Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

94 задачі
ГеометріяТочка перетину серединних перпендикулярів
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-002

П'ятикутник з рівними сторонами, перпендикуляр і діагоналі

Дано опуклий п'ятикутник ABCDEABCDE, у якому AB=BC=CDAB = BC = CD, ∠EAB=∠BCD\angle EAB = \angle BCD і ∠EDC=∠CBA\angle EDC = \angle CBA. Доведіть, що перпендикуляр, проведений із точки EE до прямої BCBC, та відрізки ACAC і BDBD перетинаються в одній точці.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-003

Випуклий шестикутник з рівностями сторін і кутів

Задано випуклий шестикутник ABCDEFABCDEF, у якому AB=DEAB = DE, BC=EFBC = EF, CD=FACD = FA і ∠A−∠D=∠C−∠F=∠E−∠B\angle A - \angle D = \angle C - \angle F = \angle E - \angle B. Доведіть, що діагоналі ADAD, BEBE та CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиПаралельний перенос
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-004

Відбиття на одному колі і висота трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — точка в його внутрішності. Нехай відбиття точки HH відносно сторін ABAB і ACAC позначено HcH_{c} і HbH_{b} відповідно, а відбиття точки HH відносно середин цих самих сторін позначено Hc′H_{c}^{\prime} і Hb′H_{b}^{\prime} відповідно. Доведіть, що чотири точки Hb,Hb′,HcH_{b}, H_{b}^{\prime}, H_{c} і Hc′H_{c}^{\prime} лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли принаймні дві з них збігаються або HH лежить на висоті з AA в трикутнику ABCABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-002

Дотик кола KLM до PQ і OP = OQ

Точка OO – центр кола, що описане навколо трикутника ABCABC. Нехай PP та QQ – внутрішні точки сторін CACA та ABAB відповідно. Точки K,LK, L та MM – середини відрізків BP,CQBP, CQ та PQPQ відповідно, а Γ\Gamma – це коло, що проходить через точки K,LK, L та MM. Відомо, що пряма PQPQ дотикається до кола Γ\Gamma. Доведіть, що OP=OQOP = OQ.
10–11 класиДотична кола
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2006-001

Спільна точка описаних кіл трикутників

Нехай BB і CC — точки на двох фіксованих променях, що виходять з точки AA, такі, що сума AB+ACA B + A C стала. Доведіть, що існує точка D≠AD \neq A така, що описані кола трикутників ABCA B C проходять через DD для кожного вибору BB і CC.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-001

Параболи з директрисами, визначеними чотирикутником

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Визначимо параболи PA\mathcal{P}_A, PB\mathcal{P}_B, PC\mathcal{P}_C і PD\mathcal{P}_D так, щоб вони мали директриси BDBD, CACA, DBDB і ACAC та фокуси AA, BB, CC і DD відповідно. Доведіть, що жодні дві з цих парабол не перетинаються більше ніж один раз. (Парабола з директрисою ℓ\ell і фокусом PP складається з усіх точок XX, для яких PXPX дорівнює відстані від PP до прямої ℓ\ell.)
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-041

Геометричне місце центра описаного кола з бісектрисою

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються в різних точках AA і BB. Точка XX рухається по колу ω1\omega_{1}, а точка YY на колі ω2\omega_{2} вибрана так, що ABAB ділить навпіл кут ∠XAY\angle XAY. Доведіть, що коли XX рухається по колу ω1\omega_{1}, центр описаного кола трикутника △AXY\triangle AXY (якщо він існує) рухається по фіксованій прямій.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-013

Колінеарність центрів описаних кіл трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників ABOABO і ACOACO відповідно. Припустімо, що описане коло трикутника AO1O2AO_1O_2 перетинає відрізок BCBC у двох різних точках PP і QQ (відмінних від кінцевих точок), причому чотири точки B,P,Q,CB, P, Q, C йдуть у цьому порядку вздовж відрізка. Нехай O3O_3 — центр описаного кола трикутника OPQOPQ. Доведіть, що три точки $A, O, $ і O3O_3 лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-004

Точки на сторонах трикутника і рівні відрізки

Нехай △ABC\triangle A B C — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣|A B|<|A C|. Дано точки DD і EE на відрізках ABA B і ACA C відповідно. Нехай PP — точка така, що ∣PB∣=∣PD∣|P B|=|P D| і ∣PC∣=∣PE∣|P C|=|P E|. Нехай XX — точка на дузі ACA C описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, яка не містить BB. Пряма XAX A перетинає описане коло трикутника △ADE\triangle A D E ще раз у точці YY. Доведіть, що ∣PX∣=∣PY∣|P X|=|P Y|.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-027

Перпендикулярність у вписаному п'ятикутнику

Нехай A,B,C,DA, B, C, D і EE — п'ять точок у цьому порядку на колі, таких, що AE=DEA E = D E. Нехай PP — точка перетину прямих (AC)(A C) і (BD)(B D). Нехай QQ — точка променя [BA)[B A) така, що AQ=DPA Q = D P. Нехай RR — точка променя [CD)[C D) така, що DR=APD R = A P. Доведіть, що прямі (PE)(P E) і (QR)(Q R) перпендикулярні.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2023-003

Діаметрально протилежна точка як центр описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣<∣BC∣|AB| < |AC| < |BC|, а Γ\Gamma — його описане коло з центром OO. Нехай ω1\omega_1 — коло з центром BB і радіусом ∣AC∣|AC|, а ω2\omega_2 — коло з центром CC і радіусом ∣AB∣|AB|. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точці EE такій, що AA і EE лежать по різні боки від прямої BCBC. Кола Γ\Gamma і ω1\omega_1 перетинаються в точці FF, а кола Γ\Gamma і ω2\omega_2 перетинаються в точці GG, такій, що FF і GG лежать з того самого боку від прямої BCBC, що й EE. Доведіть, що точка KK, діаметрально протилежна точці AA на колі Γ\Gamma, є центром описаного кола трикутника △EFG\triangle EFG. Точка KK, діаметрально протилежна точці AA, — це єдина точка на колі така, що AKAK — діаметр.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-130

Чотирикутник з центрів описаних кіл у квадраті

Точка PP міститься всередині квадрата ABCDA B C D зі стороною 1010. Нехай O1,O2,O3,O4O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4} — центри описаних кіл трикутників PABP A B, PBCP B C, PCDP C D і PDAP D A відповідно. Відомо, що PA+PB+PC+PD=232P A + P B + P C + P D = 23 \sqrt{2}, а площа чотирикутника O1O2O3O4O_{1} O_{2} O_{3} O_{4} дорівнює 5050; друге за величиною серед довжин O1O2,O2O3,O3O4,O4O1O_{1} O_{2}, O_{2} O_{3}, O_{3} O_{4}, O_{4} O_{1} можна записати як ab\sqrt{\frac{a}{b}}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-121

Перетин описаних кіл у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD, AB=5AB=5, BC=9BC=9, CD=10CD=10 і DA=7DA=7. Прямі BCBC і DADA перетинаються в точці EE. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а NN — точка перетину описаних кіл △BMC\triangle BMC і △DMA\triangle DMA, відмінна від MM. Якщо EN2=abEN^{2}=\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-002

Коло відображень основи висоти у трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC основу висоти з AA позначено DD. Нехай D1D_1 і D2D_2 — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Перетин прямої BCBC і прямої через D1D_1, паралельної до ABAB, позначено E1E_1. Перетин прямої BCBC і прямої через D2D_2, паралельної до ACAC, позначено E2E_2. Доведіть, що D1,D2,E1D_1, D_2, E_1 і E2E_2 лежать на колі, центр якого лежить на описаному колі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-009

Відображені точки на колі в трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка DD — основа висоти, проведеної з AA. Нехай D1D_{1} і D2D_{2} — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABA B і ACA C відповідно. Точку перетину прямої BCB C з прямою, що проходить через D1D_{1} паралельно ABA B, позначимо E1E_{1}. Точку перетину прямої BCB C з прямою, що проходить через D2D_{2} паралельно ACA C, позначимо E2E_{2}. Доведіть, що точки D1,D2,E1D_{1}, D_{2}, E_{1} і E2E_{2} лежать на одному колі, центр якого лежить на описаному колі трикутника △ABC\triangle A B C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-002

Хорди кола і перпендикулярність

Нехай п'ять точок на колі позначено AA, BB, CC, DD і EE за годинниковою стрілкою. Припустімо, що AE=DEA E = D E, і нехай PP — перетин прямих ACA C і BDB D. Нехай QQ — точка на прямій, що проходить через AA і BB, така, що AA лежить між BB і QQ і AQ=DPA Q = D P. Аналогічно, нехай RR — точка на прямій, що проходить через CC і DD, така, що DD лежить між CC і RR і DR=APD R = A P. Доведіть, що пряма PEP E перпендикулярна до прямої QRQ R.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-118

Перетин серединного перпендикуляра в трикутнику

Трикутник GRTG R T має GR=5G R=5, RT=12R T=12 і GT=13G T=13. Серединний перпендикуляр до сторони GTG T перетинає продовження сторони GRG R у точці OO. Знайдіть довжину відрізка TOT O.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-034

Серединний перпендикуляр і центр описаного кола

Серединним перпендикуляром до відрізка XYX Y називається пряма, перпендикулярна до відрізка, що проходить через його середину. Основна властивість серединного перпендикуляра полягає в тому, що точка лежить на ньому тоді й лише тоді, коли відстань від цієї точки до XX дорівнює відстані від цієї точки до YY. Твердження, сформульоване з використанням «тоді й лише тоді», рівносильне двом імплікаціям. У даному випадку, щоб перевірити сформульоване твердження, нам потрібно, з одного боку, показати, що якщо відстань до XX дорівнює відстані до YY, то точка лежить на серединному перпендикулярі. З іншого боку, нам потрібно показати, що якщо точка лежить на серединному перпендикулярі, то відстані до точок XX і YY рівні. Щоб довести першу частину, розгляньмо точку PP таку, що PX=PYP X=P Y, і нехай MM — середина відрізка XYX Y. Трикутники PMXP M X і PMYP M Y рівні, оскільки мають три відповідні сторони однакової довжини. Отже, ∠PMX=∠PMY\angle P M X=\angle P M Y. Оскільки X,MX, M і YY колінеарні, маємо ∠PMX+∠PMY=180∘\angle P M X+\angle P M Y=180^{\circ}. Отже, ∠PMX=90∘\angle P M X=90^{\circ} і PP лежить на прямій, перпендикулярній до відрізка, що проходить через його середину. a) Доведіть другу частину твердження, тобто доведіть, що якщо PP — точка на серединному перпендикулярі до відрізка XYX Y, то PX=PYP X=P Y. b) Доведіть, що будь-який трикутник ABCA B C має точку OO в тій самій площині таку, що OA=OB=OCO A=O B=O C. Ця точка називається центром описаного кола трикутника, оскільки коло з центром OO і радіусом AOA O проходить через три вершини трикутника ABCA B C. c) Розгляньмо чотирикутник ABCDA B C D. Припустимо, що серединні перпендикуляри до відрізків ABA B, ACA C і ADA D перетинаються в одній точці, тобто всі три проходять через одну й ту саму точку. Доведіть, що існує коло, яке проходить через 4 вершини чотирикутника ABCDA B C D.
8–9 класиТочка перетину серединних перпенд…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-043

Вписаний чотирикутник з перпендикулярними діагоналями

Чотирикутник називається вписаним, коли його чотири вершини лежать на одному колі. Розглянемо вписаний чотирикутник ABCDABCD з перпендикулярними діагоналями ACAC і BDBD. Крім того, нехай OO — центр кола, що проходить через вершини чотирикутника, а PP — точка перетину діагоналей. a) З точки PP проведемо пряму rr, перпендикулярну до BCBC. Пряма rr перетинає BCBC в точці XX, а ADAD — в точці MM. Доведіть, що MM — середина сторони ADAD. b) З точки PP проведемо пряму ss, перпендикулярну до ADAD, що перетинає ADAD в точці YY, а BCBC — в точці NN. Доведіть, що чотирикутник OMPNOMPN — паралелограм.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-010

Точки P, Q, R, точка X і відрізок QR

На площині вибрано три різні точки P, Q і R. Відомо, що як би не вибрати іншу точку X на площині, точка P завжди або ближча до X, ніж точка Q, або ближча до X, ніж точка R. Доведіть, що точка P лежить на відрізку QR.
8–10 класиТочка перетину серединних перпенд…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-016

Перетин описаних кіл і перпендикулярність

Центром описаного кола гострокутного трикутника ABCABC є точка OO. Пряма ACAC перетинає описане коло трикутника AOBAOB у точці XX, відмінній від вершини AA. Доведіть, що пряма XOXO перпендикулярна до прямої BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-017

Центри описаних кіл утворюють паралелограм

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник (тобто його діагоналі лежать усередині ABCDABCD), а PP — перетин його діагоналей [AC][AC] і [BD][BD]. Позначимо через O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4 центри описаних кіл трикутників ABPABP, BCPBCP, CDPCDP і DAPDAP. Доведіть, що O1O2O3O4O_1O_2O_3O_4 — паралелограм.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-095

Діагоналі однакової довжини в опуклому шестикутнику

Знайдіть найбільшу можливу кількість діагоналей однакової довжини в опуклому шестикутнику.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-002

Вписаність і серединний перпендикуляр у трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якого AC=BC>ABAC = BC > AB. Нехай EE і FF — середини сторін ACAC і ABAB відповідно. Серединний перпендикуляр ℓ\ell до сторони ACAC перетинає ABAB у точці KK, а пряма, паралельна до KCKC, що проходить через точку BB, перетинає ACAC у точці LL. Для точки PP на відрізку BFBF нехай HH — ортоцентр трикутника ACPACP. Відрізки BHBH і CPCP перетинаються в точці JJ, а прямі FJFJ і ℓ\ell перетинаються в точці MM. Нехай WW — точка перетину прямих FLFL і ℓ\ell. Доведіть, що AW=PWAW = PW тоді й лише тоді, коли точки B,E,F,MB, E, F, M лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-004

Відстань між центром описаного кола та ортоцентром у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ортоцентром HH, і нехай PP — друга точка перетину описаного кола трикутника AHCAHC з внутрішньою бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC. Нехай XX — центр описаного кола трикутника APBAPB, а YY — ортоцентр трикутника APCAPC. Доведіть, що довжина відрізка XYXY дорівнює радіусу описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.