Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

100 задач
ГеометріяПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-048

Відбиття зовнівписаного центра і сума кутів

Нехай ABCABC — трикутник і нехай JJ — центр його AA-зовнівписаного кола. Нехай KK — точка, симетрична точці JJ відносно відрізка [BC][BC]. Нехай EE і FF — точки на прямих (BJ)(BJ) і (CJ)(CJ) такі, що EAB^=CAF^=90∘\widehat{EAB} = \widehat{CAF} = 90^{\circ}. Доведіть, що FKE^+FJE^=180∘\widehat{FKE} + \widehat{FJE} = 180^{\circ}.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-067

Сума квадратів відстаней до вершин квадрата

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB=3AB = 3, AC=4AC = 4 і ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^{\circ}. Квадрат BCDEBCDE побудовано зовні трикутника ABCABC. Обчисліть AD2+AE2AD^{2} + AE^{2}.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-015

Дотик серединного перпендикуляра до описаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із AB<ACAB < AC, OO — центр його описаного кола, а MM — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить AA. Існує точка DD на продовженні сторони ABAB за точку BB, для якої BD=BMBD = BM, та існує точка EE на стороні ACAC (відмінна від кінців), для якої CE=CMCE = CM. Якщо описані кола трикутників ABEABE і ACDACD перетинаються в точці XX, відмінній від AA, доведіть, що серединний перпендикуляр до відрізка DEDE дотикається до описаного кола трикутника AOXAOX.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-083

Дотичні, що перетинаються, і хорда кола

Нехай A,B,C,DA, B, C, D — чотири точки, розташовані в цьому порядку на колі ω\omega. Нехай PP і QQ — дві точки на прямій (AB)(A B) такі, що точки Q,A,B,PQ, A, B, P лежать на одній прямій у цьому порядку, коло, описане навколо трикутника ADQA D Q, дотикається до прямої (AC)(A C), а коло, описане навколо трикутника BCPB C P, дотикається до прямої (BD)(B D). Нехай MM і NN — середини відрізків [BC][B C] і [AD][A D] відповідно. Доведіть, що дотична в AA до кола, описаного навколо трикутника ANQA N Q, дотична в BB до кола, описаного навколо трикутника BMPB M P, і пряма (CD)(C D) перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-001

Точки на сторонах трикутника і відрізки PX та PY

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Точки D,ED, E лежать у внутрішності відрізків AB,ACAB, AC відповідно. Нехай PP — точка, для якої PB=PD,PC=PEPB = PD, PC = PE. Нехай XX — точка у внутрішності дуги ACAC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить точку BB. Пряма XAXA вдруге перетинає описане коло трикутника ADEADE у точці YY. Доведіть, що PX=PYPX = PY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-124

Коло з рівнобедреним прямокутним трикутником

Нехай OO та AA — дві точки на площині, причому OA=30OA = 30, а Γ\Gamma — коло з центром OO радіуса rr. Припустімо, що існують дві точки BB і CC на колі Γ\Gamma такі, що ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ} і AB=BCAB = BC. Обчисліть найменше можливе значення ⌊r⌋\lfloor r \rfloor.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-107

Рівносторонній трикутник у вкладених квадратах

Нехай nn — відповідь до цієї задачі. Нехай квадрат ABCDABCD має довжину сторони 33. Тоді проведено конгруентні квадрати EHGFEHGF і IHJKIHJK, що не перетинаються, зі стороною n6\frac{n}{6} так, що AA, CC і HH колінеарні, EE лежить на стороні BCBC, а II лежить на стороні CDCD. Відомо, що AJGAJG — рівносторонній трикутник. Тоді площа трикутника AJGAJG дорівнює a+bca + b \sqrt{c}, де aa, bb, cc — натуральні числа, причому cc не ділиться на квадрат жодного простого числа. Знайдіть a+b+ca + b + c.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-031

Паралельні прямі через вершини трикутника і три центри кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його описане коло. Нехай ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C} — дві прямі, паралельні одна одній, що проходять відповідно через точки BB і CC. Позначимо через DD точку перетину, відмінну від BB, між колом ω\omega і прямою ℓB\ell_{B}. Так само позначимо через EE точку перетину, відмінну від CC, між колом ω\omega і прямою ℓC\ell_{C}. Припустимо, що прямі ℓC\ell_{C} і (AD)(AD) перетинаються в точці FF, а прямі ℓB\ell_{B} і (AE)(AE) перетинаються в точці GG. Позначимо далі через O,O1O, O_{1} і O2O_{2} центри відповідно описаних кіл трикутників ABCABC, ADGADG і AEFAEF. Нарешті, позначимо через PP центр описаного кола трикутника OO1O2OO_{1}O_{2}. Доведіть, що пряма (OP)(OP) паралельна обом прямим ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C}.
8–10 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-041

Точки на одному колі в конфігурації напіввписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, Ω\Omega — його описане коло, а OO — центр кола Ω\Omega. Нехай SS — центр кола, дотичного до сторін ABAB і ACAC та дотичного внутрішнім чином до кола Ω\Omega в точці KK. Коло з діаметром [AS][AS] вдруге перетинає коло Ω\Omega в точці TT. Нехай MM — середина відрізка [BC][BC]. Доведіть, що точки KK, TT, MM і OO належать одному колу.
10–11 класиКола, що дотикаються
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-030

Дотичні до кіл у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, в якій пряма (AB)(AB) паралельна прямій (CD)(CD). Припустимо, що всередині трапеції є два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} такі, що ω1\omega_{1} дотикається до сторін [DA][DA], [AB][AB] і [BC][BC], а ω2\omega_{2} дотикається до сторін [BC][BC], [CD][CD] і [DA][DA]. Нехай (d1)(d_{1}) — друга дотична (після прямої (AD)(AD)) до кола ω2\omega_{2}, що проходить через AA, а (d2)(d_{2}) — друга дотична (після прямої (BC)(BC)) до кола ω1\omega_{1}, що проходить через CC. Доведіть, що прямі (d1)(d_{1}) і (d2)(d_{2}) паралельні.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-029

Рівні хорди та перетин прямих на колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega та ортоцентром HH. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що AD=AEAD = AE. Прямі через BB і CC, паралельні прямій DEDE, перетинають Ω\Omega знову в точках PP і QQ відповідно. Позначимо через ω\omega описане коло трикутника △ADE\triangle ADE. а. Покажіть, що прямі PEPE і QDQD перетинаються на колі ω\omega. б. Доведіть, що якщо коло ω\omega проходить через HH, то прямі PDPD і QEQE також перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-012

Перетин прямих на колі від дзеркальних образів точки

Розглянемо трикутник ABCABC і точку PP в його внутрішній області. Точки, симетричні точці PP відносно сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB}, позначимо через A1A_1, B1B_1 і C1C_1. Далі нехай Ω\Omega — описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, а A2A_2, B2B_2 і C2C_2 — другі точки перетину прямих A1PA_1P, B1PB_1P і C1PC_1P з колом Ω\Omega. Доведіть, що три прямі AA2AA_2, BB2BB_2 і CC2CC_2 перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-040

Пряма через ортоцентр і перетин на описаному колі

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Пряма через HH перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках EE і FF відповідно. Нехай KK — центр описаного кола трикутника △AEF\triangle AEF, і припустимо, що пряма AKAK перетинає коло Γ\Gamma знову в точці DD. Доведіть, що пряма HKHK і пряма через DD, перпендикулярна до BC‾\overline{BC}, перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2019-041

Дотик: інцентр та точок зовнівписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, і нехай DD — точка на прямій BCBC, для якої ∠AID=90∘\angle AID = 90^\circ. Нехай зовнівписане коло трикутника ABCABC, протилежне вершині AA, дотикається до сторони BC‾\overline{BC} у точці A1A_1. Точки B1B_1 на стороні CA‾\overline{CA} та C1C_1 на стороні AB‾\overline{AB} визначимо аналогічно, використовуючи зовнівписані кола, протилежні вершинам BB та CC відповідно. Доведіть, що якщо чотирикутник AB1A1C1AB_1A_1C_1 вписаний у коло, то пряма AD‾\overline{AD} дотикається до описаного кола трикутника △DB1C1\triangle DB_1C_1.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-032

Дотична до описаного кола і перпендикуляри до сторони

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB≠ACAB \neq AC. Нехай EE — така точка, що AE=BEAE = BE і (BE)(BE) перпендикулярна до (BC)(BC), а FF — така точка, що AF=CFAF = CF і (CF)(CF) перпендикулярна до (BC)(BC). Нехай DD — точка на прямій (BC)(BC) така, що (AD)(AD) є дотичною до описаного кола трикутника ABCABC в точці AA. Доведіть, що точки DD, EE, FF лежать на одній прямій.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-033

Геометричне місце точок перетину дотичних у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Для заданої точки PP прямої (BC)(BC) позначимо через E(P)E(P) і F(P)F(P) другі точки перетину прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) з колом з діаметром [AP][AP]. Нехай T(P)T(P) — точка перетину дотичних до цього кола в точках E(P)E(P) і F(P)F(P). Доведіть, що коли точка PP рухається по прямій (BC)(BC), геометричне місце точок T(P)T(P) є прямою.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-034

Рівність кутів через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, OO — центр його описаного кола. Нехай PP — точка на прямій (AO)(AO), а D,E,FD, E, F — ортогональні проєкції PP на прямі (AB)(AB), (BC)(BC) і (CA)(CA). Нехай XX і YY — точки перетину описаних кіл трикутників DEFDEF і BCPBCP. Доведіть, що BAX^=YAC^\widehat{BAX} = \widehat{YAC}
9–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-020

Симетричний інцентру відносно сторони на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC≠BCAB = AC \neq BC. Нехай далі II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма BIBI перетинає ACAC у точці DD, а перпендикуляр до ACAC, проведений через DD, перетинає AIAI у точці EE. Доведіть, що точка, симетрична точці II відносно прямої ACAC, лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2017-042

Геометричне місце центрів подібності трикутників

Нехай B=(−1,0)B = (-1,0) і C=(1,0)C = (1,0) — фіксовані точки координатної площини. Непорожню обмежену підмножину SS площини називають гарною, якщо (i) існує точка T∈ST \in S така, що для кожної точки Q∈SQ \in S відрізок TQTQ цілком міститься в SS; та (ii) для будь-якого трикутника P1P2P3P_1P_2P_3 існує єдина точка A∈SA \in S і перестановка σ\sigma індексів {1,2,3}\{1,2,3\}, для яких трикутники ABCABC і Pσ(1)Pσ(2)Pσ(3)P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} подібні. Доведіть, що існують дві різні гарні підмножини SS і S′S' множини {(x,y):x≥0,y≥0}\{(x,y): x \ge 0, y \ge 0\} такі, що якщо A∈SA \in S і A′∈S′A' \in S' — єдині точки з (ii), то добуток BA⋅BA′BA \cdot BA' є сталою, незалежною від трикутника P1P2P3P_1P_2P_3.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-101

Колінеарність у конфігурації з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, вписане коло якого дотикається до BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB} у точках D,E,FD, E, F. Точка PP лежить на EF‾\overline{EF} так, що DP‾⊥EF‾\overline{DP} \perp \overline{EF}. Промінь BPBP перетинає AC‾\overline{AC} у точці YY, а промінь CPCP перетинає AB‾\overline{AB} у точці ZZ. Точку QQ вибрано на описаному колі △AYZ\triangle AYZ так, що AQ‾⊥BC‾\overline{AQ} \perp \overline{BC}. Доведіть, що P,I,QP, I, Q лежать на одній прямій.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2016-012

Дотик і конкурентність у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ і HH — основа висоти, проведеної з вершини CC. Нехай DD — точка всередині трикутника BCHBCH, така, що CHCH ділить відрізок ADAD навпіл. Нехай PP — точка перетину прямих BDBD і CHCH. Нехай ω\omega — півколо з діаметром BDBD, яке перетинає відрізок CBCB. Дотична, проведена з PP до півкола ω\omega, дотикається до нього в QQ. Доведіть, що точка перетину прямих CQCQ і ADAD лежить на півколі ω\omega.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-052

Перетин описаних кіл і бісектриса кута

Нехай ABCABC — трикутник. Нехай D∈[AC]D \in [AC] і E∈[AB]E \in [AB] такі, що BE=CDBE = CD. Нехай PP — точка перетину прямих (BD)(BD) і (CE)(CE). Описані кола трикутників BEPBEP і CDPCDP перетинаються вдруге в точці QQ. Нехай KK і LL — середини відрізків [BE][BE] і [CD][CD] відповідно. Нехай RR — перетин перпендикуляра до прямої (QK)(QK), проведеного через KK, і перпендикуляра до прямої (QL)(QL), проведеного через LL. Доведіть, що 1) RR лежить на описаному колі трикутника ABCABC; 2) QQ лежить на бісектрисі кута BAC^\widehat{BAC}.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-001

Точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Нехай KK — точка перетину діагоналей. Нехай MM і NN — середини відрізків [A,C][A, C] і [B,D][B, D] відповідно. Описані кола трикутників ADMADM і BCMBCM перетинаються в точці LL. Доведіть, що точки K,L,M,NK, L, M, N лежать на одному колі.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-131

П'ятикутник з кутовими та метричними умовами

П'ятикутник ABCDEA B C D E задано за таких умов: (a) ∠CBD+∠DAE=∠BAD=45∘,∠BCD+∠DEA=300∘\angle C B D + \angle D A E = \angle B A D = 45^{\circ}, \angle B C D + \angle D E A = 300^{\circ} (b) BADA=223, CD=753\frac{B A}{D A} = \frac{2 \sqrt{2}}{3},\ C D = \frac{7 \sqrt{5}}{3}, і DE=1524D E = \frac{15 \sqrt{2}}{4} (c) AD2⋅BC=AB⋅AE⋅BDA D^{2} \cdot B C = A B \cdot A E \cdot B D Обчисліть довжину діагоналі BDB D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-038

Лінія центрів, паралельна прямій через середини дуг

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, у якому AC=BDAC = BD. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Нехай ω1\omega_1 і O1O_1 — відповідно описане коло й центр описаного кола трикутника ABPABP. Нехай ω2\omega_2 і O2O_2 — відповідно описане коло й центр описаного кола трикутника CDPCDP. Відрізок BCBC перетинає ω1\omega_1 і ω2\omega_2 знову в точках SS і TT (відмінних від BB і CC) відповідно. Нехай MM і NN — середини менших дуг SP^\widehat{SP} (що не містить BB) і TP^\widehat{TP} (що не містить CC). Доведіть, що MN∥O1O2MN \parallel O_1O_2.
10–11 класиПоворотна гомотетія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.