Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

175 задач
КомбінаторикаШляхи на графах
Київський турнір математичних боївKMB-08-09-056

Два прості цикли без спільних ребер у графі

Нехай pp – натуральне, більше 44. Довести, що в неорієнтованому графі без петель та без кратних ребер, в якому pp вершин і (p+4)(p + 4) ребра є два простих цикли, що не перетинаються. Цикл простий, якщо всі ребра циклу різні; цикли не перетинаються, якщо вони не мають спільних ребер.
10–11 класиСтепені вершин
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-035

Сусідні числа 1–16 з квадратними сумами

а) Довести, що можна виписати в ряд усі натуральні числа від 11 до 1616 так, щоб сума будь-яких двох сусідніх чисел була повним квадратом. б) Чи можна це зробити, якщо числа виписувати по колу?
8–9 класиСтепені вершин
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-069

Розбиття студентів на підгрупи з спільним другом

Група складається з n≥2n \ge 2 студентів. Деякі з них товаришують між собою, причому у кожного є хоча б один друг. Довести, що групу можна розбити на підгрупи (як мінімум по 22 студенти в кожній) так, щоб у кожній підгрупі знайшовся студент який товаришує з рештою студентів цієї підгрупи.
8–9 класиКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-185

Міста з дорогами, обмеженою відстанню та циклами

В країні є декілька міст (щонайменше 2), деякі з них з'єднані дорогами, які мають довжину 1 км. Відстань від будь-якого міста до будь-якого іншого складає не більше dd км (d>0d > 0). Довжина будь-якого циклічного маршруту між містами (маршрут починається і закінчується в одному і тому ж самому місті і проходить через різні міста) не менше ніж (2d+1)(2d + 1) км. Причому, хоча б один циклічний маршрут у цій країні існує. Довести, що з кожного міста виходить однакова кількість доріг.
10–11 класиСтепені вершин
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-140

Найбільша кількість карт у не прикольному наборі

Маємо повну колоду з 5252 карт. З них довільним чином вибираються набір з kk карт, 1≤k≤521 \le k \le 52. Назвемо цей набір «не прикольним», якщо усі його карти неможна викласти в одну стопку за такими правилами: 1) перша карта вибирається довільною; 2) кожна наступна карта повинна бути тої самої масті або тої ж величини, що й попередня, або бути тузом; 3) після тузу можна класти будь-яку карту. Знайдіть найбільше kk, для якого існує «не прикольний» набір з kk карт.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-018

Ліфт з ходами на 13 вгору і 8 вниз

У 2020-поверховому будинку вийшов з ладу ліфт. Він з будь-якого поверху може, якщо це дозволяє кількість поверхів будинку, або піднятися на 1313 поверхів, наприклад з 33-го на 1616-й, або спуститися на 88 поверхів, наприклад з 1919-го на 1111-й. Чи зможе Петрик, що живе на 44-му поверсі, дістатися, скориставшись цим ліфтом, до Василя, котрий мешкає поверхом вище?
4 класШляхи на графах
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-071

Найбільша кількість бонусів на шляху від A до B

У квесті Даринці треба пройти шлях від пункту AA до пункту BB за такими правилами. Рухатися можна лише стежками, що зображені на рис. 10.3. Кожна стежка сполучає два контрольних пункти, серед яких є пункти AA та BB. За потрапляння в пункт BB Даринка отримує 10 00010\,000 бонусів, і квест завершується. Якщо вона потрапляє в інший проміжний пункт, де сходяться стежки, то отримує 100100 бонусів. За пробігання кожною зі стежок вона отримує 1010 бонусів. Протягом квесту не можна двічі рухатися однією стежкою, але потрапляти двічі в контрольні пункти можна. Скільки щонайбільше бонусів може зібрати Даринка?
6 класШляхи на графах
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-047

Шляхи з 2, 2 до 4, 4 за 6 кроків

Дано квадрат 5×55 \times 5, вертикалі якого зліва направо та по горизонталі знизу догори занумеровано числами 11, 22, 33, 44, 55. Кожна клітинка має номер, який утворює пара чисел (a,b)(a, b), де aa — номер горизонталі, bb — номер вертикалі. Жучок за один крок може переповзти з клітинки, де він знаходиться, у будь-яку сусідню по стороні клітинку даного квадрата. Скількома способами він зможе переповзти рівно за 66 кроків із клітинки (2,2)(2, 2) у клітинку (4,4)(4, 4), якщо не можна двічі за цей шлях ставати на ту саму клітинку?
5 класРозбиття на випадки
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-19-20-017

Маршрути Петрика і Василя з лівими поворотами

Петрик та Василь живуть у мікрорайоні, де трикутна система доріг, як зображено на рис. 10.7, їхні будинки на схемі показано точками. Усі маленькі трикутники однакові та мають усі рівні сторони. По мікрорайону можна пересуватися лише велосипедом, а також дозволено на кожному перехресті або їхати прямо, або робити повороти ліворуч (можна звертати з прямого напрямку на один із двох можливих лівих поворотів). Одного дня Петрик виїхав до Василя й дорогою зробив рівно 44 лівих повороти. Наступного дня Василь їхав до Петрика та зробив рівно 11 лівий поворот. Виявилося, що вони проїхали однаковий за довжиною шлях. Покажіть принаймні один маршрут, яким могли пересуватися Василь і Петрик.
4 класШляхи на графах
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-19-20-034

Чотири села та маршрут з найменшою кількістю ям

Чотири села AA, BB, CC, DD сполучено автомагістралями, як показано на рис. 10.10. При цьому водії кажуть, що на маршруті A→B→CA \to B \to C та на маршруті B→C→DB \to C \to D є по 1010 ям, на маршруті A→B→DA \to B \to D є 2222 ями, а на маршруті A→D→BA \to D \to B — 4545 ям. Туристи хочуть дістатися від села AA до села DD так, щоб на їхньому шляху було якомога менше ям. За яким маршрутом їм слід рухатися?
5 класРозбиття на випадки
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-075

Найбільша кількість золотих на дивному полі

Буратіно має пройти «Дивним полем» від верхнього прямокутника до нижнього, рухаючись лише за стрілками (рис. 10.10). Потрапляючи в кожний прямокутник, він отримує зазначену в прямокутнику кількість золотих. Яку найбільшу кількість золотих може зібрати Буратіно?
6 класРекурентний підрахунок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-004

Смужка з числами для квадрата з умовою подільності

Нехай дано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. У Петрика є прямокутна смужка завбільшки 1×n21 \times n^2, що складається з n2n^2 одиничних квадратиків, занумерованих зліва направо числами 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2. Петрик хоче розрізати цю смужку на декілька шматочків, що складаються із сусідніх одиничних квадратиків, у такий спосіб, щоб ці шматочки можна було перенести без перегортань та обертань у квадрат n×nn \times n. При цьому в утвореного числового квадрата має справджуватися така властивість: якщо на перетині ii-го рядка та jj-го стовпчика у квадраті записане число ai,ja_{i,j}, то число ai,j−(i+j−1)a_{i,j} - (i+j-1) має ділитися націло на nn. З’ясуйте, на яку найменшу кількість шматочків Петрик може розрізати свою смужку.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-006

Максимальна кількість компаній на паромних лініях островів

Архіпелаг Імомі складається з n⩾2n \geqslant 2 островів. Між кожною парою островів існує паромне сполучення в обох напрямках. Кожною паромною лінією керує одна з kk компаній. Відомо, якщо будь-яка компанія закриє всі свої паромні лінії, то це унеможливить для мандрівника, звідки б він не відправився, відвідати всі острови рівно один раз (зокрема, не повертаючись на острів, з якого стартував). Якого максимально можливого значення може набувати kk залежно від nn?
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-003

Мінімальні блокувальні множини для жаби на дошці 3m × 3m

Розглянемо дошку розміром 3m×3m3m \times 3m, де mm є натуральним числом, більшим за 11. Жаба, що сидить у лівому нижньому кутку (позначимо його літерою SS), хоче дістатися правого верхнього кутка (який ми позначимо літерою FF). За один стрибок жаба може пересунутися в сусідню клітинку праворуч або зверху. Деякі клітинки дошки можуть бути липкі, і якщо жаба стрибне на одну з таких клітинок, то вона там й застрягне. Множину XX клітинок назвемо блокувальною, якщо жаба не може дістатися клітинки FF, починаючи з клітинки SS, та якщо всі клітинки XX є липкими. Блокувальну множину клітинок уважатимемо мінімальною, якщо будь-яка її підмножина не є блокувальною. а) Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, у якій кількість клітинок не менша від 3m2−3m3m^2 - 3m. б) Доведіть, що кількість клітинок у будь-якій блокувальній множині не більша за 3m23m^2.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-002

Неможливий розклад наступного туру футбольного турніру

У футбольному турнірі nn команд грають в одне коло (n⋮2n \vdots 2). У кожному турі мають грати n/2n/2 пар команд, які ще не грали між собою. Розклад кожного туру складається напередодні його проведення. Для якого найменшого натурального kk можлива така ситуація: після проведення kk турів скласти розклад k+1k + 1-го туру вже неможливо, тобто ці nn команд не можна розбити на n/2n/2 пар, у кожній з яких зустрічаються команди, що не грали в попередніх kk турах?
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-011

Різні підмножини після вилучення спільного елемента

Нехай n≥3n \ge 3 — натуральне число, A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n — попарно різні (тобто неспівпадаючі) підмножини множини S={1;2;3;…;n}S = \{1; 2; 3; \ldots; n\}. Доведіть, що існує елемент x∈Sx \in S такий, що попарно різними є підмножини A1∖{x}A_1 \setminus \{x\}, A2∖{x}A_2 \setminus \{x\}, …\ldots, An∖{x}A_n \setminus \{x\}.
10–11 класиДерева
Балтійський шляхBW-2024-008

Гра на дошці n×n зі шляхом між кутовими клітинками

Нехай a,b,na, b, n — додатні цілі числа такі, що a+b⩽n2a+b \leqslant n^2. Стефанія та Степанко грають у гру на (спочатку незафарбованій) дошці n×nn \times n таким чином: - спочатку Стефанія фарбує aa клітинок у зелений колір; - потім Степанко фарбує bb інших (незафабованих) клітинок у синій колір. Стефанія виграє, якщо зможе знайти шлях із не синіх клітинок, що починається з нижньої лівої клітинки й закінчується у верхній правій клітинці (де шляхом є послідовність клітинок така, що дві сусідні мають спільну сторону), інакше виграє Степанко. Визначте, у залежності від aa, bb та nn, хто має виграшну стратегію.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-024

Максимальна кількість кольорів з обмеженим сусідством

Нехай nn — додатне ціле число. Кожна клітинка таблиці n×nn \times n забарвлена в один з kk кольорів, причому кожен колір використано щонайменше один раз. Кажемо, що два кольори AA і BB дотикаються один до одного, якщо існує клітинка, забарвлена в AA, яка має спільну сторону з клітинкою, забарвленою в BB. Таблиця забарвлена таким чином, що кожен колір дотикається щонайбільше до 2 інших кольорів. Яке максимальне значення kk?
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-011

Розфарбування ребер повного графа з гамільтоновою умовою

Архіпелаг Імомі складається з n⩾2n \geqslant 2 островів. Між кожною парою різних островів пролягає єдина поромна лінія, що працює в обох напрямках, і кожна поромна лінія обслуговується однією з kk компаній. Відомо, що якщо будь-яка одна з kk компаній закриє всі свої поромні лінії, то мандрівник, з якого б острова він не починав свій шлях, не зможе відвідати всі острови рівно по одному разу (зокрема, не повертаючись на острів, з якого він вирушив). Знайдіть найбільше можливе значення kk залежно від nn.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-006

Мінімальна кількість зльотів у байрактарському квадраті

Дано натуральне число nn. Дошку розміром n×nn \times n, у клітинках якої записано по одному числу, назвемо байрактарським квадратом, якщо вона містить усі натуральні числа від 11 до n2n^2. Дві різні клітинки вважатимемо сусідніми, якщо у них є спільна сторона. Назвемо клітинку днищем, якщо число в кожній сусідній до неї клітинці більше за число в цій клітинці. Назвемо зльотом таку послідовність з однієї чи більшої кількості клітинок, у якій: а) перша клітинка послідовності є днищем; б) кожна наступна клітинка послідовності є сусідньою до попередньої; в) числа в клітинках послідовності йдуть у порядку зростання. Знайдіть як функцію від nn мінімальну можливу кількість зльотів у байрактарському квадраті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-025

Розфарбування ребер кругового орграфа

Орієнтований граф GG має 2021 вершину на колі, з кожної вершини графа GG виходить 101 орієнтоване ребро до наступних 101 вершини в напрямку проти годинникової стрілки. Ми хочемо розфарбувати ребра так, щоб для будь-яких двох вершин uu і vv можна було вибрати орієнтований шлях з uu до vv, у якому жодні два ребра не мають однакового кольору. Яка найменша кількість кольорів потрібна?
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-014

Різноманітні шляхи в турнірному графі

Королівство Анізотропія складається з nn міст. Для кожних двох міст існує рівно одна пряма дорога з одностороннім рухом між ними. Кажуть, що шлях з XX до YY — це послідовність доріг, якою можна дістатися з XX до YY без повернення до вже відвіданого міста. Набір шляхів називається різноманітним, якщо жодна дорога не належить двом чи більше шляхам цього набору. Нехай AA і BB — два різні міста в Анізотропії. Нехай NABN_{A B} позначає максимальну кількість шляхів у різноманітному наборі шляхів з AA до BB. Аналогічно, нехай NBAN_{B A} позначає максимальну кількість шляхів у різноманітному наборі шляхів з BB до AA. Доведіть, що рівність NAB=NBAN_{A B}=N_{B A} виконується тоді й лише тоді, коли кількість доріг, що виходять з AA, збігається з кількістю доріг, що виходять з BB.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-004

Король на зв'язних зелених полях дошки n×n

Нехай nn — непарне натуральне число. Деякі одиничні квадратики (поля) дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в зелений колір. Виявилося, що шаховий король може дістатися з довільного зеленого поля до довільного іншого, роблячи ходи лише по зелених полях. Доведіть, що він завжди це може зробити не більше ніж за n2−12\dfrac{n^2-1}{2} ходів. Примітка. Одним ходом шахового короля називають його перехід з одного поля на інше, у яких є спільна сторона або спільна вершина.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-003

Дві рівні купки камінців 1…4n за кольорами

Маємо 4n4n камінців масою 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n. Кожний камінець пофарбовано в один з nn кольорів, при цьому маємо по 44 камінці кожного кольору. Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної маси так, щоб у кожній купці було по 22 камінці кожного кольору.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-031

Мінімальна кількість відкритих карток для однозначної змійки

Фокусник розкладає на дошці 3×1003 \times 100 картки з числами від 11 до 300300 «змійкою» так, що послідовні числа стоять у сусідніх по стороні клітинках (по горизонталі або по вертикалі, але не по діагоналі). Числа написані на нижніх боках карток, верхні боки порожні. Після цього фокусник за власним вибором перевертає kk карток. При якому найменшому kk може трапитися так, що відкриті картки однозначно визначають усю змійку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.