Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

166 задач
КомбінаторикаЖадібний алгоритм
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-010

Гарантований модуль суми підпослідовності з кроком до двох

Назвемо ±1\pm 1-послідовністю послідовність із 20222022 чисел a1,a2,…,a2022a_1, a_2, \ldots, a_{2022}, кожне з яких рівне 11 чи −1-1. Знайдіть найбільше число CC таке, що для будь-якої ±1\pm 1-послідовності існують натуральне kk та індекси 1⩽t1<t2<…<tk⩽20221 \leqslant t_1 < t_2 < \ldots < t_k \leqslant 2022 такі, що ti+1−ti⩽2t_{i+1} - t_i \leqslant 2 для всіх i=1,k−1‾i = \overline{1, k-1}, а також ∣∑i=1kati∣⩾C.\left|\sum_{i=1}^{k} a_{t_i}\right| \geqslant C.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-004

Дівчата і хлопці по колу та сусіди-дівчата

Нехай nn і kk — два натуральних числа, n>k⩾1n > k \geqslant 1. По колу стоїть 2n+12n + 1 студент. У кожного зі студентів є 2k2k сусідів — kk найближчих студентів праворуч від нього та kk найближчих студентів ліворуч від нього. Нехай серед студентів є n+1n + 1 дівчина та nn хлопців. Доведіть, що є дівчина, у якої серед сусідів є принаймні kk дівчат.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-008

Місто щонайбільше з одним виїздом серед односторонніх доріг

В Аліси є мапа деякої казкової країни, у якій є всього n>1n > 1 міст. Між будь-якими двома містами існує єдина вузенька дорога. 10 серпня усі ці дороги стали односторонніми. Аліса не знає, який напрямок руху став на дорогах. Вона хоче дізнатися, чи є в країні принаймні одне місто, яке має максимум одну дорогу, якою з міста можна виїхати. За одне запитання до укладача напрямків доріг вона може дізнатися про напрямок руху рівно по одній будь-якій дорозі. Доведіть, що не більше ніж за 4n4n запитань вона зможе дізнатися про те, що хоче.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-012

Рівність сум цифр числа без дев’яток та його добутку

Позначимо через S(k)S(k) суму цифр числа kk. Доведіть, що існує таке натуральне число nn, яке не містить у своєму десятковому записі цифр 99 та для якого S(21000000n)=S(n)S(2^{1000000}n)=S(n).
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-005

Нерівність між коштами послідовностей Андрія та Юри

Для довільної послідовності x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, яка складається з дійсних чисел, будемо називати її коштом число max⁡1⩽i⩽n∣x1+x2+…+xi∣\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_1 + x_2 + \ldots + x_i|. Із заданих nn дійсних чисел Андрій та Юра хочуть утворити послідовність, яка має малий кошт. Андрій перебирає всі можливі послідовності й вибирає з них ту, кошт DD якої мінімальний. Юра, у свою чергу, вибирає спочатку x1x_1 таке, що величина ∣x1∣|x_1| мінімальна, далі з решти чисел вибирає x2x_2 таке, що величина ∣x1+x2∣|x_1 + x_2| набуває найменшого значення, і так далі. Іншими словами, на ii-му кроці Юра вибирає xix_i із чисел, які вони ще не використовували, і величина ∣x1+x2+…+xi∣|x_1 + x_2 + \ldots + x_i| є мінімальною. На кожному кроці, якщо існують декілька чисел, для яких досягається мінімальне значення, Юра вибирає довільне з них. Для побудованої послідовності він підраховує її кошт GG. Знайдіть найменше значення константи cc такої, що для довільного натурального nn, для довільних nn дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n і для довільної послідовності, яку може отримати Юра, виконується нерівність G⩽cDG \leqslant cD.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-012

Кількість n з подільністю n!+1 на p

Доведіть, що для довільного простого p⩾3p \geqslant 3 кількість натуральних чисел nn, для яких p∣n!+1p \mid n!+1, не перевищує cp2/3cp^{2/3}, де cc — константа, яка не залежить від pp.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-004

Зростаюча послідовність більша за степені та подання чисел

Доведіть, що для довільного числа M>2M > 2 існує зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n), яка задовольняє такі умови: ∀i∈Nai>Mi;\forall i \in \mathbb{N} \quad a_i > M^i; ціле число n≠0⇔∃m∈Nn \neq 0 \Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{N} та існують b1,b2,…,bm∈{−1,1}b_1, b_2, \ldots, b_m \in \{-1, 1\}, для яких справджується рівність n=b1a1+b2a2+…+bmamn = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \ldots + b_m a_m.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-005

Виграшна стратегія в грі з параметром λ

Аліна та Богдан грають у прикольну гру, правила якої залежать від дійсного додатного числа λ\lambda, що відоме обом гравцям до початку гри. На nn-му кроці гри, що починається з n=1n = 1, відбувається таке: - якщо число nn непарне, то Аліна вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x1+x2+…+xn⩽λn;x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leqslant \lambda n; - якщо число nn парне, то Богдан вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x12+x22+…+xn2⩽n.x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant n. Усі вибрані числа відомі обом гравцям. Якщо хтось із гравців не може вибрати належне число xnx_n, то гра зупиняється, а інший гравець визнається переможцем. Якщо гра триває нескінченно довго, то жоден із гравців не визнається переможцем. Знайдіть усі значення λ\lambda, для яких Аліна має виграшну стратегію, а також усі значення λ\lambda, для яких виграшну стратегію має Богдан.
10–11 класиКласичні ігри
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-010

Перекладання кульок з обмеженим дисбалансом

Нехай nn і TT — натуральні числа. Джеймс має 4n4 n кульок вагою 1,2,…,4n1,2, \ldots, 4 n. Він кладе їх на шальки терезів так, щоб ваги обох шальок були рівні. Ендрю може перекладати кульку з однієї шальки терезів на іншу так, щоб абсолютна різниця ваг двох шальок залишалася не більшою за TT. Знайдіть залежно від nn найменше натуральне число TT таке, що Ендрю може виконати послідовність ходів, після якої кожна кулька опиниться на протилежній шальці, незалежно від того, як Джеймс спочатку розклав кульки.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-004

Равлик на колі та ніколи не пройдена точка

Равлик Степан сидить у деякій точці кола завдовжки 11. Задано нескінченну послідовність додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots. Равлик Степан послідовно проповзає відстані c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots вздовж кола, щоразу вибираючи, повзти йому за рухом годинникової стрілки чи проти руху годинникової стрілки. Наприклад, якщо послідовність c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots задано як числа 0,40{,}4, 0,60{,}6, 0,30{,}3, …\ldots, то Степан може повзти таким чином, як це показано на рис. 9.1. Визначте найбільшу сталу C>0C > 0 з такою властивістю: для довільної послідовності додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots такої, що ci<Cc_i < C для всіх натуральних ii, Степан може (після дослідження послідовності) гарантувати, що на колі знайдеться точка, у якій він ніколи не зупинявся та не проповзав над нею.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-009

Скрині зі скарбами з обмеженою різницею

Еліза має 2023 скрині зі скарбами, усі вони спочатку відімкнені й порожні. Щодня Еліза додає новий самоцвіт в одну з відімкнених скринь на свій вибір, а після цього фея діє за такими правилами: - якщо відімкнено більше ніж одну скриню, вона замикає одну з них, або - якщо відімкнена лише одна скриня, вона відмикає всі скрині. Відомо, що цей процес триває нескінченно довго. Доведіть, що існує стала CC з такою властивістю: Еліза може забезпечити, щоб різниця між кількостями самоцвітів у будь-яких двох скринях ніколи не перевищувала CC, незалежно від того, як фея вибирає скрині для замикання.
10–11 класиЖадібний алгоритм2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-002

Чудові та гарні трикутники на n точках

Зафіксуємо натуральне число n⩾3n \geqslant 3. Нехай SS — це множина nn точок на площині, жодні три з яких не є колінеарними. Для попарно різних точок AA, BB, CC із множини SS назвемо трикутник ABCABC чудовим для сторони ABAB, якщо SABC⩽SABXS_{ABC} \leqslant S_{ABX} для будь-якої точки XX із множини SS, що відмінна від точок AA та BB. Трикутник назвемо гарним, якщо його вершини належать множині SS і він є чудовим принаймні для двох його сторін. Доведіть, що існує щонайменше 12(n−1)\frac{1}{2}(n-1) гарних трикутників. Примітка. Для одного відрізка ABAB може бути декілька чудових трикутників.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-001

Гра на клітчастій дошці з квадратами k × k

Задано натуральне число k⩽2022k \leqslant 2022. Анна та Богдан грають у таку гру на клітчастій дошці розміром 2022×20222022 \times 2022 клітинки. На початку гри всі клітинки є білими. Гравці роблять ходи по черзі, починає Анна. У свій хід Анна може або пофарбувати одну білу клітинку в жовтий колір, або пропустити свій хід, а Богдан у свій хід може або пофарбувати квадрат розміром k×kk \times k клітинок, усі клітинки якого є білими, у синій колір, або пропустити свій хід. Як тільки обидва гравці пропускають свій хід, гра завершується, і того, хто зафарбував більше клітинок, оголошують переможцем (у грі можлива нічия). Для кожного 1⩽k⩽20221 \leqslant k \leqslant 2022 визначте, чи має хтось із гравців виграшну стратегію, і якщо так, то хто саме.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-029

Розмітка вершин і ребер з різними сумами в сусідів

Кожній вершині vv і кожному ребру ee графа GG приписано числа f(v)∈{1,2}f(v) \in \{1, 2\} і f(e)∈{1,2,3}f(e) \in \{1, 2, 3\} відповідно. Нехай S(v)S(v) — сума чисел, приписаних ребрам, інцидентним vv, плюс число f(v)f(v). Назвемо приписування ff класним, якщо S(u)≠S(v)S(u) \neq S(v) для кожної пари суміжних вершин графа GG. Доведіть, що кожен граф має класне приписування.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-005

Наступники чисел з різними остачами та малою сумою

Нехай n⩾2n \geqslant 2 є цілим числом та нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n є натуральними числами. Доведіть, що існують натуральні числа b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, що задовольняють такі три умови: а) ai⩽bia_i \leqslant b_i, i=1,n‾i = \overline{1, n}; б) остачі від ділення чисел b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n на число nn є попарно різними; в) b1+b2+…+bn⩽n(n−12+[a1+a2+…+ann])b_1 + b_2 + \ldots + b_n \leqslant n\left(\dfrac{n-1}{2} + \left[\dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right]\right). Примітка. Через [x][x] позначено цілу частину числа xx, тобто найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-030

Найдовший ланцюжок вкладених баків

У дідуся на горищі є скінченна кількість порожніх сміттєвих баків. Кожен бак — це прямокутний паралелепіпед із цілими довжинами сторін. Бак можна викинути в інший тоді й лише тоді, коли довжини сторін цих баків можна поставити у взаємно однозначну відповідність так, щоб довжини сторін першого бака були менші за відповідні довжини сторін іншого бака. Жоден бак не може містити два інші баки, якщо останні не вкладені один в одного. Дідусь хоче викинути якомога більше баків, щоб заощадити місце. Він розробив такий алгоритм: знайти найдовший ланцюжок баків, які можна викидати один в одного, потім повторити те саме з рештою баків і т. д., доки більше жодного бака не можна буде викинути. При виконанні цього алгоритму найдовший ланцюжок баків для вибору на кожному кроці виявився єдиним. Чи обов'язково в результаті цього процесу буде викинуто максимально можливу кількість баків?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-005

Монети з номіналами 1/n та розбиття на групи

Банк Кейптауна випустив монети номіналом 1n\frac{1}{n} для кожного натурального nn. Задано скінченний набір таких монет, сума номіналів яких не перевищує 99+1299+\frac{1}{2} (номінали монет не обов’язково різні). Доведіть, що всі монети можна розбити на 100100 або меншу кількість груп так, що сума номіналів монет у кожній групі не перевищуватиме 11.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-006

Сині прямі загального положення та межі обмежених частин

Будемо казати, що прямі на площині є прямими загального положення, якщо жодні дві з них не паралельні, а жодні три з них не проходять через одну точку. Довільні декілька прямих загального положення розбивають площину на частини. Обмеженими частинами розбиття будемо називати ті з них, які мають скінченну площу. Доведіть, що для достатньо великих значень nn справджується таке твердження: у кожній множині з nn прямих загального положення на площині можна пофарбувати не менше n\sqrt{n} прямих у синій колір так, щоб межа кожної обмеженої частини розбиття не була повністю синьою. Примітка. За доведення твердження задачі, у якому n\sqrt{n} замінено на cnc\sqrt{n}, бали нараховують залежно від константи cc.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-002

Жадібне впорядкування з мінімальною ціною

Для послідовності x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} дійсних чисел визначимо її ціну як max⁡1⩽i⩽n∣x1+⋯+xi∣.\max_{1 \leqslant i \leqslant n}\left|x_{1}+\cdots+x_{i}\right| . Дано nn дійсних чисел, Дейв і Джордж хочуть розташувати їх у послідовність з малою ціною. Старанний Дейв перевіряє всі можливі способи і знаходить найменшу можливу ціну DD. Жадібний Джордж, натомість, вибирає x1x_{1} так, щоб ∣x1∣\left|x_{1}\right| було якомога меншим; серед решти чисел він вибирає x2x_{2} так, щоб ∣x1+x2∣\left|x_{1}+x_{2}\right| було якомога меншим, і так далі. Отже, на i-му i^{\text{-му }} кроці він вибирає xix_{i} серед решти чисел так, щоб мінімізувати значення ∣x1+x2+⋯+xi∣\left|x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i}\right|. На кожному кроці, якщо кілька чисел дають те саме значення, Джордж вибирає одне навмання. Зрештою він отримує послідовність з ціною GG. Знайдіть найменшу можливу сталу cc таку, що для кожного натурального числа nn, для кожного набору з nn дійсних чисел і для кожної можливої послідовності, яку може отримати Джордж, отримані значення задовольняють нерівність G⩽cDG \leqslant c D.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-030

Розподіл подарунків за бажаннями дітей

Капіталіст повертається з ділової поїздки й привозить nn подарунків для своїх nn дітей. Для i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \dots, n\} його ii-та за старшинством дитина вважає бажаними xix_i з цих предметів. Припустимо, що числа x1,…,xnx_1, \dots, x_n додатні й задовольняють 1x1+⋯+1xn≤1.\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_n} \le 1. Доведіть, що діти можуть розподілити подарунки між собою так, щоб кожна дитина отримала подарунок, який їй подобається.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-007

Розбиття на групи з сумою не більше одиниці

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найменше ціле число kk з такою властивістю: для будь-яких дійсних чисел a1,…,ada_{1}, \ldots, a_{d} таких, що a1+a2+⋯+ad=na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{d}=n і 0⩽ai⩽10 \leqslant a_{i} \leqslant 1 при i=1,2,…,di=1,2, \ldots, d, ці числа можна розбити на kk груп (деякі з яких можуть бути порожніми) так, щоб сума чисел у кожній групі не перевищувала 11.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-012

Покриття відрізка двійковими інтервалами

Гравці AA і BB грають у фарбувальну гру на дійсній прямій. Гравець AA має горщик із фарбою з чотирма одиницями чорного чорнила. Кількості pp цього чорнила достатньо, щоб зачорнити (замкнений) дійсний проміжок довжини pp. У кожному раунді гравець AA вибирає деяке натуральне число mm і видає 1/2m1 / 2^{m} одиниць чорнила з горщика. Потім гравець BB вибирає ціле число kk і зачорнює проміжок від k/2mk / 2^{m} до (k+1)/2m(k+1) / 2^{m} (деякі частини цього проміжку могли бути зачорнені раніше). Мета гравця AA — досягти ситуації, коли горщик порожній, а проміжок [0,1][0,1] зачорнено не повністю. Визначте, чи існує стратегія гравця AA, що дає перемогу за скінченну кількість ходів.
10–11 класиІнші інваріанти
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-004

Існування багатої й талановитої множини цілих чисел

Назвімо множину AA цілих чисел талановитою, якщо кожен елемент цієї множини можна подати як суму деяких двох (не обов'язково різних) чисел, що також належать множині AA. Назвімо множину AA цілих чисел багатою, якщо 00 — єдине ціле число, яке не можна подати як суму елементів деякої скінченної непорожньої підмножини AA. Чи існує множина цілих чисел, що є водночас і багатою, і талановитою?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-034

Незалежна множина у графі обміну капелюхами

У групі з 3030 людей кожен спочатку мав капелюх. Одного дня кожен учасник відправив свій капелюх іншому учаснику (один учасник міг отримати більше одного капелюха). Доведіть, що існує підгрупа з 1010 людей така, що жоден учасник цієї підгрупи не отримав капелюха від іншого учасника цієї підгрупи.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-030

Поворот трикутної решітки на 120°

Нехай nn — натуральне число. У трикутній решітці зі стороною довжини nn в кожному вузлі розташовано по одному об’єкту. Дозволено такі кроки: вибрати три вузли, які попарно є сусідами один з одним, і циклічно переставити об’єкти, що стоять у цих вузлах. Для яких nn можна повернути всю множину об’єктів на 120∘120^\circ відносно центра решітки?
10–11 класиПерестановки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.