Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
ГеометріяГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-011

Дві паралельні січні і кола трикутників з перпендикулярів

Нехай у деякому трикутнику ABCABC прямі l1,l2l_1, l_2 — паралельні. Для i=1,2i = 1, 2 нехай пряма lil_i перетинає прямі BCBC, CACA, ABAB у точках Xi,Yi,ZiX_i, Y_i, Z_i відповідно. Прямі, що проходять через точку XiX_i перпендикулярно до прямої BCBC, через точку YiY_i — перпендикулярно до прямої CACA та через точку ZiZ_i — перпендикулярно до прямої ABAB, утворюють невироджений трикутник Δi\Delta_i. Доведіть, що кола, описані навколо невироджених трикутників Δ1\Delta_1 і Δ2\Delta_2, дотикаються один до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-016

Коло на MN як на діаметрі і фіксована точка

Гострокутний трикутник ABCABC, у якому ∠A<∠B<∠C\angle A < \angle B < \angle C, вписано в коло ω\omega. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, вибрано довільним чином точку DD. Прямі CDCD і ABAB перетинаються в точці EE, а прямі BDBD і ACAC — у точці FF. Нехай O1O_1 — центр кола ω1\omega_1, яке знаходиться всередині трикутника EBDEBD та дотикається до прямих EBEB, EDED і до кола ω\omega. Аналогічно нехай O2O_2 — центр кола ω2\omega_2, яке лежить усередині трикутника FCDFCD й дотикається до прямих FCFC, FDFD і до кола ω\omega. Позначимо точку дотику ω1\omega_1 до прямої BEBE через NN, а точку дотику ω2\omega_2 до прямої CFCF — через MM. Доведіть, що кола, побудовані на MNMN як на діаметрі, проходять через фіксовану точку незалежно від вибору точки DD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-001

Рівність кутів BAM і CAN у трикутнику

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, A′A' — точка, що симетрична точці AA відносно прямої BCBC, XX — довільна точка на промені AA′AA' (X≠A)(X \neq A). Бісектриса кута BACBAC перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD (D≠A)(D \neq A). Нехай MM — середина відрізка DXDX. Пряма, що проходить через точку OO паралельно ADAD, перетинає DXDX у точці NN. Доведіть, що кути BAMBAM і CANCAN рівні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-013

Ортоцентр трикутника ABC на колі трикутника CDE

Задано трикутник ABCABC і точки DD, EE, FF на прямих BCBC, CACA й ABAB відповідно такі, що AF=EFAF = EF і BF=DFBF = DF. Доведіть, що ортоцентр трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника CDECDE.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-010

Точки P і Q всередині опуклого чотирикутника ABCD

Всередині опуклого чотирикутника ABCDABCD вибрані точки PP та QQ таким чином, що PQDAPQDA та QPBCQPBC – вписані чотирикутники. Припустимо, що існує така точка EE на відрізку PQPQ, що ∠PAE=∠QDE\angle PAE = \angle QDE та ∠PBE=∠QCE\angle PBE = \angle QCE. Довести, що чотирикутник ABCDABCD також вписаний.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-009

Рівність відношень на прямій B1B2

Заданий △ABC\triangle ABC і точка DD всередині трикутника. Позначимо точки перетину прямих A0=AD∩BCA_0 = AD \cap BC, B0=BD∩ACB_0 = BD \cap AC, C0=CD∩ABC_0 = CD \cap AB. Нехай A1,B1,C1,A2,B2,C2A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2 – середини відрізків BCBC, ACAC, ABAB, ADAD, BDBD, CDCD відповідно. Через точку B0B_0 проведено прямі, які паралельні A1A2A_1A_2 та C1C2C_1C_2, які перетинають пряму B1B2B_1B_2 в точках A3A_3 і C3C_3 відповідно. Довести, що A3B1A3B2=C3B1C3B2\frac{A_3B_1}{A_3B_2} = \frac{C_3B_1}{C_3B_2}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-012

Точки перетину дотичних з перпендикулярами в трикутнику

Нехай точка OO — центр описаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Позначимо через A1A_1 середину сторони BCBC. Нехай A2A_2 — друга точка перетину прямої AA1AA_1 з колом ω\omega, пряма ℓa\ell_a дотикається до кола ω\omega в точці A2A_2. Позначимо через PaP_a точку перетину прямої ℓa\ell_a з прямою, яка проходить через точку A1A_1 перпендикулярно до прямої AOAO. Точки PbP_b і PcP_c визначаються аналогічно. Доведіть, що точки PaP_a, PbP_b і PcP_c лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-005

Коло через точки A, D, E, F трикутника

Нехай дано гострокутний трикутник ABCABC. Точка DD лежить у тій самій півплощині відносно прямої ABAB, що й точка CC, та задовольняє такі умови: DB⊥ABDB \perp AB та ∠ADB=45∘+12∠ACB\angle ADB=45^\circ + \dfrac{1}{2}\angle ACB. Аналогічно, точка EE належить тій самій півплощині відносно прямої ACAC, що й точка BB, та справджуються умови: AC⊥ECAC \perp EC та ∠AEC=45∘+12∠ABC\angle AEC=45^\circ + \dfrac{1}{2}\angle ABC. Нехай точка FF — це точка, симетрична точці AA відносно середини більшої дуги BACBAC. Доведіть, що точки AA, DD, EE, FF лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Балтійський шляхBW-2024-013

Відображення сторін трикутника та колінеарність точок D, P, H

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Нехай DD — точка поза описаним колом трикутника ABCABC, така, що ∠ABD=∠DCA\angle ABD = \angle DCA. Відображення ABAB відносно BDBD перетинає CDCD у точці XX. Відображення ACAC відносно CDCD перетинає BDBD у точці YY. Прямі, перпендикулярні до ACAC і ABAB, проведені через точки XX і YY відповідно, перетинаються в точці PP. Доведіть, що точки DD, PP і HH колінеарні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Балтійський шляхBW-2024-014

Відображення точки H відносно KD на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Висоти ADAD, BEBE і CFCF трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Точка KK вибрана на прямій EFEF так, що KH∥BCKH \parallel BC. Доведіть, що відображення точки HH відносно KDKD лежить на колі ω\omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-002

Трикутник з точками дотику та перетин на описаному колі

У трикутнику ABCABC відомо, що AC>ABAC > AB. Нехай Ω\Omega — його описане коло, а точка II — центр вписаного кола. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Позначимо через XX і YY відповідно дві точки на менших дугах DF⌢\overset{\frown}{DF} та DE⌢\overset{\frown}{DE} вписаного кола так, що ∠BXD=∠DYC\angle BXD = \angle DYC. Прямі XYXY і BCBC перетинаються в точці KK. Нехай TT — точка на колі Ω\Omega така, що пряма KTKT є дотичною до кола Ω\Omega, а точки TT та AA лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що прямі TDTD та AIAI перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Європейський математичний кубокEMC-2024-007

Півколо, паралелограм і середина відрізка PQ

Нехай ω\omega — півколо з діаметром ABAB і точка MM — середина відрізка ABAB. Нехай XX та YY — точки в тій самій півплощині, що й ω\omega відносно прямої ABAB, так що AMXYAMXY — паралелограм. Нехай II — центр вписаного кола трикутника MXYMXY. Прямі MXMX та MYMY перетинають півколо ω\omega у точках CC та DD відповідно. Нехай T=AC∩BDT = AC \cap BD, E=MT∩XYE = MT \cap XY, P=EI∩ABP = EI \cap AB, а точка QQ є проєкцією точки EE на пряму ABAB. Доведіть, що точка MM є серединою відрізка PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-004

Кути KIL і YPX у трикутнику з вписаним колом

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<AC<BCAB < AC < BC. Точка II — центр вписаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Нехай XX, де X≠CX \neq C, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку XX паралельно прямій ACAC, дотикається до кола ω\omega. Аналогічно нехай YY, де Y≠BY \neq B, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку YY паралельно прямій ABAB, дотикається до кола ω\omega. Нехай пряма AIAI вдруге перетинає описане коло ω\omega трикутника ABCABC у точці P≠AP \neq A. Точки KK та LL — середини сторін ACAC та ABAB відповідно. Доведіть, що ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL + \angle YPX = 180^\circ.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-005

Бісектриса кута через центр зовнівписаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого AB<ACAB < AC, а Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Точки XX і YY лежать на колі Γ\Gamma так, що прямі XYXY і BCBC перетинаються на зовнішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC. Припустимо, що дотичні до кола Γ\Gamma в точках XX і YY перетинаються в точці TT, що лежить з того самого боку від прямої BCBC, що й AA, і що TXTX і TYTY перетинають BCBC у точках UU і VV відповідно. Нехай JJ — центр зовнівписаного кола трикутника TUVTUV, протилежного вершині TT. Доведіть, що AJAJ ділить навпіл ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-005

Відрізок BC та два кола через X і Y

На площині зафіксовано відрізок BCBC. Нехай AA — це змінна точка площини, що не лежить на прямій BCBC. На променях CACA та BABA відповідно вибрано різні точки XX та YY так, що ∠CBX=∠YCB=∠BAC\angle CBX = \angle YCB = \angle BAC. Нехай дотичні до описаного кола трикутника ABCABC, що проведені у точках BB і CC, перетинають пряму XYXY у точках PP і QQ відповідно, причому точки XX, PP, YY та QQ є попарно різними та лежать по один бік від прямої BCBC. Нехай Ω1\Omega_1 — це коло із центром на прямій BCBC, що проходить через точки XX і PP. Аналогічно нехай Ω2\Omega_2 — це коло із центром на прямій BCBC, що проходить через точки YY і QQ. Доведіть, що кола Ω1\Omega_1 та Ω2\Omega_2 перетинаються у двох фіксованих точках, які не залежать від вибору точки AA.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-006

Перетин прямих у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому ∠BAD<∠ADC\angle BAD < \angle ADC. Нехай MM — середина дуги CDCD, що не містить AA. Припустимо, що всередині чотирикутника ABCDABCD існує точка PP така, що ∠ADB=∠CPD\angle ADB = \angle CPD і ∠ADP=∠PCB\angle ADP = \angle PCB. Доведіть, що прямі ADAD, PMPM, BCBC перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-007

Перетин дотичної на бісектрисі кута

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Позначимо його описане коло через Ω\Omega, а середину дуги CABCAB — через SS. Нехай перпендикуляр з AA до BCBC перетинає BSBS і Ω\Omega у точках DD і E≠AE \neq A відповідно. Нехай пряма через DD, паралельна до BCBC, перетинає пряму BEBE у точці LL, а описане коло трикутника BDLBDL позначимо через ω\omega. Нехай коло ω\omega перетинає Ω\Omega знову в точці P≠BP \neq B. Доведіть, що дотична до кола ω\omega в точці PP і пряма BSBS перетинаються на внутрішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиГомотерія і подібність3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-005

Паралельні прямі, перпендикуляри до сторін і дотик кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ℓ1\ell_{1} та ℓ2\ell_{2} — дві паралельні прямі. Для i=1,2i=1,2 нехай ℓi\ell_{i} перетинає прямі BCBC, CACA та ABAB у точках XiX_{i}, YiY_{i} та ZiZ_{i} відповідно. Припустимо, що пряма, яка проходить через XiX_{i} перпендикулярно до BCBC, пряма, яка проходить через YiY_{i} перпендикулярно до CACA, і, нарешті, пряма, яка проходить через ZiZ_{i} перпендикулярно до ABAB, визначають невироджений трикутник Δi\Delta_{i}. Покажіть, що описані кола трикутників Δ1\Delta_{1} та Δ2\Delta_{2} дотикаються одне до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-006

Рухома точка, бісектриси і фіксована точка

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка HH — основа висоти, проведеної з AA. Нехай PP — рухома точка така, що бісектриси kk і ℓ\ell кутів PBCP B C і PCBP C B відповідно перетинаються між собою на відрізку AHA H. Нехай kk і ACA C перетинаються в точці EE, нехай ℓ\ell і ABA B перетинаються в точці FF, а EFE F і AHA H перетинаються в точці QQ. Доведіть, що при зміні PP пряма PQP Q проходить через фіксовану точку.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-008

Вписане коло чотирикутника з вписаного шестикутника

Нехай AA′BCC′B′A A^{\prime} B C C^{\prime} B^{\prime} — опуклий вписаний шестикутник, такий, що пряма ACA C дотикається до вписаного кола трикутника A′B′C′A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, а пряма A′C′A^{\prime} C^{\prime} дотикається до вписаного кола трикутника ABCA B C. Нехай прямі ABA B і A′B′A^{\prime} B^{\prime} перетинаються в точці XX, а прямі BCB C і B′C′B^{\prime} C^{\prime} перетинаються в точці YY. Доведіть, що якщо XBYB′X B Y B^{\prime} — опуклий чотирикутник, то він має вписане коло.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-008

Вписаний чотирикутник з дотичними колами

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, усі сторони якого попарно різні. Нехай OO — центр описаного кола чотирикутника ABCDABCD. Внутрішні бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC і ∠ADC\angle ADC перетинають ACAC у точках B1B_{1} і D1D_{1} відповідно. Нехай OBO_{B} — центр кола, яке проходить через BB і дотикається до прямої ACAC у точці D1D_{1}. Аналогічно, нехай ODO_{D} — центр кола, яке проходить через DD і дотикається до прямої ACAC у точці B1B_{1}. Припустимо, що BD1∥DB1B D_{1} \parallel D B_{1}. Доведіть, що OO лежить на прямій OBODO_{B} O_{D}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-004

Кола в кутах трикутника, дотичні до вписаного кола

У трикутник ABCABC вписано коло радіуса rr. Кола з радіусами r1,r2,r3r_1, r_2, r_3 вписано в кути AA, BB, CC відповідно так, що вони дотикаються зовнішнім чином до вписаного кола, при цьому r1,r2,r3<rr_1, r_2, r_3 < r. Доведіть, що r1+r2+r3⩾rr_1 + r_2 + r_3 \geqslant r.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-018

Дотичні до вписаного кола описаного чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD описано навколо кола ω\omega. EE — точка перетину кола ω\omega і діагоналі ACAC, найближча до AA. Точка FF діаметрально протилежна точці EE в колі ω\omega. Пряма, дотична до кола ω\omega в точці FF, перетинає прямі ABAB і BCBC в точках A1A_1 і C1C_1, а прямі ADAD і CDCD — в точках A2A_2 і C2C_2 відповідно. Доведіть, що A1C1=A2C2A_1C_1 = A_2C_2.
10–11 класиЗовнівписане коло
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-005

Коло, дотичне до АВ, бісектриса і рівність кутів

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Деяке коло Ω\Omega дотикається до відрізка ABAB і до кола Γ\Gamma у точці, що лежить по один бік з точкою CC відносно прямої ABAB. Бісектриса кута BCABCA перетинає коло Ω\Omega у двох різних точках PP і QQ. Доведіть, що ∠ABP=∠QBC\angle ABP = \angle QBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-003

Висота трикутника, центроїди і спільна точка прямих

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC, і нехай ADAD — його висота. Точки RR, QQ — центроїди трикутників ABDABD та ACDACD відповідно. Точку PP на відрізку BCBC вибрано так, що P≠DP \ne D і точки PP, QQ, RR та DD лежать на одному колі. Доведіть, що прямі APAP, BQBQ і CRCR перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.