Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
КомбінаторикаНапівінваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-122

Ітерації функції x мінус 1/x та прообрази довільного порядку

Нехай множина X=Q∖{−1,0,1}X = \mathbb{Q}\setminus\{-1,0,1\}. Функція f:X→Xf : X \to X визначена таким чином: f(x)=x−1x, f(1)(x)=f(x), f(n)(x)=f(f(n−1)(x)), n∈N.f(x) = x - \frac{1}{x},\ f^{(1)}(x) = f(x),\ f^{(n)}(x) = f\left(f^{(n-1)}(x)\right),\ n \in N. Чи існує x∈Xx \in X таке, що для довільного n∈Nn \in N існує y∈Xy \in X таке, що f(n)(y)=xf^{(n)}(y) = x?
10–11 класиНСД та НСК
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-058

Вісім команд і пари охочих грати

В математичному бої приймало участь 88 команд. Відомо, що у кожної команди існує не більше трьох команд, з якими вона не хоче грати. Довести, що команди можна розбити на пари таким чином, щоб у кожні з цих пар команди хотіли грати між собою. (Якщо команда «А» хоче грати проти команди «Б», то й навпаки, команда «Б» хоче грати проти команди «А»).
8–9 класиНапівінваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-013

Перемикання трьох сусідніх перемикачів у четвертий стан

Гомеру Сімпсону, персонажу відомого мультсеріалу «Сімпсони», доручили керувати роботою головного підрозділу атомної електростанції, на якій він працює. Перед ним пульт, на якому в ряд розташовано kk перемикачів, кожен з яких може перебувати в одному з чотирьох станів: «вгору», «вниз», «вліво» та «вправо». Гомер точно не запам'ятав, що саме він має робити з цими перемикачами, проте придумав собі таку розвагу. Він знаходить три послідовні перемикачі, що перемкнуто у три попарно різні позиції та усі три перемикає у четверту позицію. Він повторює таку операцію доки це можливо. Доведіть, що рано чи пізно Гомер не зможе в черговий раз повторити придуману ним розвагу і йому доведеться вигадувати для себе щось новеньке.
8–9 класиНапівінваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-019

Пересування фішки по дошці 2007×2007 двома гравцями

У центральній клітині дошки розміром 2007×20072007\times2007 стоїть фішка. Двоє гравців по черзі пересувають її на одну з сусідніх клітинок (клітинки, що мають спільну сторону). При цьому перший гравець або зберігає напрямок руху фішки, або повертає ліворуч, а другий гравець або зберігає напрямок руху, або повертає праворуч. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців має виграшну стратегію?
8–9 класиНапівінваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-061

Розрізи з середин сторін правильного n-кутника

Святковий торт має форму правильного nn-кутника, вписаного у коло радіуса 11. Із середини кожної сторони всередину торта (у довільному напрямку) проводиться розріз завдовжки 11. Чи обов'язково при цьому від торта буде відрізано хоча б один шматок?
8–9 класиНапівінваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-020

Найменше початкове зафарбування квадрата 100 на 100

Петрик зафарбував деякі клітинки квадрата 100×100100 \times 100. Далі якщо в деякому квадраті розміром 2×22 \times 2 клітинки вже зафарбовано три із чотирьох клітинок, то він має право зафарбувати й останню клітинку квадрата. Яку найменшу кількість клітинок із самого початку має зафарбувати Петрик, щоб після того він зміг зафарбувати й усю дошку?
4 класНапівінваріанти
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-025

Впорядкування ста томів перестановками трьох томів

На полиці в деякому порядку стоять 100100 томів енциклопедії, занумерованих числами від 11 до 100100. За один крок можна взяти довільні три томи та переставити їх у будь-якому порядку. Наприклад, якщо томи № 11, 22 та 33 стоять на позиціях 1010, 2020 та 3030 відповідно, то після такої операції можна поставити том № 11 на позицію 2020, том № 22 — на позицію 3030, том № 33 — на позицію 1010. Для якого найменшого числа mm за mm таких операцій гарантовано можна поставити кожний том на свою позицію, тобто щоб том № 11 займав позицію 11, том № 77 — позицію 77 тощо?
9 класНапівінваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-042

Гра двох гравців з роботом на прямій

Робот знаходиться в точці координатної прямої з координатою p=m2020p=\dfrac{m}{2020}, де 0<m<20200 < m < 2020, і може рухатися ліворуч та праворуч уздовж цієї прямої. Два гравці грають у таку гру: на кожному ході Андрій задає відстань, Петрик — напрямок руху, і робот рухається вказаним чином від точки свого теперішнього перебування. Андрій виграє, якщо робот у якийсь момент потрапить у точку X=0X = 0 чи Y=1Y = 1, а Петрик переможе, якщо завадить виграти Андрію. При яких значеннях mm у цій грі переможе Андрій, якщо вона може тривати досить багато часу?
5 класІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-069

Обмін прапорців трьох кольорів до 11 кожного

У Петрика є по 1010 прапорців жовтого, синього та чорного кольорів. У крамниці йому запропонували такий принцип обміну його прапорців: за 44 жовтих він може отримати 55 синіх, або за 22 чорних і 33 синіх — 44 жовтих, або за 33 жовтих і 44 синіх — 77 чорних. Чи зможе Петрик так скомбінувати обміни, щоб у нього стало принаймні по 1111 прапорців кожного кольору?
6 класНапівінваріанти
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-094

Найменша кількість чорних комірок для заповнення прямокутника

Прямокутник n×mn \times m, n⩽mn \leqslant m, поділено на одиничні квадратики 1×11 \times 1 (комірки). На початку ми вибираємо NN комірок та фарбуємо їх у чорний колір. Далі наша мета — зробити всі комірки чорними завдяки таким ходам: якщо порожня комірка має спільну сторону щонайменше з двома чорними, то цей квадрат стає чорним. Знайдіть найменше можливе NN, для якого після скінченної кількості кроків усі комірки стануть чорними.
9 класНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-004

Пари лицарів-друзів за круглим столом і обміни

Задане натуральне число nn. Є 2n2n лицарів, що сидять за круглим столом. Вони складаються з nn пар друзів, кожна пара з яких бажає потиснути руку один одному. Пара може потиснути руки один одному лише, якщо вони сидять поруч за столом. Кожної хвилини два лицарі, що сидять поруч, можуть помінятися місцями. Знайдіть, яку найменшу кількість таких змін місць двох сусідів треба зробити, щоб гарантовано, незалежно від початкової розсадки лицарів, кожна пара лицарів, що є друзями, змогла в якийсь момент потиснути руки один одному. Кожний лицар може входити рівно в одну пару. Потиснути руки вони мають не обов'язково одночасно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-010

Послідовність натуральних чисел з коренем з добутку

Нехай a0a_0 — деяке натуральне число. Визначимо нескінченну послідовність натуральних чисел (an)(a_n), де n∈Nn \in \mathbb{N}, таким чином: нехай уже визначені для деякого натурального числа nn члени послідовності a0,a1,…,an−1a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, то ana_n — це найменше натуральне число, для якого число a0a1…ann\sqrt[n]{a_0 a_1 \ldots a_n} є натуральним. Доведіть, що існують натуральні числа kk та cc, для яких справджується умова an=ca_n = c для всіх натуральних чисел n⩾kn \geqslant k.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-004

Нескінченний процес з простим дільником і трійкою

Спочатку на дошці написано деяке натуральне число, більше за 11. Щосекунди на дошці замість записаного числа nn записують число n+npn+\frac{n}{p}, де pp — деякий простий дільник натурального числа nn, при цьому такий процес триває нескінченно довго. Доведіть, що як просте число pp число 33 було вибране нескінченно багато разів.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-006

Заміна пари цілочисельних точок паралелограмом

На координатній площині дано скінченну множину точок SS, кожна з координат яких є цілим числом. За один крок дозволено замінити пару точок A,B∈SA, B \in S на довільну пару цілочисельних точок C,D∈SC, D \in S так, що чотирикутник ABCDABCD буде паралелограмом, причому AB>CDAB > CD. Доведіть, що такий процес не може тривати нескінченно.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-002

Кускова функція та різні знаки послідовних приростів

Функція f(x):(0,1)→(0,1)f(x) : (0,1) \to (0,1) визначена таким чином: f(x)={x+12,x<12,x2,x⩾12.f(x) = \begin{cases} x + \dfrac{1}{2}, & x < \dfrac{1}{2}, \\ x^2, & x \geqslant \dfrac{1}{2}. \end{cases} Нехай aa і bb — два довільних дійсних числа таких, що 0<a<b<10 < a < b < 1. Визначимо послідовності ana_n і bnb_n таким чином: a0=aa_0 = a, b0=bb_0 = b і an=f(an−1)a_n = f(a_{n-1}), bn=f(bn−1)b_n = f(b_{n-1}) при n>0n > 0. Доведіть, що існує додатне значення nn таке, що (an−an−1)(bn−bn−1)<0(a_n - a_{n-1})(b_n - b_{n-1}) < 0.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-006

Одиниці на дошці та заміна пари їх сумою

На дошці записано 2m2^m разів число 11. За один крок дозволено вибрати два довільних числа aa і bb, витерти їх і на місці кожного з них записати число a+ba + b. Доведіть, що після m2m−1m2^{m-1} кроків сума чисел на дошці буде не менша ніж 4m4^m.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-016

Знищення і клонування сплутаних молекул

Божевільний учений винайшов новий вид молекул. Після того як він розбив колбу, деякі молекули опинилися в лабораторії. Деякі пари молекул можуть бути сплутаними, і одна молекула може бути сплутаною з кількома іншими молекулами. Учений навчився виконувати такі операції з молекулами, по одній операції за раз: - якщо деяка молекула сплутана з непарною кількістю молекул, то вчений може знищити її; - учений може клонувати всі молекули, які є в деякий момент часу в лабораторії, зробивши копію I′I' кожної молекули II. При цьому дві копії I′I' та J′J' сплутані між собою тоді і тільки тоді, коли їхні прообрази II та JJ сплутані, а також сплутаними між собою є кожна копія I′I' і її прообраз II. Жодних інших зв'язків не може утворитись, і жоден інший зв'язок не може бути зруйнований у ході даної операції. Доведіть, що вчений за допомогою цих двох операцій може отримати набір молекул, жодні дві з яких не сплутані між собою.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-011

Найменша кількість жовто-блакитних клітинок таблиці n на n

Нехай задано натуральні числа m<nm < n. Розглянемо таблицю розміром n×nn \times n, у комірках якої довільним чином записані усі числа від 11 до n2n^2. В кожному рядочку таблиці пофарбуємо в жовтий колір mm найбільших елементів. Аналогічно, блакитним пофарбуємо mm найбільших елементів в кожному стовпчику. Знайти найменшу можливу кількість клітинок, що пофарбовані жовтим і блакитним одночасно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Балтійський шляхBW-2024-003

Перетворення двох чисел на дошці до одного числа

Додатні дійсні числа a1,a2,…,a2024a_1, a_2, \ldots, a_{2024} записані на дошці. За один хід вибирають два числа xx і yy, що записані на дошці, їх стирають та записують число x2+6xy+y2x+y\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}. Після 20232023 ходів на дошці залишиться одне число cc. Доведіть, що c<2024(a1+a2+…+a2024).c < 2024(a_1+a_2+\ldots+a_{2024}).
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-003

Нескінченна послідовність з умовою на кількість повторень

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел та нехай NN — деяке натуральне число. Відомо, що для кожного натурального числа n>Nn > N число an−1a_{n-1} трапляється поміж чисел a1,a2,…,an−1a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} рівно ana_n разів. Доведіть, що принаймні одна з послідовностей — a1,a3,a5,…a_1, a_3, a_5, \ldots або a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \ldots — стає періодичною, починаючи з деякого номера. Примітка. Нескінченну послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots називають періодичною, починаючи з деякого номера, якщо існують такі натуральні числа pp та MM, коли рівність bm+p=bmb_{m+p} = b_m справджується при всіх натуральних числах m⩾Mm \geqslant M.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-007

Максимальна сума балів за забіги

Нехай nn — натуральне число. Клас з nn учнів проводить nn забігів, у кожному з яких учні посідають місця без нічиїх. Учень може претендувати на рейтинг (a,b)(a, b) для натуральних чисел aa і bb, якщо він потрапляє до перших bb місць принаймні в aa забігах. Його підсумковий бал — це найбільше можливе значення a−ba-b серед усіх рейтингів, на які він може претендувати. Знайдіть найбільшу можливу суму всіх балів nn учнів.
10–11 класиПідрахунок двома способами4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-001

Періодичність послідовності, заданої середніми

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна строго зростаюча послідовність натуральних чисел така, що для кожного n⩾1n \geqslant 1 виконується an∈{an−1+an+12,an−1⋅an+1}a_{n} \in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\right\} Нехай b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — нескінченна послідовність літер, визначена як bn={A, якщо an=12(an−1+an+1)G, інакше b_{n}= \begin{cases}A, & \text{ якщо } a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right) \\ G, & \text{ інакше }\end{cases} Доведіть, що існують натуральні числа n0n_{0} і dd такі, що для всіх n⩾n0n \geqslant n_{0} виконується bn+d=bnb_{n+d}=b_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2024-004

Гра трьох з купками та гравці, що не програють

Троє друзів — Андрій, Богдана й Валя — грають у гру. На початку гри кожен гравець має купку з 20242024 камінців. Андрій робить перший хід, Богдана ходить другою, а Валя ходить третьою, і далі вони продовжують гру в тому самому порядку. Щоб зробити свій хід, гравець мусить вибрати натуральне число nn, більше за всі числа, попередньо вибрані будь-ким із гравців, узяти 2n2n камінців зі своєї купки та розділити їх порівну між двома іншими. Якщо гравець не може зробити хід, то гра закінчується, і цей гравець програє. Визначте всіх гравців, що мають стратегію, яка дозволяє не програти, незалежно від дій інших гравців.
7–9 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-005

Великодні числа та поява одиниці в послідовності

Задано натуральне число s⩾2s \geqslant 2. Для кожного натурального kk його Великодним числом назвемо число k′k', яке визначається в такий спосіб: запишемо kk як суму as+bas + b, де aa, bb — цілі невід’ємні числа, а b<sb < s, тоді k′=bs+ak' = bs + a. Для натурального числа nn розглянемо нескінченну послідовність d1,d2,d3,…d_1, d_2, d_3, \ldots, де di+1d_{i+1} є Великодним числом числа did_i для кожного натурального ii. Доведіть, що ця послідовність містить 11 тоді й тільки тоді, коли остача від ділення числа nn на s2−1s^2 - 1 дорівнює 11 або ss.
10–11 класиОстача від ділення
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-004

Шлях ніндзя з найменшою кількістю сірих кружків

Дано натуральне число nn. Японський трикутник складається з 1+2+…+n1 + 2 + \ldots + n кружків, розташованих у формі рівностороннього трикутника так, що для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} ii-й рядок містить ii кружків та рівно один із них пофарбовано сірим кольором. Шляхом ніндзя в японському трикутнику назвемо довільну послідовність із nn кружків, яку отримано в такий спосіб: починаємо з єдиного кружка у верхньому рядку та послідовно спускаємося з нього до одного з двох кружків, що знаходяться одразу під даним, та закінчуємо кружком у нижньому рядку. На рис. 6.1 зображено приклад японського трикутника для n=6n = 6 разом із прикладом шляху ніндзя для цього трикутника, який містить два сірих кружки. Знайдіть залежно від nn найбільше натуральне kk таке, щоб у довільному японському трикутнику існував шлях ніндзя, який містить найменшу кількість kk сірих кружків.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.