Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2016-004

Підрахунок PIN-кодів з обмеженням на суму цифр

PIN-код телефону Євгенії складається з 4 цифр; Євгенія пам’ятає лише, що перша — від 0 до 6, друга — від 0 до 3, третя — від 0 до 4, четверта — від 0 до 2, і що сума чотирьох цифр становить принаймні 8 (наприклад, PIN міг би бути 3330). Скільки існує кодів, сумісних зі спогадами Євгенії?
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-011

Неперетинне сполучення точок кола із сумою

На колі лежать 2n2n різних точок. Числа від 11 до 2n2n навмання розподілено по цих точках. Кожну точку з'єднано рівно з однією іншою точкою так, щоб жодні два з утворених сполучних відрізків не перетиналися. Якщо відрізок з'єднує числа aa і bb, то надамо цьому відрізку значення ∣a−b∣|a-b|. Доведіть, що відрізки можна вибрати так, щоб сума цих значень дорівнювала n2n^{2}.
10–11 класиКонструкція за індукцією2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-033

Пішакова гра на шаховій дошці

На клітинках одного краю шахової дошки 8×88 \times 8 стоять 8 білих пішаків, а на клітинках протилежного краю — 8 чорних пішаків. Кожним ходом гравець пересуває одного зі своїх пішаків на одну або більше клітинок уперед (у бік фігур суперника) або назад, але ставити пішака на клітинку, де стоїть пішак суперника, або перестрибувати через таку клітинку заборонено. Ходи виконуються по черзі, починають білі. Гравець, який не може зробити хід, програє. Який гравець має виграшну стратегію?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-026

Гра із захопленням тур з обмеженням на хід

Манні та Міку грають у таку гру з турами на шаховій дошці 8×88 \times 8. На початку гри Міку розставляє 8 тур на клітинки дошки за власним бажанням. Потім обидва гравці ходять по черзі, починає Манні. Кожним ходом гравець пересуває рівно одну туру вздовж горизонталі або вертикалі (тобто рядка чи стовпця) на одну або більше клітинок в одному напрямку. Якщо тура ходить на клітинку, на якій стоїть інша тура, остання знімається з дошки; перестрибувати через іншу туру заборонено. Гравець, який першим зніме туру з дошки, виграє; однак заборонено як ходити, так і знімати туру, якою суперник ходив своїм останнім ходом. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію і якщо так, то хто саме?
10 класІнші інваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-026

Розливання пляшок у відра не більше ніж по літру

Нехай n⩾1n \geqslant 1. Маємо скінченну кількість пляшок, кожна з яких містить кількість води, меншу від 1 літра, причому загальна кількість води становить n2\frac{n}{2} літрів. Маємо також nn порожніх відер. Доведіть, що можна вилити кожну пляшку у відро (можна виливати кілька пляшок в одне й те саме відро, але не можна виливати одну пляшку частково в одне відро, а частково в інше) так, щоб у кожному відрі було не більше 1 літра води.
9–11 класиМетод математичної індукції
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-050

Середні значення сум послідовних чисел

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні цілі числа. Для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n позначимо mk=max⁡1≤ℓ≤kak−ℓ+1+ak−ℓ+2+⋯+akℓ.m_{k}=\max _{1 \leq \ell \leq k} \frac{a_{k-\ell+1}+a_{k-\ell+2}+\cdots+a_{k}}{\ell} . Доведіть, що для будь-якого α>0\alpha>0 кількість цілих kk, для яких mk>αm_{k}>\alpha, строго менша за a1+a2+⋯+anα\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{\alpha}.
9–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-093

Мінімальна кількість пігулок до цільової ваги

Нео має необмежений запас червоних і синіх пігулок. Коли він приймає червону пігулку, його вага подвоюється, а коли приймає синю пігулку — він втрачає один фунт. Якщо спочатку Нео важить один фунт, яка найменша кількість пігулок, яку він має прийняти, щоб його вага стала 2015 фунтів?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-104

Гра на дошці з максимізацією червоної області

Розглянемо сітку 4×44 \times 4 з клітинок. Азірафаель і Кроулі грають на цій сітці в гру, ходячи по черзі, причому першим ходить Азірафаель. Своїм ходом Азірафаель може пофарбувати будь-яку незафарбовану клітинку в червоний колір, а своїм ходом Кроулі може пофарбувати будь-яку незафарбовану клітинку в синій колір. Гра закінчується, коли всі клітинки зафарбовано, а результатом Азірафаеля є площа найбільшої замкненої області, яка повністю червона. Якщо Азірафаель прагне максимізувати свій результат, Кроулі прагне його мінімізувати, і обидва гравці грають оптимально, яким буде результат Азірафаеля?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-139

Умовна ймовірність із кольоровими кульками

У Келвіна є мішок із 50 червоними кульками, 50 синіми кульками та 30 жовтими кульками. Відомо, що після того, як він навмання витягнув 65 кульок (без повернення), червоних кульок серед витягнутих виявилося на 5 більше, ніж синіх. Яка ймовірність того, що наступна кулька, яку він витягне, буде червоною?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-012

Дільники, що перемикаються стрибками кенгуру

Кабояра, знаменитий австралійський циркач, і цього року виступає з грандіозним трюком. Він підготував ефектні сходи з N=p1⋅p2⋅…⋅p2015N = p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{2015} сходинками, де p1,p2,…,p2015p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{2015} — різні прості числа; сходинки, що відповідають дільникам NN (включно з першою та NN-ю сходинкою), особливі й спочатку світяться зеленим. Під час вистави 2015 дресированих кенгуру один за одним піднімаються сходами; для i=1,2,…,2015i = 1, 2, \ldots, 2015 ii-й кенгуру стрибає по pip_{i} сходинок за раз, починаючи з підніжжя сходів (стрибає на сходинку pip_{i}, потім на 2pi2 p_{i} і так далі, доки не досягне сходинки NN). Щоразу, коли кенгуру стрибає на особливу сходинку, вона змінює колір: із зеленої стає червоною, з червоної — зеленою. Скільки особливих сходинок світитимуться зеленим наприкінці вистави? (A) 22015−210082^{2015} - 2^{1008} (B) 220142^{2014} (C) 22014−210072^{2014} - 2^{1007} (D) 220132^{2013} (E) 2015⋅210082015 \cdot 2^{1008}
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-055

Гра в доміно на прямокутній дошці

Умберто і Дойсберто грають на дошці 3×n3 \times n, викладаючи доміно, які завжди покривають дві сусідні клітинки (зі спільною стороною) дошки. Умберто робить перший хід, Дойсберто робить другий, і далі вони продовжують грати по черзі. Програє гравець, який не зможе зробити хід. Для кожного з випадків нижче скажіть, який із гравців може вигадати стратегію і завжди гарантувати собі перемогу незалежно від того, як гратиме інший. а) n=3n=3 б) n=4n=4
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-009

Ітеративний процес подвоєння суми

Нехай mm — натуральне число. На дошці SMO написано 2m2^{m} разів число 11. За один крок ми вибираємо два числа aa і bb на дошці й замінюємо кожне з них на a+ba+b. Доведіть, що після m2m−1m 2^{m-1} кроків сума чисел становить щонайменше 4m4^{m}.
10–11 класиНерівність Коші
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-019

Обмін тягарцями для врівноваження терезів

Тягарці вагою відповідно 1 г,2 г,…,200 г1~\text{г}, 2~\text{г}, \ldots, 200~\text{г} розкладено на дві шальки терезів так, що кожна шалька містить 100 тягарців. Доведіть, що можна обміняти 50 тягарців з однієї шальки на 50 тягарців з іншої шальки так, щоб терези зрівноважилися.
8–10 класиСиметрія та розбиття на пари
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2014-013

Злиття фішок з однаковими номерами

Маємо nn фішок, на кожній з яких написано ціле число (яке може бути від'ємним). Якщо серед них знайдуться дві фішки з однаковим номером mm, то їх забирають і замість них кладуть одну фішку з номером m−1m-1 та іншу з номером m+1m+1. Доведіть, що після скінченної кількості таких замін усі фішки матимуть різні номери.
9–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-088

Сума цілих частин зі степенями двійки

Обчисліть ∑k=0100⌊2100250+2k⌋\sum_{k=0}^{100}\left\lfloor\frac{2^{100}}{2^{50}+2^{k}}\right\rfloor (Тут, якщо xx — дійсне число, то ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-077

Гра з подвоєнням і додаванням

Марк і Вільям грають у гру із збереженим значенням. Своїм ходом гравець може або помножити збережене значення на 2 і додати 1, або помножити збережене значення на 4 і додати 3. Перший гравець, який зробить збережене значення більшим за 21002^{100}, виграє. Збережене значення на початку дорівнює 1, і першим ходить Марк. Вважаючи, що обидва гравці грають оптимально, яка найбільша можлива кількість ходів, яку може зробити Вільям? (Під оптимальною грою ми розуміємо, що будь-яким ходом гравець обирає хід, який веде до найкращого можливого результату за умови, що суперник також грає оптимально. Якщо обидва ходи ведуть до того самого результату, гравець обирає один із них довільно.)
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-100

Мінімізація суми зі зваженими замінами

Зафіксуємо додатне дійсне число c>1c>1 і натуральне число nn. Спочатку на дошці написані числа 1,c,…,cn−11, c, \ldots, c^{n-1}. Щохвилини Боб вибирає два числа a,ba, b на дошці й замінює їх на ca+c2bc a + c^{2} b. Доведіть, що через n−1n-1 хвилин на дошці залишиться одне число, не менше за (cn/L−1c1/L−1)L\left(\frac{c^{n / L}-1}{c^{1 / L}-1}\right)^{L} де ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} і L=1+log⁡ϕ(c)L=1+\log _{\phi}(c).
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2014-029

Покриття чисел перевертанням аркушів

Нехай nn — натуральне число. Даніель і Мерлін грають у гру. Даніель має kk аркушів паперу, що лежать поруч на столі, де kk — натуральне число. Він пише на кожному аркуші паперу кілька з чисел від 1 до nn включно (можна жодного, можна й усі). На звороті кожного аркуша паперу він пише саме решту чисел від 1 до nn включно. Коли Даніель закінчить, Мерлін може покласти кілька аркушів паперу зворотом догори (він може не перевертати жодного аркуша або ж перевернути всі). Якщо йому вдасться зробити всі числа від 1 до nn включно одночасно видимими (повторення дозволені), то він виграє. Знайдіть найменше kk, для якого Мерлін завжди може виграти, що б не робив Даніель.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-030

Перемикання лампочок на великій дошці

На дошці 2014×20142014 \times 2014 на кожній з 201422014^{2} клітинок стоїть лампочка. Лампочки можуть бути ввімкнені або вимкнені. У початковій ситуації деяка кількість лампочок увімкнена. За один хід вибирають рядок або стовпець, у якому ввімкнено принаймні 1007 лампочок, і змінюють стан усіх 2014 лампочок у цьому рядку або стовпці (з увімкненої на вимкнену і з вимкненої на увімкнену). Знайдіть найменше невід'ємне ціле kk таке, що з кожної початкової ситуації можна за скінченну кількість ходів перейти до ситуації, у якій увімкнено не більше ніж kk лампочок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-041

Остовні дерева з забороненими ребрами

Країна має nn міст, позначених 11, 22, 33, …\dots, nn. Вона хоче прокласти рівно n−1n-1 доріг між деякими парами міст так, щоб з кожного міста можна було потрапити до кожного іншого певною послідовністю доріг. Однак не дозволяється прокладати дороги між парами міст, номери яких відрізняються рівно на 11, і так само не дозволяється прокладати дорогу між містами 11 і nn. Нехай TnT_n — загальна кількість можливих способів прокласти ці дороги. a. Для всіх непарних nn доведіть, що TnT_n ділиться на nn. b. Для всіх парних nn доведіть, що TnT_n ділиться на n/2n/2.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-004

Ймовірність однакових розфарбованих тетраедрів

Грані двох однакових правильних тетраедрів фарбують у червоний, білий, зелений, синій кольори; кольори вибирають випадково, але всі чотири грані кожного тетраедра мають бути різного кольору. Яка ймовірність того, що після фарбування два тетраедри будуть нерозрізнюваними? (A) 14!\frac{1}{4!} (B) 24!\frac{2}{4!} (C) 14\frac{1}{4} (D) 12\frac{1}{2} (E) 1
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-004

Сума за дільниками з квадратним коренем

Знайдіть значення ∑1d+10!\sum \frac{1}{d + \sqrt{10!}} де суму взято за всіма додатними дільниками dd числа 10!10!.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-003

Перестановки, що переживають чотири видалення нерухомих точок

nn учнів з різними іменами стають у коло обличчям до центра кола. Спочатку nn бейджів з іменами учнів роздають їм навмання. Учні повторюють такий процес: [процес] Кожен учень, що має бейдж зі своїм іменем, виходить з кола, а решта учнів передають свої бейджі праворуч. Знайдіть кількість початкових роздач бейджів, за яких після 4 процесів ще залишаться деякі учні.
10–11 класиПерестановки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-003

Гра на шестикутній сітці з видаленням та лінією

Нехай kk — додатне ціле число. Два гравці AA і BB грають у гру на нескінченній сітці з правильних шестикутників. Спочатку всі клітинки сітки порожні. Потім гравці по черзі роблять ходи, причому AA ходить першим. Своїм ходом AA може вибрати два сусідні порожні шестикутники в сітці та помістити в обидва фішку. Своїм ходом BB може вибрати будь-яку фішку на дошці та видалити її. Якщо в будь-який момент є kk послідовних клітинок сітки в ряд, усі з яких містять фішку, AA виграє. Знайдіть мінімальне значення kk, для якого AA не може виграти за скінченну кількість ходів, або доведіть, що такого мінімального значення не існує.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-019

Шахове розфарбування відбиттями квадратів 2×2

На клітинній дошці 2n×2n2n \times 2n рівно половина клітинок пофарбована в чорний колір, а друга половина — у білий. За один хід можна взяти деякий квадрат 2×22 \times 2 у цій дошці та відобразити його чотири клітинки симетрично відносно горизонтальної або вертикальної центральної осі. Для яких натуральних чисел nn можна з будь-якої початкової конфігурації дійти до стану, коли вся дошка пофарбована шаховим чином?
11 класНапівінваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.