Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

172 задачі
ГеометріяКола, що дотикаються
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-006

Дотична до описаного кола та її відбиття від сторін

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а Γ\Gamma — описане навколо нього коло. Нехай пряма ll — деяка дотична до кола Γ\Gamma і lal_a, lbl_b та lcl_c — прямі, які симетричні прямій ll відносно прямих BCBC, CACA та ABAB відповідно. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника, що утворений прямими lal_a, lbl_b та lcl_c, дотикається до кола Γ\Gamma.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-008

Дотик вписаних кіл і колінеарність у чотирикутнику

Точка PP лежить на стороні ABAB опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай ω\omega — вписане коло трикутника CPDCPD, а II — його інцентр. Припустімо, що ω\omega дотикається до вписаних кіл трикутників APDAPD і BPCBPC в точках KK і LL відповідно. Нехай прямі ACAC і BDBD перетинаються в точці EE, а прямі AKAK і BLBL перетинаються в точці FF. Доведіть, що точки EE, II і FF лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-010

Нерівність сторін чотирикутника з дотичними колами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Коло, що проходить через точки AA і DD, і коло, що проходить через точки BB і CC, дотикаються зовні в точці PP всередині чотирикутника. Припустимо, що ∠PAB+∠PDC≤90∘ і ∠PBA+∠PCD≤90∘.\angle PAB + \angle PDC \leq 90^{\circ} \quad \text{ і } \quad \angle PBA + \angle PCD \leq 90^{\circ}. Доведіть, що AB+CD≥BC+ADAB + CD \geq BC + AD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Балтійський шляхBW-1995-016

Оберти вкладених кіл, що котяться одне всередині одного

Для тренування космонавтів використовують таку конструкцію: коло C2C_{2} радіуса 2R2R котиться вздовж внутрішнього боку іншого, нерухомого кола C1C_{1} радіуса nRnR, де nn — ціле число, більше за 22. Космонавт прикріплений до третього кола C3C_{3} радіуса RR, яке котиться вздовж внутрішнього боку кола C2C_{2} так, що точка дотику кіл C2C_{2} і C3C_{3} весь час перебуває на максимальній відстані від точки дотику кіл C1C_{1} і C2C_{2} (див. рисунок 3). Скільки обертів (відносно землі) здійснить космонавт разом із колом C3C_{3}, поки коло C2C_{2} зробить один повний обхід уздовж внутрішнього боку кола C1C_{1}? Рисунок 3
10–11 класиКола, що дотикаються
Балтійський шляхBW-1992-018

Дотичні кола і точка перетину

Нехай CC — коло на площині. Нехай C1C_{1} і C2C_{2} — кола, що не перетинаються, які дотикаються до кола CC внутрішньо в точках AA і BB відповідно. Нехай tt — спільна дотична до кіл C1C_{1} і C2C_{2}, що дотикається до них у точках DD і EE відповідно, така, що обидва кола C1C_{1} і C2C_{2} лежать з одного боку від прямої tt. Нехай FF — точка перетину прямих ADA D і BEB E. Доведіть, що FF лежить на колі CC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-036

Коло, дотичне до двох кіл і прямої

Дві прямі труби (кругові циліндри) з радіусами 11 і 14\frac{1}{4} лежать на пласкій підлозі паралельно одна одній і дотикаються. На рисунку нижче показано вид спереду. Чому дорівнює сума можливих радіусів третьої паралельної труби, що лежить на тій самій підлозі та дотикається до обох?
8–10 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-130

П’ятикутник з дотичними описаними колами

Нехай ABTCDABTCD — опуклий п’ятикутник площею 2222, такий, що AB=CDAB = CD, а описані кола трикутників TABTAB і TCDTCD дотикаються внутрішнім чином. Відомо, що ∠ATD=90∘\angle ATD = 90^{\circ}, ∠BTC=120∘\angle BTC = 120^{\circ}, BT=4BT = 4 і CT=5CT = 5. Обчисліть площу трикутника TADTAD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-047

Периметр квітки з дотичних дуг

Дерек нудиться на уроці математики й малює квітку. Спочатку він позначає 8 точок A1,A2,…,A8A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{8}, рівномірно розташованих на величезному колі. Потім він малює зовні кола 8 дуг, причому ii-та дуга для i=1,2,…,8i=1,2, \ldots, 8 має кінці Ai,Ai+1A_{i}, A_{i+1}, де A9=A1A_{9}=A_{1}, так, що всі дуги мають радіус 1, а будь-які дві сусідні дуги дотикаються. Обчисліть периметр 8-пелюсткової квітки Дерека.
10–11 класиКола, що дотикаються
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-006

Коло, дотичне до сторони та описаного кола

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AB=AC=5AB = AC = 5. Нехай DD — точка на стороні ABAB, така, що AD=3AD = 3, а EE — точка на стороні BCBC (відмінна від кінців BB і CC). Нехай ω\omega — коло, яке проходить через EE і дотикається до прямої ABAB у точці BB. Припустимо, що коло ω\omega дотикається до описаного кола трикутника ADEADE. Нехай FF — точка перетину кола ω\omega і прямої AEAE, відмінна від EE. Коли CF=10CF = 10, знайдіть довжину сторони BCBC.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-003

Спільні дотичні до двох кіл

Дотичною до кола називається пряма, що перетинає коло рівно в одній точці. Спільною дотичною двох кіл називається пряма, що є дотичною до обох кіл. Наприклад, на рисунку праворуч пряма aa є спільною дотичною до обох кіл, а пряма bb дотикається лише до більшого кола. Дано два різні кола на площині; нехай nn — кількість спільних дотичних прямих, які можна провести до цих двох кіл. Які всі можливі значення nn? У відповіді наведіть рисунки з поясненнями.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-003

Рівні відрізки від дотичних кіл

Трикутник ABCA B C має вписане коло ω\omega і AA-зовнівписане коло ωA\omega_{A}. Коло γB\gamma_{B} проходить через BB і зовні дотикається до кіл ω\omega і ωA\omega_{A}. Коло γC\gamma_{C} проходить через CC і зовні дотикається до кіл ω\omega і ωA\omega_{A}. Якщо γB\gamma_{B} перетинає пряму BCB C знову в точці DD, а γC\gamma_{C} перетинає пряму BCB C знову в точці EE, доведіть, що BD=ECB D=E C.
10–11 класиІнверсія4 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-131

Дотик кіл у вписаному чотирикутнику

Чотирикутник ABCDA B C D вписано в коло Γ\Gamma. Відрізки ACA C і BDB D перетинаються в точці EE. Коло γ\gamma проходить через точку EE і дотикається до кола Γ\Gamma в точці AA. Припустімо, що описане коло трикутника BCEB C E дотикається до кола γ\gamma в точці EE і дотикається до прямої CDC D в точці CC. Припустімо, що коло Γ\Gamma має радіус 33, а коло γ\gamma має радіус 22. Обчисліть довжину відрізка BDB D.
10–11 класиКола, що дотикаються
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-008

Прямокутник із дотичних кіл

Нехай ω1\omega_{1} — коло з діаметром JKJ K. Нехай tt — дотична до кола ω1\omega_{1} в точці JJ, а U≠JU \neq J — інша точка на прямій tt. Нехай ω2\omega_{2} — найменше коло з центром у UU, яке перетинає ω1\omega_{1} в єдиній точці YY. Нехай II — друга точка перетину прямої JKJ K з описаним колом трикутника JYUJ Y U, а FF — друга точка перетину прямої KYK Y з колом ω2\omega_{2}. Доведіть, що FUJIF U J I — прямокутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-009

Прямокутник з дотичних кіл

Нехай ω1\omega_{1} — коло з діаметром JKJ K. Нехай tt — дотична до кола ω1\omega_{1} у точці JJ, а U≠JU \neq J — інша точка на прямій tt. Нехай ω2\omega_{2} — менше коло з центром UU, яке дотикається до кола ω1\omega_{1} в єдиній точці YY. Нехай II — друга точка перетину прямої JKJ K з описаним колом трикутника JYUJ Y U, а FF — друга точка перетину прямої KYK Y з колом ω2\omega_{2}. Доведіть, що FUJIF U J I — прямокутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-012

Коло, дотичне до трьох одиничних кіл

Три кола одиничного радіуса попарно дотикаються одне до одного, а четверте коло дотикається до всіх трьох і не містить їх усередині. Чому дорівнює радіус четвертого кола? (A) 3+124\frac{\sqrt{3}+1}{24} (B) 18\frac{1}{8} (C) 312\frac{\sqrt{3}}{12} (D) 233−1\frac{2 \sqrt{3}}{3}-1 (E) 3−14\frac{\sqrt{3}-1}{4}
10–11 класиКола, що дотикаються
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-017

Симетричні точки A і кола що дотикаються

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якого кути при BB і при DD тупі, а кути при AA і при CC рівні між собою. Нехай EE і FF — точки, симетричні до AA відносно прямих (BC)(BC) і (CD)(CD). Нехай KK і LL — точки перетину прямої (BD)(BD) з прямими (AE)(AE) і (AF)(AF). Доведіть, що описані кола трикутників BEKBEK і DFLDFL дотикаються одне до одного.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-011

Вписане в сектор коло, дотичне до півкола

Півколо радіуса 20212021 має діаметр ABAB і центр OO. Точки CC і DD лежать на півколі так, що ∠AOC<∠AOD=90∘\angle AOC < \angle AOD = 90^\circ. Коло радіуса rr вписано в сектор, обмежений радіусами OAOA та OCOC, і дотикається до півкола в точці EE. Якщо CD=CECD = CE, обчисліть ⌊r⌋\lfloor r \rfloor.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-124

Коло з рівнобедреним прямокутним трикутником

Нехай OO та AA — дві точки на площині, причому OA=30OA = 30, а Γ\Gamma — коло з центром OO радіуса rr. Припустімо, що існують дві точки BB і CC на колі Γ\Gamma такі, що ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ} і AB=BCAB = BC. Обчисліть найменше можливе значення ⌊r⌋\lfloor r \rfloor.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2021-003

Рівні відрізки на прямій через перетин дотичних кіл

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а DD — точка на відрізку BCBC. Коло, що проходить через BB і DD та дотикається до кола Γ\Gamma, і коло, що проходить через CC і DD та дотикається до кола Γ\Gamma, перетинаються в точці E≠DE \neq D. Пряма DEDE перетинає Γ\Gamma у двох точках, XX і YY. Доведіть, що ∣EX∣=∣EY∣|EX| = |EY|.
10–11 класиКола, що дотикаються
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-018

Дотик кіл і точки, симетричні інцентру

Нехай ABCABC — трикутник і нехай II — центр його вписаного кола. Нехай DD — точка, симетрична II відносно сторони ABAB, а EE — точка, симетрична II відносно сторони ACAC. Доведіть, що описані кола трикутників BIDBID і CIECIE дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-011

Кут у конфігурації з дотичними колами

Коло ω2\omega_2 дотикається до кола ω1\omega_1 у точці AA і проходить через його центр OO. Точку CC вибрано на колі ω2\omega_2 так, що промінь ACAC перетинає ω1\omega_1 вдруге в точці DD, промінь OCOC перетинає ω1\omega_1 у точці EE, а пряма DEDE паралельна прямій AOAO. Знайдіть величину кута DAEDAE.
8–10 класиКола, що дотикаються2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-041

Точки на одному колі в конфігурації напіввписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, Ω\Omega — його описане коло, а OO — центр кола Ω\Omega. Нехай SS — центр кола, дотичного до сторін ABAB і ACAC та дотичного внутрішнім чином до кола Ω\Omega в точці KK. Коло з діаметром [AS][AS] вдруге перетинає коло Ω\Omega в точці TT. Нехай MM — середина відрізка [BC][BC]. Доведіть, що точки KK, TT, MM і OO належать одному колу.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-133

Відстань від перетину BE і CF до спільної дотичної

Кола ωa,ωb,ωc\omega_{a}, \omega_{b}, \omega_{c} мають центри A,B,CA, B, C відповідно й попарно зовнішньо дотикаються в точках D,E,FD, E, F (причому D∈BC,E∈CA,F∈ABD \in BC, E \in CA, F \in AB). Прямі BEBE і CFCF перетинаються в точці TT. Відомо, що коло ωa\omega_{a} має радіус 341341, існує пряма ℓ\ell, дотична до всіх трьох кіл, та існує коло радіуса 4949, дотичне до всіх трьох кіл. Обчисліть відстань від TT до прямої ℓ\ell.
10–11 класиКола, що дотикаються3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-134

Сума площ дружніх кіл

Нехай Γ\Gamma — коло радіуса 11 з центром у точці OO. Коло Ω\Omega називається дружнім, якщо існують різні кола ω1,ω2,…,ω2020\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{2020}, такі, що для всіх 1≤i≤20201 \leq i \leq 2020 коло ωi\omega_{i} дотикається до кіл Γ\Gamma, Ω\Omega і ωi+1\omega_{i+1}. (Тут ω2021=ω1\omega_{2021}=\omega_{1}.) Для кожної точки PP площини нехай f(P)f(P) позначає суму площ усіх дружніх кіл з центром у точці PP. Якщо AA і BB — точки такі, що OA=12OA=\frac{1}{2} і OB=13OB=\frac{1}{3}, знайдіть f(A)−f(B)f(A)-f(B).
10–11 класиІнверсія
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-017

Вкладені кола в рівносторонньому трикутнику

Усередині рівностороннього трикутника проведено коло, яке дотикається до всіх трьох сторін. Радіус цього кола дорівнює 1010. Друге, менше, коло дотикається до першого кола та двох сторін трикутника. Третє, ще менше, коло дотикається до другого кола та двох сторін трикутника (див. рисунок). Чому дорівнює радіус третього кола?
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.