Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

175 задач
КомбінаторикаШляхи на графах
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-003

Два різних простих цикли однакової довжини в графі

Дано додатнє число ε\varepsilon. Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn, окрім скінченної кількості, справджується твердження: у довільному графі на nn вершинах, у якому кількість ребер не менша від (1+ε)n(1+\varepsilon)n, існують два різних простих цикли однакової довжини. Примітка. Графом називають множину VV вершин і множину EE ребер, де кожне ребро з множини EE є парою різних вершин із множини VV. Простий цикл довжини k⩾3k \geqslant 3 — це kk-елементна підмножина CC ребер із множини EE, для якої існує послідовність попарно різних вершин V1,V2,…,VkV_1, V_2, \ldots, V_k така, що для кожного 1⩽i<k1 \leqslant i < k пара {Vi,Vi+1}\{V_i, V_{i+1}\} належить підмножині CC і пара {Vk,V1}\{V_k, V_1\} також належить підмножині CC.
10–11 класиДерева
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-003

Мінімальна сума попарних добутків у Блискучому n-наборі

Задано ціле число n⩾3n \geqslant 3. Ми називаємо nn-набір дійсних чисел (x1,x2,…,xn)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) Блискучим, якщо для кожної перестановки y1,y2,…,yny_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} цих чисел маємо ∑i=1n−1yiyi+1=y1y2+y2y3+y3y4+⋯+yn−1yn⩾−1.\sum_{i=1}^{n-1} y_{i} y_{i+1} = y_{1} y_{2} + y_{2} y_{3} + y_{3} y_{4} + \cdots + y_{n-1} y_{n} \geqslant -1. Знайдіть найбільшу константу K=K(n)K = K(n) таку, що ∑1⩽i<j⩽nxixj⩾K\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j} \geqslant K виконується для кожного Блискучого nn-набору (x1,x2,…,xn)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}).
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-028

Червоний повний двочастковий підграф у розфарбованому графі

Граф має 20162016 вершин. Усі ребра графа пофарбовано в синій або червоний колір. Відомо, що граф не містить синього шляху на 10621062 вершинах. Доведіть, що можна вибрати дві неперетинні множини по 477477 вершин кожна, такі, що всі ребра між цими множинами червоні.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-007

Розбиття графа з малою кількістю непарних циклів

У компанії людей деякі пари є ворогами. Група людей називається недружньою, якщо кількість її членів непарна і становить принаймні 33, і всіх її членів можна розсадити навколо круглого столу так, щоб будь-які двоє сусідів були ворогами. Відомо, що недружніх груп не більше ніж 20152015. Доведіть, що компанію можна розбити на 1111 частин так, щоб жодні двоє ворогів не опинилися в одній частині.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-032

Умова на суму степенів і гамільтонові цикли

GG і G′G' — графи (без петель і кратних ребер) на одній і тій самій множині зі 100 вершин. Дві вершини з'єднані ребром у графі G′G' тоді й лише тоді, коли сума їхніх степенів у графі GG не менша за 100. Граф G′G' має гамільтонів цикл (тобто цикл довжини 100, що проходить через усі вершини). Доведіть, що GG також має гамільтонів цикл.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-034

Граф збалансованих розрізів без гамільтонового шляху

Множиною вершин графа GG є 2014 точок загального положення на площині. Відрізок ABAB є ребром графа тоді й лише тоді, коли кожна з двох (відкритих) півплощин прямої ABAB містить 1006 точок. Доведіть, що GG не містить гамільтонового шляху (тобто шляху, що проходить через кожну вершину рівно один раз).
10–11 класиСтепені вершин
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-036

Поширення новини в групі з n людей

У групі з nn людей кожен має принаймні kk друзів. Щодня кожен член групи ділиться з усіма своїми друзями всіма новинами, які він отримав у попередні дні. Припустимо, що якщо деяку інформацію повідомити будь-якому членові групи, то через певну кількість днів усі члени зрештою дізнаються цю новину. Доведіть, що насправді всі члени дізнаються новину не пізніше ніж через 3n/k3n/k днів.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-030

Гамільтонові цикли з рівними вагами ребер

У країні є кілька міст; одне з них — столиця. Між будь-якими двома містами є прямий рейс, причому рейс, що сполучає два дані міста, має однакову ціну. Припустимо, що всі подорожі, які починаються й закінчуються в тому самому місті та проходять через кожне інше місто рівно один раз, мають однакову сумарну вартість. Доведіть, що всі подорожі, які починаються й закінчуються в тому самому місті, оминають столицю й проходять через кожне з решти міст рівно один раз, мають однакову сумарну вартість.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Балтійський шляхBW-1997-018

Гамільтонові цикли в повному графі

У лісі кожна з nn тварин (n⩾3n \geqslant 3) живе у власній печері, і між будь-якими двома з цих печер існує рівно одна окрема стежка. Перед виборами Короля лісу деякі з тварин ведуть передвиборну кампанію. Кожна тварина, що веде кампанію, відвідує кожну з інших печер рівно один раз, пересуваючись від печери до печери лише стежками, ніде між печерами не звертає з однієї стежки на іншу і наприкінці кампанії повертається до власної печери. Відомо також, що жодною стежкою між двома печерами не користується більше ніж одна тварина, що веде кампанію. a) Доведіть, що для будь-якого простого nn найбільша можлива кількість тварин, що ведуть кампанію, дорівнює n−12\frac{n-1}{2}; b) Знайдіть найбільшу кількість тварин, що ведуть кампанію, для n=9n=9.
10–11 класиШляхи на графах
Балтійський шляхBW-1994-019

Напрямлені цикли у графі шпигунів

Розвідувальна служба Диво-острова має 16 шпигунів у Тарту. Кожен з них стежить за деякими зі своїх колег. Відомо, що якщо шпигун AA стежить за шпигуном BB, то BB не стежить за AA. Крім того, будь-яких 10 шпигунів можна пронумерувати так, що перший шпигун стежить за другим, другий стежить за третім, …, десятий стежить за першим. Доведіть, що будь-яких 11 шпигунів також можна пронумерувати подібним чином.
10–11 класиОрієнтовані графи
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1994-002

Двосусідні множини цілочисельних точок

Скінченну множину SS точок площини з цілими координатами назвемо двосусідньою множиною, якщо для кожної точки (p,q)(p, q) з SS рівно дві з точок (p+1,q)(p+1, q), (p,q+1)(p, q+1), (p−1,q)(p-1, q), (p,q−1)(p, q-1) належать SS. Для яких цілих чисел nn існує двосусідня множина, яка містить рівно nn точок?
10–11 класиПарність і непарність
Балтійський шляхBW-1991-011

Пронумеровані трикутники з великою різницею сусідів

Рівносторонній трикутник поділено на 2525 конгруентних трикутників, пронумерованих числами від 11 до 2525. Доведіть, що можна знайти два трикутники, які мають спільну сторону, і різниця приписаних їм чисел більша за 33.
10–11 класиШляхи на графах
Балтійський шляхBW-1991-012

Стратегія виходу із замку з залами і дверима

Замок має кілька залів і nn дверей. Кожні двері ведуть до іншої зали або назовні. Кожна зала має принаймні двоє дверей. Лицар входить до замку. У будь-якій залі він може обрати для виходу будь-які двері, крім тих, через які він щойно увійшов до цієї зали. Знайдіть стратегію, яка дозволить лицарю вийти назовні, відвідавши не більше ніж 2n2 n залів (зала зараховується щоразу, коли до неї входять).
10–11 класиШляхи на графах
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-005

Рухи мурахи по розбиттю прямокутника

Прямокутник RR розбито на скінченну множину SS менших прямокутників зі сторонами, паралельними сторонам RR, так, що жодні три прямокутники з SS не мають спільної вершини. Мураха спочатку знаходиться в лівому нижньому куті RR. За одну операцію ми можемо вибрати прямокутник r∈Sr \in S такий, що мураха зараз знаходиться в одній з його вершин, скажімо cc, і перемістити мураху в одну з двох сусідніх до cc вершин прямокутника rr. Припустимо, що після скінченної кількості операцій мураха опиняється у правому верхньому куті RR. Доведіть, що деякий прямокутник r∈Sr \in S був обраний принаймні у двох операціях.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-069

Блокування шляхів у сітці 3×3

Жабеня Келвін сидить на нижньому лівому лататті сітки 3×33 \times 3 з листків латаття, а його домівка — на верхньому правому лататті. Він може стрибати лише між двома лататтями, які є сусідніми по горизонталі або вертикалі. Обчисліть кількість способів прибрати 4 латаття так, щоб нижнє ліве та верхнє праве латаття залишилися, але Келвін не міг дістатися додому.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-072

Найдовший цикл у графі клітинкової сітки

На клітинній дошці 11×1111 \times 11 кожна пара клітинок зі спільною стороною з'єднана дверима. Картік хоче пройти шлях цією дошкою. Він може почати з будь-якої клітинки, але має закінчити в тій самій клітинці, з якої почав, і не може проходити через жодні двері більше ніж один раз (навіть у протилежних напрямках). Обчисліть максимальну кількість дверей, через які він може пройти на такому шляху.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2025-010

Найменша кількість особливих трикутників у розбитті дошки

Розглянемо прямокутну дошку з m×nm \times n клітинок, де m,n≥1m, n \ge 1. Вершини клітинок утворюють (m+1)×(n+1)(m+1) \times (n+1)-ґратку. Трикутник з вершинами в точках ґратки назвемо низьким, якщо він має принаймні одну сторону, паралельну стороні дошки, таку, що висота трикутника, проведена до цієї сторони, дорівнює 1. Низький трикутник назвемо особливим, якщо він має дві сторони, паралельні стороні дошки. Розіб'ємо дошку на низькі трикутники. Визначте найменшу можливу кількість особливих трикутників серед усіх можливих розбиттів дошки m×nm \times n.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2025-006

Розбиття дошки на низькі та особливі трикутники

Розглянемо прямокутну дошку з m×nm \times n клітинок, де m,n≥1m, n \ge 1. Вершини клітинок утворюють (m+1)×(n+1)(m+1) \times (n+1)-сітку. Будемо казати, що трикутник, вершини якого — точки сітки, є низьким, якщо він має принаймні одну сторону, паралельну стороні дошки, для якої висота трикутника, проведена до цієї сторони як до основи, дорівнює 1. Будемо казати, що низький трикутник є особливим, якщо він має дві сторони, паралельні стороні дошки. Розіб'ємо дошку на низькі трикутники. Визначте найменшу можливу кількість особливих трикутників серед усіх можливих розбиттів m×nm \times n-дошки.
10–11 класиШляхи на графах
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-032

Добутки на триреберних шляхах куба

Усі цілі числа від 11 до 1212 записано на ребрах куба так, що на кожному ребрі є рівно одне число. Два роботи-мурахи стоять в одній вершині куба і хочуть дістатися до вершини, найвіддаленішої від них. Кожна мураха обирає шлях, що складається рівно з трьох ребер куба. Вони перемножують числа на своєму шляху. Добуток чисел на шляху першої мурахи ділиться на 100100, але не ділиться на 200200. Сума цифр добутку чисел на шляху другої мурахи дорівнює 22, а числа 11 немає на її шляху. Знайдіть усі можливі добутки, які може отримати та чи інша мураха.
7 класФункція vₚ(n) та її властивості
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-136

Гамільтонові шляхи на решітці 3 на 24

Равлик Саллі сидить на решітці точок 3×243 \times 24, тобто точок (i,j)(i, j) для всіх 1≤i≤31 \leq i \leq 3 і 1≤j≤241 \leq j \leq 24. Вона хоче відвідати кожну точку решітки рівно один раз. За один хід Саллі може перейти до точки решітки, віддаленої рівно на одиницю. Відомо, що Саллі починає з (2,1)(2,1), обчисліть кількість можливих шляхів, якими може пройти Саллі.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-005

Випадкова перестановка послідовних вказівок

Пан Мергатройд вирішив влаштувати для свого класу вечірку з піцою, але спершу змусить учнів на неї полювати. Він обирає в школі одинадцять локацій, які ми назвемо 1,2,…,111,2, \ldots, 11. Його план — сказати учням стартувати з локації 11, причому на кожній локації nn від 11 до 1010 на них чекає повідомлення зі вказівкою йти до локації n+1n+1; на локації 1111 — піца! Пан Мергатройд доручає своєму асистентові розкласти десять повідомлень у локаціях від 11 до 1010. На жаль, асистент перед розкладанням випадковим чином перемішує картки з повідомленнями. Якщо учні починають з локації 11, як і було заплановано, і на кожній локації керуються вказівкою, доведіть, що вони все одно дійдуть до піци.
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-009

Відстані ходом коня на шаховій дошці

Шахова дошка складається з 8×88 \times 8 клітин. Кінь стоїть на кутовій клітині. Кінь ходить або на дві клітини по горизонталі й одну по вертикалі, або на дві клітини по вертикалі й одну по горизонталі. На кожній клітині шахової дошки записуємо, за скільки ходів кінь може до неї дістатися. Яке число ми записали найчастіше? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-104

Шикування турніру з умовою про сусідів

Тисяча людей бере участь у тенісному турнірі, де кожен грає з кожним рівно один раз, і нічиїх немає. Доведіть, що всіх учасників можна вишикувати в ряд так, щоб кожен із 998 людей, які не стоять на кінцях ряду, або переміг обох своїх сусідів, або програв обом своїм сусідам.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2023-038

Відстані у графі, які ділять різницю цілих чисел

Нехай GG — граф, вершинами якого є цілі числа. Припустимо, що будь-які два цілі числа сполучені скінченним шляхом у GG. Для двох цілих чисел xx і yy через d(x,y)d(x, y) позначимо довжину найкоротшого шляху від xx до yy, де довжина шляху — це кількість ребер у ньому. Припустимо, що d(x,y)∣x−yd(x, y) \mid x-y для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}, і визначимо S(G)={d(x,y)∣x,y∈Z}S(G)=\{d(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}\}. Знайдіть усі можливі множини S(G)S(G).
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-078

Шляхи на круговому графі з хордами

Будинок складається з 20 кімнат, пронумерованих 1,2,…,201, 2, \ldots, 20 і розташованих по колу за годинниковою стрілкою. Щоб перейти з однієї кімнати до іншої, можна або пройти до наступної кімнати за годинниковою стрілкою (тобто з кімнати ii до кімнати (i+1) mod 20(i+1) \bmod 20), або пройти через центр до протилежної кімнати (тобто з кімнати ii до кімнати (i+10) mod 20(i+10) \bmod 20). Знайдіть кількість способів перейти з кімнати 10 до кімнати 20, не відвідуючи жодної кімнати двічі.
10–11 класиШляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.