Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

253 задачі
ГеометріяТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-024

Симетричні ортоцентру точки та рівність кутів

Точка A1A_1 симетрична ортоцентру HH гострокутного ΔABC\Delta ABC відносно сторони BCBC, аналогічним чином будуються точки B1,C1B_1, C_1 відповідно. Відомо, що ∠C1AB1=∠CA1B\angle C_1AB_1 = \angle CA_1B, ∠C1BA1=∠CB1A\angle C_1BA_1 = \angle CB_1A та ∠A1CB1=∠AC1B\angle A_1CB_1 = \angle AC_1B. Довести, що ΔABC\Delta ABC рівносторонній.
10 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-044

Перпендикулярні хорди кола і точка перетину висот

У колі проведена хорда ABAB, на якій обрана точка PP таким чином, що AP=2PBAP = 2PB. Хорда DEDE перпендикулярна хорді ABAB і проходить через точку PP. Довести, що середина відрізок APAP є точкою перетину висот трикутника AEDAED.
8 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-050

Перпендикуляри через вершини трикутника і ортоцентри

Задано трикутник A1A2A3A_1A_2A_3 і точка XX, що не належить жодній з прямих, які містять сторони трикутника. Нехай lil_i – пряма, яка проходить через точку AiA_i перпендикулярно до прямої XAiXA_i, i=1,2,3i = 1,2,3. Нехай точки B1=l2∩l3B_1 = l_2 \cap l_3, B2=l3∩l1B_2 = l_3 \cap l_1, B3=l1∩l2B_3 = l_1 \cap l_2, а H1H_1, H2H_2, H3H_3 – точки перетину висот трикутників ΔB1A2A3\Delta B_1A_2A_3, ΔB2A3A1\Delta B_2A_3A_1, ΔB3A1A2\Delta B_3A_1A_2 відповідно. Довести, що трикутники ΔA1A2A3\Delta A_1A_2A_3 та ΔH1H2H3\Delta H_1H_2H_3 рівні.
9 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-032

Геометричне місце точки P за центрами описаних кіл

Нехай ABCABC – гострокутний трикутник, для деякої внутрішньої точки трикутника PP позначимо через Oa,Ob,OcO_a, O_b, O_c центри описаних кіл трикутників PBC,PCA,PABPBC, PCA, PAB відповідно а) Знайти геометричне місце таких точок PP, для яких справджується рівність: OaObAB=ObOcBC=OcOaCA\dfrac{O_aO_b}{AB} = \dfrac{O_bO_c}{BC} = \dfrac{O_cO_a}{CA}. б) Для кожної точки PP, що належить ГМТ з пункту а), довести, що прямі AOa,BOb,COcAO_a, BO_b, CO_c перетинаються в одній точці.
10 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-023

Тетраедр з паралельними площинами ABC та A1B1C1

В тетраедрі SABCSABC на висоті SHSH обрано таку точку OO, що виконується рівність: ∠AOS+α=∠BOS+β=∠COS+γ=180∘\angle AOS + \alpha = \angle BOS + \beta = \angle COS + \gamma = 180^\circ, де α,β,γ\alpha, \beta, \gamma – двогранні кути при ребрах BC,AC,ABBC, AC, AB відповідно, при цьому точка HH лежить всередині основи ABCABC. Нехай A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 точки перетину прямих та площин: A1=AO∩SBCA_1 = AO \cap SBC, B1=BO∩SACB_1 = BO \cap SAC, C1=CO∩SBAC_1 = CO \cap SBA. Довести, що якщо площини ABCABC та A1B1C1A_1B_1C_1 паралельні, то SA=SB=SCSA = SB = SC.
11 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-036

Точки дотику вписаного кола і спільна точка перпендикулярів

Коло, вписане в трикутник ABCABC дотикається до сторін BC,CABC, CA і ABAB в точках A1,B1A_1, B_1 і C1C_1 відповідно. Через середину відрізка A1B1A_1B_1 проведено пряму, перпендикулярну до ABAB, через середину B1C1B_1C_1 – пряму, перпендикулярну до BCBC, і через середину C1A1C_1A_1 – пряму, перпендикулярно до CACA. Доведіть, що ці прямі перетинаються в одній точці.
9 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-058

Ортоцентри при діагоналях трапеції і перпендикуляр до основ

ABCDABCD – трапеція з основами AB,CDAB, CD, діагоналі якої перетинаються в точці EE. Точка XX – середина відрізка, що з'єднує ортоцентри трикутників BECBEC і AEDAED. Довести, що XX лежить на перпендикулярі, опущеному з точки EE на пряму ABAB.
11 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-03-04-056

Спільна точка висот і медіан та кут трикутника

Нехай у трикутнику ABCABC точки MM і NN є серединами сторін BCBC і ACAC відповідно. Відомо, що точка перетину висот трикутника ABCABC співпадає з точкою перетину медіан трикутника AMNAMN. Знайдіть величину кута ABCABC.
10 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-02-03-061

Прямокутна трапеція, трикутники та перпендикулярність прямих

Дано прямокутну трапецію ABCDABCD з основами BCBC і ADAD, у якій BC<ADBC < AD і ∠A=∠B=90∘\angle A = \angle B = 90^\circ. Відомо, що всередині цієї трапеції існують такі дві точки MM і NN, що трикутники AMDAMD та BNCBNC — рівносторонні, ∠CND=90∘\angle CND = 90^\circ, і точка NN лежить усередині трикутника AMDAMD. Нехай PP — точка перетину прямих CNCN і DMDM, а QQ — точка перетину прямих ABAB і DNDN. Доведіть, що прямі PQPQ і CDCD є перпендикулярними.
8 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-02-03-071

Два кола з діаметрами та відрізки MD, DC, CN

Два кола ω1\omega_1 та ω2\omega_2 перетинаються в точках AA і BB так, що діаметр BKBK кола ω1\omega_1 перетинає коло ω2\omega_2 в точці DD, відмінній від BB, а діаметр BPBP кола ω2\omega_2 перетинає коло ω1\omega_1 у точці CC, відмінній від BB, причому точки CC і DD лежать по різні боки від прямої ABAB. Пряма ADAD перетинає коло ω1\omega_1 у точці MM, відмінній від AA, а пряма ACAC перетинає коло ω2\omega_2 в точці NN, відмінній від AA. Доведіть, що MD=DC=CNMD = DC = CN.
10 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-01-02-084

Коло через точки на сторонах, інцентр і ортоцентр

На сторонах AB,BC,ACAB, BC, AC гострокутного трикутника ABCABC вибрали точки C1,A1,B1C_1, A_1, B_1 відповідно так, що A1B=A1C1A_1 B = A_1 C_1 і A1C=A1B1A_1 C = A_1 B_1. Нехай I1I_1 — центр кола, вписаного в трикутник A1B1C1A_1 B_1 C_1, а HH — точка перетину висот трикутника ABCABC. Доведіть, що точки B1,C1,I1B_1, C_1, I_1 і HH лежать на одному колі.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-00-01-063

Спільна точка описаних кіл трикутників BMN

На сторонах ABAB і BCBC рівностороннього трикутника ABCABC беруться точки MM і NN відповідно так, що MA=NBMA = NB. Доведіть, що існує точка, відмінна від точки BB, через яку проходять усі кола, описані навколо отриманих у такий спосіб трикутників BMNBMN.
9 класТочка перетину висот
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-090

Ортоцентр, середини сторін та умова гострокутності

Нехай у трикутника ABCABC точка HH — її ортоцентр, точки LL, MM та NN — середини сторін ABAB, BCBC та ACAC відповідно. Доведіть, що трикутник ABCABC гострокутний тоді і тільки тоді, коли справджується нерівність: HL2+HM2+HN2<AL2+BM2+CN2.HL^2 + HM^2 + HN^2 < AL^2 + BM^2 + CN^2.
9 класСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-014

Середина сторони, ортоцентр і бісектриса трикутника

Точка MM — середина сторони BCBC трикутника ABCABC, точка HH — ортоцентр. Бісектриса кута BCABCA перетинає відрізок AHAH у точці TT. Доведіть, що якщо MH∥CTMH \parallel CT, то BH=HTBH = HT.
8 класТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-048

Гострокутний трикутник з ортоцентром і рівність відрізків

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH та центром описаного кола OO. Серединний перпендикуляр до відрізка CHCH перетинає сторони ACAC та BCBC у точках XX та YY відповідно. Прямі XOXO та YOYO перетинають сторону ABAB у точках PP та QQ відповідно. Знайдіть величину кута OHCOHC, якщо відомо, що XP+YQ=AB+XYXP+YQ=AB+XY.
7–8 класиТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-139

Рівність відношень на дотичних і ортоцентр трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, точка PP розташована на висоті AXAX. Прямі BPBP та CPCP перетинають сторони ACAC та ABAB у точках DD та EE відповідно. Дотичні, проведені з точок DD та EE до описаного кола трикутника BPCBPC, мають точки дотику KK та LL відповідно, що розташовані всередині трикутника ABCABC. Пряма KDKD перетинає описане коло трикутника AKCAKC удруге в точці MM, а пряма LELE перетинає описане коло трикутника ALBALB удруге в точці NN. Доведіть, що KDMD=LENE⇔P\dfrac{KD}{MD} = \dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P — ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-077

Паралельність AC та MN у чотирикутнику з перпендикулярними діагоналями

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має перпендикулярні діагоналі. На сторонах ADAD та CDCD відповідно відмічені точки MM та NN так, що ∠ABN=∠CBM=90∘\angle ABN = \angle CBM = 90^\circ. Доведіть, що AC∥MNAC \parallel MN.
7–8 класиТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-119

Коло через ортоцентри, основу висоти і точку дотику

Вписане у трикутник ABCABC коло дотикається до сторін ABAB, BCBC та ACAC у точках C1C_1, A1A_1 та B1B_1 відповідно. Нехай BHBH — висота трикутника ABCABC, HaH_a та HcH_c — ортоцентри трикутників AB1C1AB_1C_1 та A1B1CA_1B_1C відповідно. Доведіть, що точки HH, HaH_a, HcH_c та B1B_1 лежать на одному колі.
9 класПаралельний перенос
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-042

Ортоцентри трикутників PAB і PCD та середина XY

У чотирикутнику ABCDABCD відомо, що PP — точка перетину діагоналей, точки XX та YY — ортоцентри трикутників PABPAB та PCDPCD відповідно, які лежать усередині цих трикутників. Доведіть, що якщо точка PP — середина відрізка XYXY, то чотирикутник ABCDABCD — паралелограм.
7–8 класиТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-052

Вписаний подібний трикутник і збіг ортоцентра з центром кола

Гострокутні трикутники ABCABC та A1B1C1A_1B_1C_1 подібні, при цьому вершини A1A_1, B1B_1, C1C_1 лежать відповідно на променях CBCB, ACAC, BABA. Доведіть, що ортоцентр трикутника A1B1C1A_1B_1C_1 і центр описаного кола трикутника ABCABC збігаються.
7–8 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-109

Вписаний чотирикутник ABDE і ортоцентр трикутника ABC

На сторонах BCBC та ACAC гострокутного різностороннього трикутника ABCABC вибрали точки DD та EE відповідно так, що утворився вписаний чотирикутник ABDEABDE. Точка PP — точка перетину діагоналей цього чотирикутника. Доведіть що, коли AB⊥CPAB \perp CP, то точка PP — ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-096

Перпендикуляр на AC з продовження висоти і паралельність

У гострокутному трикутнику ABCABC висоти AKAK, BLBL, CMCM перетинаються в точці HH. На продовженні висоти CMCM за точку MM відкладено відрізок MN=MHMN = MH. Позначимо через PP основу перпендикуляра, опущеного з точки NN на сторону ACAC. Доведіть, що PM∥KLPM \parallel KL.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-025

Медіана AM і перпендикулярність OG до неї

Нехай AMAM — медіана нерівностороннього трикутника ABCABC, OO — центр його описаного кола, GG — точка перетину медіан трикутника AMCAMC. Доведіть, що AM⊥OG⇔CA=CB.AM \perp OG \Leftrightarrow CA = CB.
7–8 класиТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-032

Проєкції вершин квадрата на пряму і перпендикуляр AK

Задано квадрат ABCDABCD. Через вершину CC провели пряму mm, що не має інших спільних точок із квадратом. Точки EE, FF — проєкції точок BB, DD відповідно на пряму mm. Відрізки BFBF та DEDE перетинаються в точці KK. Доведіть, що AK⊥mAK \perp m.
7–8 класиПоворот
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-041

Трикутник з кутом 45° і подвоєний кут між прямими

У гострокутному трикутнику ABCABC, у якому ∠A=45∘\angle A = 45^\circ, проведено висоти AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1. Бісектриса кута BAA1BAA_1 перетинає пряму A1B1A_1B_1 у точці DD, а бісектриса кута CAA1CAA_1 перетинає пряму A1C1A_1C_1 у точці EE. Знайдіть градусну міру подвоєного кута між прямими BDBD та CECE.
10 класЗовнівписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.