому порядку. Знайдіть найменше натуральне nn таке, що серед довільних nn учнів існує гарна група з 10 школярів.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-130

Послідовність з початковим членом 2014 та її цілі частини

Нехай послідовність (an)(a_n) задано умовами a0=2014a_0 = 2014 і an+1=an2an+1a_{n+1} = \frac{a_n^2}{a_n + 1} при n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що [an]=2014−n\left[a_n\right] = 2014 - n для довільного 0⩽n⩽10080 \leqslant n \leqslant 1008.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-155

Послідовність з додаванням a[n/2] і подільність на 7

Визначимо послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots таким чином: a1=1a_1 = 1 і an=an−1+a[n/2]a_n = a_{n-1} + a_{[n/2]} при n⩾2n \geqslant 2. Визначте, скінченна чи нескінченна кількість елементів цієї послідовності ділиться на 77.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-172

Послідовність дійсних чисел з умовою на сусідів

Послідовність дійсних чисел (an)(a_n) для довільного n∈Nn \in \mathbb{N} задовольняє умову an⩾14(an+2+an+1+an−1+an−2)a_n \geqslant \frac{1}{4}(a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n-1}+a_{n-2}). Доведіть, що послідовність (an)(a_n) стаціонарна.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-186

Послідовність з лінійною межею та подільністю різниць

Задано дійсне число c>0c > 0 і послідовність {an}n⩾1\{a_n\}_{n \geqslant 1} натуральних чисел таку, що an<cna_n < cn і an−ama_n - a_m ділиться на n−mn - m для довільних різних натуральних mm і nn. Доведіть, що послідовність {an}\{a_n\} — арифметична прогресія.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-162

Таблиця чисел від 1 до 120 і суми стовпчиків

У квадратній таблиці записано послідовні натуральні числа від 11 до 120120, як це показано на рис. 7.8. У якому зі стовпчиків сума всіх записаних чисел є найбільшою?
9 класСуми послідовностей
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-248

Послідовність з умовою та подільність останнього члена

Послідовність натуральних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n для кожного kk, яке задовольняє умови 2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n, така, що справджується рівність ak=(ak−1−1)(n−1)na_k = \dfrac{(a_{k-1}-1)(n-1)}{n}. Доведіть, що ana_n не ділиться на (n−1)2(n-1)^2.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-260

Функції з нерівністю та найбільша стала нижньої оцінки

Нехай FF — множина всіх функцій f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ таких, що ∀x∈R+\forall x \in \mathbb{R}^+ f(3x)⩾f(f(2x))+x.f(3x) \geqslant f(f(2x)) + x. Знайдіть найбільше α\alpha таке, що для всіх f∈Ff \in F ∀x∈R+\forall x \in \mathbb{R}^+ виконується умова f(x)⩾αx.f(x) \geqslant \alpha x.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-193

Найменше n із значенням 2013 у послідовності

Послідовність натуральних чисел задано умовами: a1=1a_1 = 1, an=an−1−na_n = a_{n-1} - n, якщо an−1>na_{n-1} > n, і an=an−1+na_n = a_{n-1} + n у протилежному випадку. Знайдіть найменше значення nn, для якого an=2013a_n = 2013.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Київський турнір математичних боївKMB-12-13-142

Рекурентно задана послідовність і її член a₂₀₁₂

Послідовність (an)(a_n) задано таким чином: a0=−1a_0=-1, an+1=2an−33an−4a_{n+1}=\dfrac{2a_n-3}{3a_n-4}, n⩾0n\geqslant 0. Доведіть, що 3an−4≠03a_n-4\neq 0, n⩾0n\geqslant 0, і знайдіть значення a2012a_{2012}.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-215

Пари многочленів з добутком значень і факторіалом

Знайдіть усі пари многочленів PP та QQ з дійсними коефіцієнтами, що задовольняють таку умову: існує нескінченно багато натуральних чисел nn, для яких P(1)⋅P(2)⋅…⋅P(n)=Q(n!).P(1)\cdot P(2)\cdot\ldots\cdot P(n)=Q(n!).
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-176

Послідовність із добутком попередніх членів

Послідовність натуральних чисел задано таким чином: a1=5a_1 = 5, an+1=a1a2⋅…⋅an+4a_{n+1} = a_1 a_2 \cdot \ldots \cdot a_n + 4, n∈Nn \in \mathbb{N}. Доведіть, що для всіх натуральних nn справджується рівність an−an+1=2.a_n - \sqrt{a_{n+1}} = 2.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-084

Рекурентна послідовність дійсних чисел і тотожність

Послідовність дійсних чисел (an)(a_n) задається умовами a0∉{0;1}a_0 \notin \{0;1\}, a1=1−a0a_1 = 1 - a_0 та ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N} an+1=1−an (1−an)a_{n+1} = 1 - a_n\,(1 - a_n). Доведіть, що ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N} справджується рівність a0a1…an(1a0+1a1+…+1an)=1.a_0 a_1 \ldots a_n \left(\frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) = 1.
9 класМетод математичної індукції
Київський турнір математичних боївKMB-09-10-124

Монотонність послідовності додатних чисел

Нехай (xn)(x_n) — послідовність додатних чисел, які задаються умовами: (8x2−7x1)x17=8\left(8x_2 - 7x_1\right)x_1^7 = 8 та xk+1xk−1=xk−18−xk8xk7−xk−17x_{k+1}x_k - 1 = \dfrac{x_{k-1}^8 - x_k^8}{x_k^7 - x_{k-1}^7}, k⩾2k \geqslant 2. Знайдіть дійсне число aa, для якого виконуються умови: при x1>ax_1 > a послідовність (xn)(x_n) монотонно спадна, а при 0<x1<a0 < x_1 < a послідовність (xn)(x_n) немонотонна.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-176

Пари членів послідовності з цілою сумою

Послідовність (an)(a_n) така, що a1∈(1,2)a_1 \in (1, 2) і ak+1=ak+kaka_{k+1} = a_k + \dfrac{k}{a_k} для будь-якого натурального kk. Доведіть, що в ній не може існувати більше однієї пари членів із цілою сумою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-055

Середні арифметичні послідовності з обмеженими сусідніми різницями

Відомо, що для послідовності дійсних чисел (an)(a_n) нерівність ∣an+1−an∣≤1|a_{n+1} - a_n| \le 1 справджується для усіх натуральних nn. Нехай bn=1n(a1+a2+…+an)b_n = \frac{1}{n}(a_1 + a_2 + \ldots + a_n). Довести, що тоді ∣bn+1−bn∣≤12|b_{n+1} - b_n| \le \frac{1}{2} для усіх n∈Nn \in N.
8–9 класиЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-152

Мінімум членів послідовності з цілими частинами

Нехай натуральне число n>1n > 1. Визначимо послідовності (xn)(x_n) та (yn)(y_n) таким чином: x1=nx_1 = n, y1=1y_1 = 1, xi+1=[xi+yi2]x_{i+1} = \left[\frac{x_i + y_i}{2}\right], yi+1=[nxi+1]y_{i+1} = \left[\frac{n}{x_{i+1}}\right], i∈Ni \in \mathbb{N}. Доведіть, що min⁡{x1,x2,...,xn}=[n]\min\{x_1, x_2, ..., x_n\} = \left[\sqrt{n}\right], де [a][a] – ціла частина числа aa.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-176

Послідовність дійсних чисел з умовою на три сусідні члени

Нехай a0,a1,...,an+1a_0, a_1, ..., a_{n+1} – послідовність дійсних чисел, яка задовольняє наступні умови: a0=an+1=0a_0 = a_{n+1} = 0, ∣ak−1−2ak+ak+1∣≤1|a_{k-1} - 2a_k + a_{k+1}| \le 1, k=1,n‾k = \overline{1, n}. Доведіть, що ∣ak∣≤k(n+1−k)2|a_k| \le \dfrac{k(n+1-k)}{2}, k=0,n+1‾k = \overline{0, n+1}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Київська математична карусельKMC-07-08-014

Наступний член послідовності 111, 213, 141

Запишіть наступний член послідовності: 111,213,141,516,171,…111, 213, 141, 516, 171, \ldots
8–9 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-119

Рекурентна послідовність з оцінкою члена через n

Послідовність дійсних чисел (an)(a_n) задана рекурентно: a1>0a_1 > 0, an+1=anan2+1a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n^2 + 1}. Довести, що існує натуральне nn, для якого an>710na_n > \frac{7}{10\sqrt{n}}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-035

Зникання тригонометричної комбінації та границі коефіцієнтів

Нехай для усіх x∈(α,β)x \in (\alpha,\beta) виконується умова: lim⁡n→∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)=0\lim\limits_{n\to\infty}\big(a_n\cos nx + b_n\sin nx\big) = 0. Чи завжди lim⁡n→∞an=0\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0 і lim⁡n→∞bn=0\lim\limits_{n\to\infty} b_n = 0?
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.