Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

103 задачі
ГеометріяЗовнівписане коло
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-016

Відстані від точки до сторін прямокутного трикутника

У трикутнику ABCABC з прямим кутом при AA маємо AB=8 смAB = 8~\text{см} і AC=6 смAC = 6~\text{см}. а) Точка PP всередині трикутника розташована на відстані 1 см1~\text{см} від сторони ABAB і 2 см2~\text{см} від сторони ACAC. Яка відстань від PP до сторони BCBC? б) Обчисліть радіус кола, яке дотикається до сторони ACAC та до продовжень сторін ABAB і BCBC.
8–9 класиРозбиття і перекидання площ
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-014

Перетин бісектрис і діаметр описаного кола

Бісектриса зовнішнього кута при вершині CC трикутника ABCABC перетинає бісектрису внутрішнього кута при вершині BB у точці KK. Розглянемо діаметр описаного кола трикутника BCKBCK, одним із кінців якого є точка KK. Доведіть, що точка AA лежить на цьому діаметрі.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-055

Вписаний чотирикутник зі збігом відображених прямих

Нехай A,B,C,DA, B, C, D — точки, вибрані на колі, у такому порядку. Пряму BDBD відображено відносно прямих ABAB і DADA, у результаті отримано прямі ℓ1\ell_{1} і ℓ2\ell_{2} відповідно. Якщо прямі ℓ1,ℓ2\ell_{1}, \ell_{2} і ACAC мають спільну точку та AB=4,BC=3,CD=2AB=4, BC=3, CD=2, обчисліть довжину DADA.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-041

Нерухома точка при проєкції інцентра

Нехай LBCL B C — нерухомий трикутник, у якого LB=LCL B = L C, і нехай AA — змінна точка на дузі LBL B його описаного кола. Нехай II — інцентр трикутника △ABC\triangle A B C, а AK‾\overline{A K} — висота, проведена з вершини AA. Описане коло трикутника △IKL\triangle I K L перетинає прямі KAK A і BCB C ще раз у точках U≠KU \neq K і V≠KV \neq K відповідно. Нарешті, нехай TT — проєкція точки II на пряму UVU V. Доведіть, що пряма, проведена через TT і середину відрізка IK‾\overline{I K}, проходить через деяку нерухому точку незалежно від положення точки AA.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-046

Коло, дотичне до трьох сторін вписаного чотирикутника

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник зі сторонами AB=10AB = 10, BC=8BC = 8, CD=25CD = 25 і DA=12DA = 12. Коло ω\omega дотикається до відрізків DADA, ABAB і BCBC. Знайдіть радіус кола ω\omega.
10–11 класиЗовнівписане коло
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-026

Квадрат, утворений центрами трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний рівнобедрений трикутник з прямим кутом при BB. Нехай MM — точка дуги ACAC кола з центром BB, що проходить через AA і CC, HH — її ортогональна проєкція на пряму (AB)(AB). Позначимо через II центр кола, вписаного в трикутник BHMBHM, а через JJ — центр кола, зовнівписаного при куті BB (JJ — це перетин внутрішньої бісектриси при BB із зовнішніми бісектрисами при HH і MM). Доведіть, що чотирикутник MIAJMIAJ — квадрат.
9–11 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-036

Перетин бісектрис у чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Нехай MM — точка перетину внутрішніх бісектрис кутів BB і CC, а NN — точка перетину внутрішніх бісектрис кутів AA і DD. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD і MNMN проходять через одну точку.
9–11 класиТочка перетину бісектрис
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-004

Хорда через центри зовнівписаних кіл і дотик до описаного кола

Для трикутника ABCABC нехай B1B_1, C1C_1 — центри зовнівписаних кіл, що відповідають BB, CC відповідно. Пряма B1C1B_1C_1 перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD (≠A\neq A). Нехай EE — точка перетину перпендикуляра, проведеного через B1B_1 до прямої CACA, і перпендикуляра, проведеного через C1C_1 до прямої ABAB. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ADEADE. Дотична до кола ω\omega в точці DD перетинає пряму AEAE в точці FF. Перпендикуляр з DD до прямої AEAE перетинає AEAE в точці GG, а ця пряма перетинає ω\omega в точці HH (≠D\neq D). Описане коло трикутника HGFHGF перетинає ω\omega в точці II (≠H\neq H). Нехай JJ — основа перпендикуляра з DD до прямої AHAH. Доведіть, що пряма AIAI проходить через середину відрізка DJDJ.
10–11 класиЗовнівписане коло
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-010

Центри зовнівписаних кіл на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — внутрішня точка його сторони ACAC. Назвемо сторону трикутника ABDABD дружньою, якщо зовнівписане коло трикутника ABDABD, дотичне до цієї сторони, має свій центр на описаному колі трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABDABD має рівно дві дружні сторони тоді й лише тоді, коли ∣BD∣=∣DC∣|BD| = |DC|.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-058

Радіус зовнівписаного кола за вписаними колами частин

Нехай ABCABC — трикутник, а точки PP і QQ лежать на стороні BCBC так, що PP розташована ближче до BB, ніж QQ. Припустімо, що радіуси вписаних кіл трикутників ABPABP, APQAPQ і AQCAQC дорівнюють 11, а радіуси відповідних зовнівписаних кіл, протилежних вершині AA, дорівнюють 33, 66 і 55 відповідно. Якщо радіус вписаного кола трикутника ABCABC дорівнює 32\frac{3}{2}, знайдіть радіус зовнівписаного кола трикутника ABCABC, протилежного вершині AA.
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2011-001

Відношення на хорді з основ висот

У гострокутному різносторонньому трикутнику ABCABC точки DD, EE, FF лежать на сторонах BCBC, CACA, ABAB відповідно так, що AD⊥BCAD \perp BC, BE⊥CABE \perp CA, CF⊥ABCF \perp AB. Висоти ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в ортоцентрі HH. Точки PP і QQ лежать на відрізку EFEF так, що AP⊥EFAP \perp EF і HQ⊥EFHQ \perp EF. Прямі DPDP і QHQH перетинаються в точці RR. Обчисліть відношення HQ/HRHQ/HR.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-011

Сума відношень до висот у гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC позначимо через hah_a, hbh_b, hch_c довжини висот, проведених до сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Точка PP лежить усередині трикутника. Доведіть, що PAhb+hc+PBhc+ha+PCha+hb≥1.\frac{PA}{h_b + h_c} + \frac{PB}{h_c + h_a} + \frac{PC}{h_a + h_b} \ge 1.
10–11 класиВідношення площ трикутників2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-122

Довжина відрізка в конструкції із зовнівписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами BC=2007BC = 2007, CA=2008CA = 2008, AB=2009AB = 2009. Нехай ω\omega — зовнівписане коло трикутника ABCABC, яке дотикається до відрізка BCBC в точці DD, а до продовжень прямих ACAC і ABAB — в точках EE і FF відповідно (так, що CC лежить на відрізку AEAE, а BB лежить на відрізку AFAF). Нехай OO — центр кола ω\omega. Нехай ℓ\ell — пряма через точку OO, перпендикулярна до прямої ADAD. Нехай ℓ\ell перетинає пряму EFEF в точці GG. Обчисліть довжину відрізка DGDG.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-022

Вписані сфери в перерізах конуса

Нехай дано (нескінченний) конус C\mathcal{C} з вершиною AA і площину π\pi. Перетин площини π\pi і конуса C\mathcal{C} — еліпс E\mathcal{E} з великою віссю BCBC, причому BB ближча до AA, ніж CC, а BC=4BC = 4, AC=5AC = 5, AB=3AB = 3. Припустимо, що в кожну з частин конуса C\mathcal{C}, на які його розбиває E\mathcal{E}, вписано сферу, причому обидві сфери дотикаються до еліпса E\mathcal{E}. Знайдіть відношення радіусів цих сфер (меншого до більшого).
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-056

Кола, дотичні до трьох прямих

У площині проведено три різні прямі. Припустімо, що існує рівно nn кіл у площині, дотичних до всіх трьох прямих. Знайдіть усі можливі значення nn.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-033

Точки дотику вписаного кола та відображені перетини

Трикутник ABCABC має вписане коло ω\omega, яке дотикається до сторони ABAB у точці C1C_1, до сторони BCBC у точці A1A_1 і до сторони CACA у точці B1B_1. Нехай A2A_2 — точка, симетрична A1A_1 відносно середини сторони BCBC, а точки B2B_2 і C2C_2 означено аналогічно. Нехай A3A_3 — точка перетину відрізка AA2AA_2 з колом ω\omega, ближча до AA, а точки B3B_3 і C3C_3 означено аналогічно. Якщо AB=9AB=9, BC=10BC=10 і CA=13CA=13, знайдіть [A3B3C3]/[ABC]\left[A_3 B_3 C_3\right] / [ABC]. (Тут [XYZ][XYZ] позначає площу трикутника XYZXYZ.)
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2001-004

Вписане коло, точки дотику і рівні відрізки

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, а ω\omega — його вписане коло. Позначимо через D1D_1 і E1E_1 точки, в яких ω\omega дотикається до сторін BCBC і ACAC відповідно. Позначимо через D2D_2 і E2E_2 точки на сторонах BCBC і ACAC відповідно такі, що CD2=BD1CD_2 = BD_1 і CE2=AE1CE_2 = AE_1, а через PP — точку перетину відрізків AD2AD_2 і BE2BE_2. Коло ω\omega перетинає відрізок AD2AD_2 у двох точках, ближчу з яких до вершини AA позначено через QQ. Доведіть, що AQ=D2PAQ = D_2P.
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-096

Дотична до вписаного кола в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай XX — точка прямої (BC)(BC), відмінна від BB і CC. Нехай YY і ZZ — точки на прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) такі, що обидві прямі (BZ)(BZ) і (CY)(CY) паралельні прямій (AX)(AX). Пряма (XY)(XY) перетинає пряму (AC)(AC) у точці MM, а пряма (XZ)(XZ) перетинає пряму (AB)(AB) у точці NN. Доведіть, що пряма (MN)(MN) дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
8–10 класиЗовнівписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-012

Зовнівписане коло і прямий кут

Нехай Γ\Gamma — зовнівписане коло трикутника ABCABC, протилежне вершині AA, тобто коло, дотичне до сторони BCBC та до продовжень сторін ABAB і ACAC з боку BB і CC. Нехай DD — центр кола Γ\Gamma, а EE та FF — відповідно точки дотику кола Γ\Gamma з продовженнями сторін ABAB та ACAC. Нехай JJ — перетин відрізків BDBD та EFEF. Доведіть, що кут ∠CJB\angle CJB прямий.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-024

Дотична до вписаного кола через перпендикуляри

Інцентром трикутника ABCABC є точка II. Точки DD і EE на сторонах ABAB і ACAC відповідно задовольняють умови DI⊥BIDI \perp BI і EI⊥CIEI \perp CI. Доведіть, що пряма DEDE дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
Симетрія4 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2022-033

Перетини еліпсів з колінеарними фокусами

Для точок PP, QQ, RR нехай EP,Q(R)E_{P, Q}(R) позначає еліпс з фокусами PP і QQ, що проходить через RR. Точки TT, AA, BB, CC лежать на одній прямій у такому порядку. Промінь з початком у AA перетинає EA,B(T)E_{A, B}(T) у QQ та EA,C(T)E_{A, C}(T) у PP. Доведіть, що еліпс EB,P(A)E_{B, P}(A) перетинає еліпс EC,Q(A)E_{C, Q}(A) у двох точках.
Зовнівписане коло
Математичний гурток БеркліBMC-2021-025

Вписане та зовнівписане кола і висота трикутника

У △ABC\triangle ABC нехай вписане коло має центр II і дотикається до сторони BCBC у точці DD, а AA-зовнівписане коло має центр IaI_{a} і дотикається до сторони BCBC у точці D′D'. Доведіть, що прямі ID′ID' і IaDI_{a}D перетинаються на висоті, опущеній з AA на BCBC.
Гомотерія і подібність
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-005

Рівнобедрений трикутник з паралельними й перпендикулярними прямими

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB=ACAB = AC. Точка KK лежить на висоті, проведеній з вершини AA, а точка LL вибрана на прямій BKBK так, що AL∥BCAL \parallel BC. Доведіть, що якщо KC⊥CLKC \perp CL, то точка LL лежить на бісектрисі зовнішнього кута при вершині CC трикутника ABCABC.
Допоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1982-001

Подібність трикутника до трикутника з центрами зовнівписаних кіл

Кути трикутника ABCABC задовольняють ∠A∠C=∠B∠A=2\frac{\angle A}{\angle C} = \frac{\angle B}{\angle A} = 2. OO — центр вписаного кола. KK, LL — центри зовнівписаних кіл, протилежних вершинам BB і AA відповідно. Доведіть, що трикутники ABCABC і OKLOKL подібні.
Зовнівписане коло
Математичний гурток БеркліBMC-0000-470

Циклічний чотирикутник, утворений бісектрисами кутів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — внутрішня точка сторони BCBC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а DD — основа висоти, опущеної з II на BCBC. Пряма BIBI перетинає внутрішню бісектрису кута ∠APC\angle APC у точці XX, а пряма CICI перетинає внутрішню бісектрису кута ∠APB\angle APB у точці YY. Доведіть, що точки D,P,X,YD, P, X, Y лежать на одному колі.
Зовнівписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.