Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

103 задачі
ГеометріяЗовнівписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-006

Рухома точка, бісектриси і фіксована точка

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка HH — основа висоти, проведеної з AA. Нехай PP — рухома точка така, що бісектриси kk і ℓ\ell кутів PBCP B C і PCBP C B відповідно перетинаються між собою на відрізку AHA H. Нехай kk і ACA C перетинаються в точці EE, нехай ℓ\ell і ABA B перетинаються в точці FF, а EFE F і AHA H перетинаються в точці QQ. Доведіть, що при зміні PP пряма PQP Q проходить через фіксовану точку.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-017

Висота, бісектриса та перпендикуляр PK до AB

Нехай ADAD — висота з вершини AA гострокутного трикутника ABCABC. Внутрішня бісектриса кута DACDAC перетинає BCBC у точці KK. Нехай LL — проєкція точки KK на пряму ACAC. Нехай MM — точка перетину прямих BLBL і ADAD. Нехай PP — точка перетину прямих MCMC і DLDL. Доведіть, що PK⊥ABPK \perp AB.
10–11 класиЗовнівписане коло
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-004

Трикутник з кутом 60° та кола BOC і ADE

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай точки DD і EE — основи перпендикулярів, проведених з точки AA до бісектрис зовнішніх кутів BB і CC у трикутнику ABCABC відповідно. Позначимо літерою OO центр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що описане коло трикутника BOCBOC має рівно одну спільну точку з описаним колом трикутника ADEADE.
7–10 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-015

Описане коло, дотичне до даного кола

Нехай ω\omega — коло, а AA — точка поза колом ω\omega. З точки AA проведено дотичні до кола ω\omega; XX та YY — точки дотику. Нехай BB і CC — точки на відрізках AXAX і AYAY відповідно, такі, що периметр △ABC\triangle ABC дорівнює довжині відрізка AXAX. Нехай DD — точка, симетрична AA відносно прямої BCBC. Доведіть, що описане коло трикутника BDCBDC дотикається до кола ω\omega.
10–11 класиЗовнівписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-018

Дотичні до вписаного кола описаного чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD описано навколо кола ω\omega. EE — точка перетину кола ω\omega і діагоналі ACAC, найближча до AA. Точка FF діаметрально протилежна точці EE в колі ω\omega. Пряма, дотична до кола ω\omega в точці FF, перетинає прямі ABAB і BCBC в точках A1A_1 і C1C_1, а прямі ADAD і CDCD — в точках A2A_2 і C2C_2 відповідно. Доведіть, що A1C1=A2C2A_1C_1 = A_2C_2.
10–11 класиЗовнівписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-012

Колінеарність із побудови за інцентром трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а DD і EE — точки на прямих CACA і BABA такі, що CD=ABCD = AB, BE=ACBE = AC, а AA, DD і EE лежать по один бік від прямої BCBC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а HH — така точка, що II є ортоцентром трикутника BCHBCH. Доведіть, що DD, EE і HH лежать на одній прямій.
10–11 класиЗовнівписане коло
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-001

Основа висоти, бісектриса і дотична до кола

Нехай точка DD — основа висоти, проведеної з вершини CC гострокутного трикутника ABCABC. Бісектриса кута ABCABC перетинає пряму CDCD у точці EE і вдруге перетинає описане коло ω\omega трикутника ADEADE у точці FF. Доведіть, що пряма CFCF дотикається до кола ω\omega, якщо відомо, що ∠ADF=45∘\angle ADF = 45^\circ.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-003

Точки дотику зовнівписаних кіл і описані кола

Нехай зовнівписане коло трикутника ABCABC, що лежить навпроти вершини AA, дотикається до сторони BCBC у точці A1A_1. Точки B1B_1 на стороні ACAC і C1C_1 на стороні ABAB визначаються аналогічним чином з використанням зовнівписаних кіл, що лежать навпроти вершин BB і CC відповідно. Відомо, що центр описаного кола трикутника A1B1C1A_1B_1C_1 лежить на колі, описаному навколо трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABCABC прямокутний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-001

Точки дотику зовнівписаного кола та перетини на BC

Нехай точка JJ — центр зовнівписаного кола трикутника ABCABC, яке дотикається до сторони BCBC трикутника. Позначимо точку дотику кола до сторони BCBC через MM, а до прямих ABAB та ACAC — через KK та LL відповідно. Прямі LMLM і BJBJ перетинаються в точці FF, а прямі KMKM і CJCJ перетинаються в точці GG. Нехай SS — точка перетину прямих AFAF та BCBC, а TT — точка перетину прямих AGAG та BCBC. Доведіть, що точка MM ділить відрізок STST навпіл.
10–11 класиЗовнівписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-006

Описані чотирикутники з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з непаралельними сторонами BCBC і ADAD. Припустимо, що існує точка EE на стороні BCBC така, що чотирикутники ABEDABED і AECDAECD є описаними. Доведіть, що існує точка FF на стороні ADAD така, що чотирикутники ABCFABCF і BCDFBCDF є описаними, тоді й лише тоді, коли сторона ABAB паралельна стороні CDCD.
10–11 класиВписане коло
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-006

Спільні зовнішні дотичні вписаних кіл трикутників ABC і ADC

Нехай ABCDABCD – опуклий чотирикутник, у якому BA≠BCBA \ne BC. Позначимо кола, що вписані в трикутники ABCABC та ADCADC, через ω1\omega_1 та ω2\omega_2 відповідно. Припустимо, що існує коло ω\omega, яке дотикається до продовження відрізка BABA за точку AA, продовження відрізка BCBC за точку CC, і також дотикається до прямих ADAD та CDCD. Доведіть, що спільні зовнішні дотичні до кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2 перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиГомотерія і подібність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1990-003

Трикутник найменшого периметра через внутрішню точку

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — внутрішня точка трикутника ABCABC. Припустимо, що пряма ll, яка проходить через PP, але не через AA, перетинає ABAB і ACAC (або їх продовження за BB чи CC) у точках QQ і RR відповідно. Знайдіть пряму ll таку, щоб периметр трикутника AQRAQR був найменшим можливим.
10–11 класиЗовнівписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-048

Відбиття зовнівписаного центра і сума кутів

Нехай ABCABC — трикутник і нехай JJ — центр його AA-зовнівписаного кола. Нехай KK — точка, симетрична точці JJ відносно відрізка [BC][BC]. Нехай EE і FF — точки на прямих (BJ)(BJ) і (CJ)(CJ) такі, що EAB^=CAF^=90∘\widehat{EAB} = \widehat{CAF} = 90^{\circ}. Доведіть, що FKE^+FJE^=180∘\widehat{FKE} + \widehat{FJE} = 180^{\circ}.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-053

Дотичні й середина відрізка точок дотику зовнівписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} — точки дотику відповідно AA-зовнівписаного кола, позначеного ωA\omega_{A}, зі стороною BCBC та променями [AC)[AC) і [AB)[AB). Нехай PP — середина відрізка [B1C1][B_{1}C_{1}]. Пряма (A1P)(A_{1}P) вдруге перетинає коло ωA\omega_{A} у точці XX. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA і дотична до кола ωA\omega_{A} у точці XX перетинаються в точці RR. Доведіть, що RX=RPRX = RP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-129

Периметр ортоцентричного трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай DD, EE і FF — основи висот з AA, BB і CC на сторони BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно, а QQ — основа висоти з AA на пряму EFEF. Відомо, що AQ=20AQ = 20, BC=15BC = 15 і AD=24AD = 24. Обчисліть периметр трикутника DEFDEF.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-011

Дотичні до вписаного кола та відображені відрізки

Нехай ω\omega — вписане коло різностороннього трикутника ABCABC. Нехай ω\omega дотикається до сторін ABAB і ACAC у точках XX і YY. Нехай X′X' і Y′Y' — точки на відрізках ABAB і ACAC відповідно такі, що AX′=XBAX' = XB і AY′=YCAY' = YC. Нехай пряма CX′CX' перетинає ω\omega у точках P,QP, Q так, що PP ближча до CC, ніж QQ. Також нехай RR — точка перетину прямих CX′CX' і BY′BY'. Доведіть, що CP=RX′CP = RX'.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-097

Перпендикулярність бісектриси AD і прямої XY

Нехай ABCABC — трикутник. Точка DD лежить на відрізку BCBC так, що ∠BAD=∠DAC\angle BAD = \angle DAC. Точка XX лежить по інший бік від прямої BCBC, ніж AA, і задовольняє XB=XDXB = XD та ∠BXD=∠ACB\angle BXD = \angle ACB. Аналогічно, точка YY лежить по інший бік від прямої BCBC, ніж AA, і задовольняє YC=YDYC = YD та ∠CYD=∠ABC\angle CYD = \angle ABC. Доведіть, що прямі XYXY і ADAD перпендикулярні.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-014

Відстані від зовнівписаного центра і центра описаного кола

У трикутнику △ABC\triangle ABC, де ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, позначимо через KK центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Прямі AKAK і BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE — центр описаного кола трикутника △BKC\triangle BKC. Доведіть, що 1∣KA∣=1∣KD∣+1∣KE∣\frac{1}{|KA|} = \frac{1}{|KD|} + \frac{1}{|KE|}
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-036

Максимум синуса B за умови із зовнівписаним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AA-зовнівписаним колом Γ\Gamma. Нехай пряма через AA, перпендикулярна до BCBC, перетинає BCBC в точці DD і перетинає Γ\Gamma в точках EE та FF. Припустимо, що AD=DE=EFAD = DE = EF. Якщо максимальне значення sin⁡B\sin B можна записати у вигляді a+bc\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c} для натуральних чисел a,ba, b і cc, обчисліть найменше можливе значення a+b+ca+b+c.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-041

Рівність AY = XY на дотичній до вписаного кола

У трикутнику ABCA B C довжини сторін AB=19A B=19, BC=20B C=20 і CA=21C A=21. Точки XX і YY вибрано на сторонах ABA B і ACA C відповідно так, що AY=XYA Y = X Y і XYX Y дотикається до вписаного кола △ABC\triangle A B C. Якщо довжину відрізка AXA X можна записати як ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-038

Трикутник із вписаним колом, дотичним до серединного перпендикуляра

Нехай ABCABC — трикутник, вписане коло якого дотикається до серединного перпендикуляра до сторони BCBC. Якщо BC=AE=20BC = AE = 20, де EE — точка дотику AA-зовнівписаного кола до сторони BCBC, обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-030

Дотичні до кіл у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, в якій пряма (AB)(AB) паралельна прямій (CD)(CD). Припустимо, що всередині трапеції є два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} такі, що ω1\omega_{1} дотикається до сторін [DA][DA], [AB][AB] і [BC][BC], а ω2\omega_{2} дотикається до сторін [BC][BC], [CD][CD] і [DA][DA]. Нехай (d1)(d_{1}) — друга дотична (після прямої (AD)(AD)) до кола ω2\omega_{2}, що проходить через AA, а (d2)(d_{2}) — друга дотична (після прямої (BC)(BC)) до кола ω1\omega_{1}, що проходить через CC. Доведіть, що прямі (d1)(d_{1}) і (d2)(d_{2}) паралельні.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-077

Кути перетину зовнівписаних кіл з описаним

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай IAI_{A}, IBI_{B}, ICI_{C} — центри зовнівписаних кіл цього трикутника, що відповідають вершинам AA, BB, CC, а OO — центр описаного кола трикутника. Нехай γA\gamma_{A}, γB\gamma_{B}, γC\gamma_{C} — відповідні зовнівписані кола, а ω\omega — описане коло. XX — один із перетинів кіл γA\gamma_{A} і ω\omega. Аналогічно, YY — перетин кіл γB\gamma_{B} і ω\omega, а ZZ — перетин кіл γC\gamma_{C} і ω\omega. Обчисліть cos⁡∠OXIA+cos⁡∠OYIB+cos⁡∠OZIC.\cos \angle O X I_{A} + \cos \angle O Y I_{B} + \cos \angle O Z I_{C}.
10–11 класиЗовнівписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-007

Коло на діаметрі AK і середина сторони BC

Нехай II — інцентр, а Ω\Omega — вписане коло трикутника ABCABC, а MM — середина сторони BCBC. Нехай KK — точка перетину прямої, що проходить через AA і перпендикулярна до прямої BCBC, та прямої, що проходить через MM і перпендикулярна до прямої AIAI. Доведіть, що коло, діаметром якого є відрізок AKAK, дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-096

Відрізок дотичної, паралельний прямій

Нехай AA, BB, CC — точки в такому порядку на прямій, що AB=20AB = 20 і BC=18BC = 18. Нехай ω\omega — коло ненульового радіуса з центром у BB, а ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2 — дотичні до кола ω\omega, проведені через AA і CC відповідно. Нехай KK — точка перетину прямих ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2. Нехай XX лежить на відрізку KA‾\overline{KA}, а YY лежить на відрізку KC‾\overline{KC}, причому XY∥BCXY \parallel BC і XYXY дотикається до кола ω\omega. Яка найбільша можлива ціла довжина відрізка XYXY?
10–11 класиЗовнівписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.