Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

100 задач
ГеометріяПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-101

Чотирикутник, утворений колами, що перетинаються

Нехай O,O1,O2,O3,O4O, O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4} — точки такі, що O1,O,O3O_{1}, O, O_{3} і O2,O,O4O_{2}, O, O_{4} колінеарні в такому порядку, OO1=1O O_{1}=1, OO2=2O O_{2}=2, OO3=2O O_{3}=\sqrt{2}, OO4=2O O_{4}=2 і ∡O1OO2=45∘\measuredangle O_{1} O O_{2}=45^{\circ}. Нехай ω1,ω2,ω3,ω4\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4} — кола з відповідними центрами O1,O2,O3,O4O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, які проходять через OO. Нехай AA — перетин кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}, BB — перетин кіл ω2\omega_{2} і ω3\omega_{3}, CC — перетин кіл ω3\omega_{3} і ω4\omega_{4}, а DD — перетин кіл ω4\omega_{4} і ω1\omega_{1}, причому A,B,C,DA, B, C, D усі відмінні від OO. Чому дорівнює найбільша можлива площа опуклого чотирикутника P1P2P3P4P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} такого, що PiP_{i} лежить на ωi\omega_{i} і що A,B,C,DA, B, C, D усі лежать на його периметрі?
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2012-035

Дотичні до кіл і відношення дуг

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках AA і BB. Пряма ll дотикається до кола ω1\omega_1 у точці PP і до кола ω2\omega_2 у точці QQ, причому точка AA лежить ближче до прямої ll, ніж точка BB. Нехай XX і YY — точки на великих дугах PA^\widehat{PA} (на колі ω1\omega_1) і AQ^\widehat{AQ} (на колі ω2\omega_2) відповідно, такі, що AX/PX=AY/QY=cAX/PX = AY/QY = c. Відрізки PAPA і QAQA продовжено за точку AA до точок RR і SS відповідно так, що AR=AS=c⋅PQAR = AS = c \cdot PQ. Відомо, що центр описаного кола трикутника ARSARS лежить на прямій XYXY. Доведіть, що ∠XPA=∠AQY\angle XPA = \angle AQY.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-008

Довжина хорди через перпендикулярні проєкції

Розглянемо гострокутний трикутник ABCABC та його описане коло. Нехай DD — точка на дузі ABAB, яка не містить точку CC, а A1A_1 і B1B_1 — точки на прямих DADA і DBDB відповідно, такі, що CA1⊥DACA_1 \perp DA і CB1⊥DBCB_1 \perp DB. Доведіть, що ∣AB∣≥∣A1B1∣|AB| \ge |A_1B_1|.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-122

Трикутник ASR, спільна дотична двох кіл та середини дуг

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які перетинаються в точках AA і BB. Нехай пряма ll дотикається до кола ω1\omega_{1} в точці PP і до кола ω2\omega_{2} в точці QQ так, що AA ближча до прямої PQPQ, ніж BB. Нехай точки RR і SS лежать на променях PAPA і QAQA відповідно так, що PQ=AR=ASPQ = AR = AS, причому RR і SS лежать з протилежного боку від AA, ніж PP і QQ. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ASRASR, а CC і DD — середини великих дуг APAP і AQAQ відповідно. Якщо ∠APQ\angle APQ дорівнює 4545 градусів, а ∠AQP\angle AQP — 3030 градусів, визначте ∠COD\angle COD у градусах.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-030

Конкурентність прямих і спільний інцентр у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, вписаний у коло Ω\Omega. Коло ω\omega з центром OO проходить через BB і CC та перетинає сторони ABAB і ACAC в точках EE і DD відповідно. Точка PP лежить на більшій дузі BAC^\widehat{BAC} кола Ω\Omega. Доведіть, що прямі BDBD, CECE, OPOP перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли трикутники PBDPBD і PCEPCE мають спільний інцентр.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-011

Середини діагоналей описаного чотирикутника

Нехай 4 сторони ABAB, BCBC, CDCD, DADA чотирикутника ABCDABCD дотикаються до кола з центром OO, і виконуються умови OA=5, OB=6, OC=7, OD=8OA = 5,\ OB = 6,\ OC = 7,\ OD = 8 Нехай MM, NN — середини відрізків ACAC, BDBD відповідно. Знайдіть значення OM:ONOM : ON. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-098

Кути п'ятикутника з умовою паралелограма

Точка PP лежить усередині опуклого п'ятикутника AFQDCA F Q D C так, що FPDQF P D Q — паралелограм. Відомо, що ∠FAQ=∠PAC=10∘\angle F A Q=\angle P A C=10^{\circ}, а ∠PFA=∠PDC=15∘\angle P F A=\angle P D C=15^{\circ}. Чому дорівнює ∠AQC\angle A Q C?
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-142

Відношення відрізків у перетинних колах із спільною дотичною

Кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} перетинаються в точках AA і BB. Відрізок PQPQ дотикається до кола ω1\omega_{1} в точці PP і до кола ω2\omega_{2} в точці QQ, причому AA ближча до PQPQ, ніж BB. Точка XX лежить на колі ω1\omega_{1} так, що PX∥QBPX \parallel QB, а точка YY лежить на колі ω2\omega_{2} так, що QY∥PBQY \parallel PB. Відомо, що ∠APQ=30∘\angle APQ = 30^{\circ} і ∠PQA=15∘\angle PQA = 15^{\circ}. Знайдіть відношення AX/AYAX / AY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2010-023

Ізогональні спряжені точки та сума кутів

Точки PP і QQ лежать усередині гострокутного трикутника ABCABC так, що ∠PAB=∠QAC\angle PAB = \angle QAC і ∠PBA=∠QBC\angle PBA = \angle QBC. Точка DD лежить на стороні BCBC. Доведіть, що ∠DPC+∠APB=180∘тоді і тільки тоді, коли∠DQB+∠AQC=180∘.\angle DPC + \angle APB = 180^{\circ} \quad \text{тоді і тільки тоді, коли} \quad \angle DQB + \angle AQC = 180^{\circ}.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-007

Площа трикутника за відстанями від внутрішньої точки

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCABC. Якщо AP=3, BP=5, CP=2, AB:AC=2:1, ∠BAC=60∘,AP = \sqrt{3},\ BP = 5,\ CP = 2,\ AB : AC = 2 : 1,\ \angle BAC = 60^\circ, чому дорівнює площа трикутника ABCABC? Тут через XYXY позначено довжину відрізка XYXY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2009-004

Рівність кутів DAX і DAH у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Точка DD лежить на стороні BCBC. Нехай OBO_B і OCO_C — центри описаних кіл трикутників ABDABD і ACDACD відповідно. Припустимо, що точки BB, CC, OBO_B, OCO_C лежать на колі з центром у точці XX. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠DAX=∠DAH\angle DAX = \angle DAH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2009-012

Трикутник із зовнішніми подібними трикутниками

Нехай ABPABP, BCQBCQ, CARCAR — три трикутники, що не перетинаються, побудовані зовні гострокутного трикутника ABCABC. Нехай MM — середина відрізка APAP. Відомо, що ∠PAB=∠CQB=45∘\angle PAB = \angle CQB = 45^\circ, ∠ABP=∠QBC=75∘\angle ABP = \angle QBC = 75^\circ, ∠RAC=105∘\angle RAC = 105^\circ і RQ2=6CM2RQ^2 = 6CM^2. Обчисліть AC2/AR2AC^2/AR^2.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2007-009

Точка з рівними різницями кутів

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCA B C і задовольняє умову ∡BPC−∡BAC=∡CPA−∡CBA=∡APB−∡ACB.\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B . Доведіть, що тоді виконується: PA‾⋅BC‾=PB‾⋅AC‾=PC‾⋅AB‾\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B} Спочатку зауважимо, що ∡BPC=60∘+α,∡CPA=60∘+β,∡APB=60∘+γ\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma. З міркувань симетрії достатньо показати одну з двох стверджуваних рівностей. (Вказівка: для кута ∡XYZ\varangle X Y Z, де 0∘<∡XYZ<180∘0^{\circ}<\varangle X Y Z<180^{\circ}, у математично додатному напрямі покладемо ∡ZYX:=180∘−∡XYZ\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z. За цією домовленістю, наприклад, для чотирьох попарно різних точок W,X,Y,ZW, X, Y, Z на колі завжди ∡XYZ=∡XWZ\varangle X Y Z=\varangle X W Z).
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2006-005

Відношення відрізків дотичної до описаного кола трикутника

У гострокутному трикутнику ABCABC відрізки ADAD, BEBE і CFCF є його висотами, а HH — його ортоцентр. Коло ω\omega із центром OO проходить через точки AA і HH та перетинає сторони ABAB і ACAC удруге в точках QQ і PP (відмінних від AA) відповідно. Описане коло трикутника OPQOPQ дотикається до відрізка BCBC у точці RR. Доведіть, що CR/BR=ED/FDCR/BR = ED/FD.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2006-019

Перпендикулярність із центра описаного кола у побудованому трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Трикутники PABPAB і QACQAC побудовано зовні трикутника ABCABC так, що AP=ABAP = AB і AQ=ACAQ = AC та ∠BAP=∠CAQ\angle BAP = \angle CAQ. Відрізки BQBQ і CPCP перетинаються в точці RR. Нехай OO — центр описаного кола трикутника BCRBCR. Доведіть, що AO⊥PQAO \perp PQ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2006-006

Спільна точка чотирьох кіл у чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, а точки EE і FF лежать на сторонах ADAD і BCBC відповідно так, що AE/ED=BF/FCAE/ED = BF/FC. Промінь FEFE перетинає промені BABA і CDCD у точках SS і TT відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників SAESAE, SBFSBF, TCFTCF і TDETDE проходять через спільну точку.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-113

Коло через точку бісектриси і середину сторони

Нехай ABCABC — трикутник, DD — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить AA, ZZ — єдина точка на зовнішній бісектрисі кута BAC^\widehat{BAC} така, що ZA=ZCZA = ZC. Доведіть, що коло ADZADZ проходить через середину сторони [AB][AB].
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-061

Рівні діагоналі чотирикутника AC = BD і дотик кіл

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AC=BDAC = BD, причому сторони ABAB і CDCD не паралельні. Нехай PP — точка перетину діагоналей (AC)(AC) і (BD)(BD). Нехай EE і FF — точки відповідно на відрізках [BP][BP] і [AP][AP] такі, що PC=PEPC = PE і PD=PFPD = PF. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника, утвореного прямими (AB)(AB), (CD)(CD) і (EF)(EF), дотикається до кола, описаного навколо трикутника ABPABP.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-051

Перетин прямих на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, OO — центр його описаного кола. Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC, а DD — точка дотику цього кола з відрізком [AC][AC]. Прямі (OI)(OI) і (AB)(AB) перетинаються в точці PP. Нехай MM — середина дуги ACAC, що не містить BB, а NN — середина дуги BCBC, що містить AA. Доведіть, що прямі (MD)(MD) і (NP)(NP) перетинаються на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-014

Рівнобедрений трикутник із бісектрис кутів

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Точки DD і EE вибрано на стороні BCBC так, що ADAD — висота трикутника ABCABC, а AEAE ділить навпіл кут CADCAD. Бісектриси трикутника AOBAOB перетинаються в точці JJ. Доведіть, що трикутник JBEJBE рівнобедрений.
Поворотна гомотетія4 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-020

Рівні відрізки при продовженні висоти

У гострокутному трикутнику ABCABC продовження висоти ADAD за точку DD перетинає описане коло в точці EE. Середина відрізка CECE — точка FF. Описані кола трикутників ABCABC і DEFDEF перетинаються в точці G≠EG \neq E. Основа висоти, проведеної з AA до прямої FGFG, — точка PP. Доведіть, що DA=DPDA = DP.
Допоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2000-009

Трикутник Наполеона та конкурентність

Рівносторонні трикутники ABC1A B C_{1}, BCA1B C A_{1}, CAB1C A B_{1} побудовано назовні на сторонах трикутника ABCA B C. Доведіть: a. Центри цих трьох трикутників утворюють ще один рівносторонній трикутник. b. Відрізки AA1A A_{1}, BB1B B_{1}, CC1C C_{1} перетинаються в одній точці. c. Відрізки AA1A A_{1}, BB1B B_{1}, CC1C C_{1} мають рівні довжини.
Поворот
Математичний гурток БеркліBMC-2000-018

Вписаний чотирикутник із перетинів повернутого чотирикутника

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, а OO — перетин відрізків ACAC і BDBD. Чотирикутник A′B′C′D′A'B'C'D' отримано поворотом чотирикутника ABCDABCD навколо OO на деякий кут. Нехай A1,B1,C1,D1A_1, B_1, C_1, D_1 — точки перетину прямих A′B′A'B' і ABAB, B′C′B'C' і BCBC, C′D′C'D' і CDCD, D′A′D'A' і DADA відповідно. Доведіть, що чотирикутник A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 є вписаним тоді й лише тоді, коли ACAC перпендикулярна до BDBD.
Допоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-0000-206

Подібні трикутники на спільній основі

Нехай XX, YY і ZZ — точки з одного боку від прямої ABAB, такі, що △XAB∼△BYA∼△ABZ\triangle XAB \sim \triangle BYA \sim \triangle ABZ Доведіть, що △XYZ\triangle XYZ подібний до всіх цих трикутників.
Поворотна гомотетія
Математичний гурток БеркліBMC-0000-440

Центри рівносторонніх трикутників на сторонах

Рівносторонні трикутники △ABD\triangle ABD, △ACE\triangle ACE і △BCF\triangle BCF побудовано назовні від △ABC\triangle ABC на кожній його стороні, з центрами GG, HH і II відповідно. a) Доведіть, що △GHI\triangle GHI — рівносторонній. b) Нехай G′G', H′H' і I′I' — образи точок GG, HH і II при симетрії відносно прямих ABAB, BCBC і CACA відповідно. Доведіть, що △GHI\triangle GHI і △G′H′I′\triangle G'H'I' мають той самий центр описаного кола.
Комбінації кіл (точка Мікеля, лем…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.