Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

230 задач
КомбінаторикаІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-089

Кількість кроків стирання рівних чисел на дошці

Натуральні числа від 11 до 5050 виписані на дошку по п'ятдесят разів кожне. На кожному кроці Дмитрик стирає два рівних числа і записує на дошці їх суму. Скільки кроків необхідно Дмитрику, щоб отримати на дошці всі числа різними?
8–9 класиІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-006

Перестановка пташок у n-кутнику і вид трикутника

У кожній вершині правильного nn-кутника сидить по пташці, і в деякий момент вони одночасно перелітають з одних вершин в інші таким чином, що знову в кожній вершині по одній пташці. Для яких nn ми завжди зможемо знайти таких трьох пташок, що трикутник, який вони утворювали при перельоті, залишився таким самим -кутним (тобто гострокутним, прямокутним чи тупокутним)?
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-24-25-019

Склеювання пазла по два і по три шматочки

Петрик склеїв пазл рівно за 22 години, при цьому за 11 хв він склеював разом 22 шматочки — окремих чи вже раніше склеєних. За який час цей пазл склеїла б Даринка, якщо вона може за хвилину склеювати 33 шматочки?
4 класІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-024

Суми чисел у шерензі хлопчиків і дівчаток

В одній шерензі в деякому порядку стоять 1010 хлопчиків і 1010 дівчаток. Кожна дівчинка сказала, скільки дітей стоїть від неї ліворуч, а кожний хлопчик сказав, скільки дітей стоїть від нього праворуч. Сума чисел, що назвали хлопчики, виявилася рівною 100100. Якою може бути сума чисел, названих дівчатками? Укажіть усі можливі відповіді. Примітка. Якщо хлопчик стоїть із правого краю, тобто правіше від нього немає жодної іншої дитини, то він називає число 00 або не називає ніякого числа, тобто від того сума чисел усіх хлопчиків не змінюється. Так само й для дівчинки, якщо вона стоїть найлівішою в ряду.
4 класІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-042

Гра двох гравців з роботом на прямій

Робот знаходиться в точці координатної прямої з координатою p=m2020p=\dfrac{m}{2020}, де 0<m<20200 < m < 2020, і може рухатися ліворуч та праворуч уздовж цієї прямої. Два гравці грають у таку гру: на кожному ході Андрій задає відстань, Петрик — напрямок руху, і робот рухається вказаним чином від точки свого теперішнього перебування. Андрій виграє, якщо робот у якийсь момент потрапить у точку X=0X = 0 чи Y=1Y = 1, а Петрик переможе, якщо завадить виграти Андрію. При яких значеннях mm у цій грі переможе Андрій, якщо вона може тривати досить багато часу?
5 класІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-069

Обмін прапорців трьох кольорів до 11 кожного

У Петрика є по 1010 прапорців жовтого, синього та чорного кольорів. У крамниці йому запропонували такий принцип обміну його прапорців: за 44 жовтих він може отримати 55 синіх, або за 22 чорних і 33 синіх — 44 жовтих, або за 33 жовтих і 44 синіх — 77 чорних. Чи зможе Петрик так скомбінувати обміни, щоб у нього стало принаймні по 1111 прапорців кожного кольору?
6 класНапівінваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-19-20-044

Максимальна сума очок на видимих гранях кубиків

На скляному столі зі стільницею розміром 10×1010 \times 10 щільно розташовано 100100 правильних гральних кубиків таким чином, що коли два кубики дотикаються гранями, то на цих гранях записано однакові значення. У всіх 100100 гральних кубиків видно 100100 граней зверху та знизу, а також по 1010 граней з кожного боку. Яка максимальна сума очок може бути на цих видимих 240240 гранях? Примітка. Гральний кубик уважаємо правильним, якщо суми очок на кожній парі протилежних граней дорівнюють 77.
5 класІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-049

2018 чисел по колу із сумою двадцяти сусідніх

По колу розставлено 20182018 натуральних чисел (не обов'язково різних). Відомо, що сума будь-яких 2020 чисел, що йдуть поспіль, дорівнює 200200. Позиції чисел послідовно отримали номери 11, 22, …\ldots, 20182018. На 1717-й позиції стоїть число 1717. Чи можна з'ясувати, які числа стоять на позиціях з номерами 20182018 та 10011001?
5 класІнші інваріанти
Тематичні олімпіади з математикиTMO-15-16-010

Перегрупування груп клубу і розмір груп

У Магічному клубі члени розподілені по кількох групах. Перегрупування відбувається наприкінці кожного тижня за такими правилами: у кожній групі її члени обирають лідера, усі лідери залишають свою групу та формують нову. Якщо група мала лише одного члена, то він входить до нової групи, а стара група зникає. Спочатку в Магічному клубі було всього nn членів, що утворювали одну групу. Доведіть, що настане момент, коли в кожній групі буде не більше ніж 1+2n1 + \sqrt{2n} членів.
9 класМетод математичної індукції
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2005-010

Перетворення впорядкованої трійки та число 2005

За один крок дозволяється обрати будь-яке ціле число nn і замінити впорядковану трійку (a;b;c)\left(a; b; c\right) на трійку (na−(2n−1)b+nc;  nb−(2n−1)c+na;  nc−(2n−1)a+nb).\left(na - \left(2n-1\right)b + nc; \; nb - \left(2n-1\right)c + na; \; nc - \left(2n-1\right)a + nb\right). Скільки різних упорядкованих трійок чисел, серед яких буде число 20052005, можна отримати за декілька таких кроків з трійки (811;1111;1108)\left(811; 1111; 1108\right)?
Інші інваріанти
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-025

Точка B симетріями точки A відносно прямих

На координатній площині xOyxOy відмічено точку A(1;2)A(1; 2). За один крок дозволяється вибрати довільне дійсне число aa та відмітити на площині точку, симетричну одній з уже відмічених точок відносно прямої y=ax−(2a+1)y = ax - (2a + 1). Чи може за декілька описаних кроків на координатній площині виявитися відміченою точка B(−1;1)B(-1; 1)?
Інші інваріанти
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-026

Прості 100-значні числа зі зміною цифри та реверсом

У стовпчик виписані 100-значні натуральні числа, причому кожне наступне одержано з попереднього збільшенням або зменшенням якоїсь однієї його цифри на одиницю (зрозуміло, що цифру 00 не можна зменшувати, а цифру 99 — збільшувати). Виявилося, що останнє число записується тими ж самими цифрами, що й початкове, але — у протилежному порядку. Чи можуть усі записані числа бути простими?
Ознаки подільності на 2, 3, …
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-029

Многочлен x¹⁰ з многочлена 2001x² - 10x + 1991

Задача на честь десятиріччя проведення в Одесі Першого фестивалю математичної творчості школярів (2–10 вересня 1991 року). На дошці записано многочлен P(x)=2001x2−10x+1991P(x) = 2001x^2 - 10x + 1991. На кожному кроці дозволяється записувати на дошці многочлени, які утворюються так: або множенням уже записаного на дошці многочлена на довільне дійсне число, або — шляхом додавання, множення чи композиції (композицією многочленів F(x)F(x) та G(x)G(x) можна при цьому вважати і многочлен F(G(x))F(G(x)) і многочлен G(F(x))G(F(x))) будь-яких двох уже записаних на дошці многочленів (ці многочлени не обов'язково повинні бути різними). Чи можна за декілька описаних кроків одержати на дошці многочлен Q(x)=x10Q(x) = x^{10}?
Інші інваріанти
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-033

Многочлен з многочлена додаванням множенням і композицією

На дошці записано многочлен P(x)=x2001+x10+x+2P(x) = x^{2001} + x^{10} + x + 2. На кожному кроці дозволяється записувати на дошці многочлени, які утворюються так: або множенням уже записаного на дошці многочлена на довільне дійсне число, або — шляхом додавання, множення чи композиції (композицією многочленів F(x)F(x) та G(x)G(x) можна при цьому вважати і многочлен F(G(x))F(G(x)) і многочлен G(F(x))G(F(x))) будь-яких двох уже записаних на дошці многочленів (ці многочлени не обов'язково повинні бути різними). Чи можна за декілька описаних кроків одержати на дошці многочлен Q(x)=(x1991)2001Q(x) = \left(x^{1991}\right)^{2001}?
Інші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-003

Найменша кількість непорожніх купок камінців

Дано натуральне число nn. Ми починаємо з nn купок камінців, коли в кожній купці є по одному камінцю. За одну операцію можна вибрати довільні дві непорожні купки, узяти з них однакову кількість камінців і сформувати з них окрему купку. Для кожного натурального nn знайдіть найменшу можливу кількість непорожніх купок, яку можна отримати за скінченну кількість таких операцій.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-005

Знакозмінна сума після викидання одного нуля чи одиниці

У рядок виписано декілька чисел, кожне з яких дорівнює 00 чи 11. Доведіть, що можна викинути одне з них або не викидати жодного так, щоб знакозмінна сума чисел, що лишилися, дорівнювала 00. Примітка. Знакозмінна сума послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n невід'ємних чисел — це сума, що визначається в такий спосіб: a1−a2+a3−a4+…+(−1)n+1ana_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots + (-1)^{n+1} a_n. Наприклад, якщо виписано числа 1,0,0,0,1,0,11, 0, 0, 0, 1, 0, 1, то можна викинути другу справа одиницю й отримати таку знакозмінну суму: 1−0+0−0+0−1=01 - 0 + 0 - 0 + 0 - 1 = 0.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-006

Гра з 2020 одиницями на дошці за монети

Гравці A і B грають у гру на дошці, на якій спочатку записано 20202020 одиниць. Кожним ходом гравець A стирає два числа на дошці (скажімо, xx і yy), а гравець B записує на дошці одне із чисел — x+yx + y або ∣x−y∣|x - y|. Гра закінчується, коли виконується одне з таких тверджень: (1) одне із чисел строго більше, ніж сума всіх інших чисел; (2) на дошці записано тільки нулі. Коли гра закінчилася, гравець B мав дати гравцю A стільки монет, скільки чисел залишилося на дошці. Гравець A прагне отримати якомога більше монет, а гравець B хоче віддати якомога менше. Якщо обидва гравці грають оптимально, то яку кількість монет мусить віддати гравець B?
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-007

Матчі команд з однаковими очками та очки переможниці

Сто волейбольних команд узяли участь у турнірі, у якому кожна команда зіграла з кожною іншою рівно 11 раз, причому всі матчі були зіграні в різний час. Виявилося, що в кожному матчі зустрічалися команди, які на той момент мали однакову кількість очок. Яку найбільшу кількість очок могла набрати команда — переможниця турніру? Примітка. У волейболі за перемогу команді нараховують 11 очко, за поразку — 00 очок, а нічиїх не буває.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-015

Поліцаї у квартирі з n стінами та дверима

У казковому всесвіті політичний діяч має квартиру CC, що є нескінченною площиною з nn стінами — кожна у формі нескінченної прямої, які розбивають квартиру на кімнати. Серед стін немає двох паралельних, а також немає трьох, що мають спільну точку. Працівники ЖКГ кожну зі стін повністю фарбують у блакитний колір з одного боку та в жовтий — із другого. На перетині будь-яких двох стін є чотири кути, з яких рівно два (причому вертикальних), що мають сторони різного кольору. На кожному такому перетині є двосторонні двері, які з’єднують ті два кути, сторони яких різного кольору. Після того як працівники ЖКГ пофарбують стіни, служба безпеки всесвіту розміщує деяку кількість поліцаїв у цій квартирі. Поліцаї вміють проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай kk — найбільше число, що відповідає кількості поліцаїв, яких, незважаючи на те, як ЖКГ пофарбує стіни, служба безпеки завжди зможе розмістити так, щоб не знайшлося двох поліцаїв, котрі мають можливість зустрітися.
10–11 класиЗв’язність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-002

Однакові числа у квадраті 3×3 після операцій

Натуральні числа від 1 до 9 розставлено деяким чином у комірки квадрата 3×33\times3 (по одному числу в комірку). З ними можна робити такі перетворення: вибрати довільний квадрат 2×22\times2 й додати 1 до кожного з чотирьох чисел цього квадрата або відняти 1 від кожного із цих чисел. Після кількох таких кроків виявилося, що в кожній комірці квадрата 3×33\times3 записано однакові числа. Якими можуть бути ці однакові числа?
7–9 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-010

Чарівне число дошки і перестановки рядків та стовпчиків

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. Числа 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2 за чергою записують у клітинки квадратної дошки розміром n×nn \times n таким чином, що числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n записані зліва направо в першому рядку, числа n+1,n+2,…,2nn + 1, n + 2, \ldots, 2n записані зліва направо в другому й т. д. Чарівним числом дошки назвемо кількість рядків, стовпчиків і головних (найбільших) діагоналей, у яких середнє значення елементів дорівнює n2+12\frac{n^2+1}{2}. Доведіть, що чарівне число дошки залишається незмінним, якщо виконується довільна послідовність таких операцій: 1) перестановка двох рядків; 2) перестановка двох стовпчиків.
7–9 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-009

П'ять відер у вершинах п'ятикутника та гра з водою

П'ять однакових дволітрових відер стоять на дворі у вершинах правильного п'ятикутника. Попелюшка та її зла мачуха проводять декілька раундів гри за таким правилом. На початку кожного раунду мачуха набирає 11 л брудної води з найближчої калюжі та розподіляє її довільним чином між 55 відрами у дворі. Попелюшка обирає два довільних відра, які стоять поруч (у сусідніх вершинах п'ятикутника), та виливає з них воду в калюжу й ставить порожні відра на місце. Це закінчує черговий раунд. Мачуха прагне зробити так, щоб принаймні в одному відрі вода перелилася через край (тобто після її доливання у ведрі мало бути більше ніж 22 л води), а Попелюшка — не допустити цього. Чи зможе мачуха досягти своєї мети?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-003

Гра з многочленом xy-1 і натуральні розв'язки рівняння

Мар'ям і Артур грають у гру на дошці: вони роблять ходи по черзі, починає Артур. Спочатку на дошці записано многочлен xy−1xy - 1. На кожному ході гравець замінює поточний многочлен P(x,y)P(x, y) на один із таких: - x⋅P(x,y)x \cdot P(x, y); - y⋅P(x,y)y \cdot P(x, y); - P(x,y)+aP(x, y) + a, де aa — довільне ціле число з проміжку (−∞,2025](-\infty, 2025]. Гра завершується після того, як кожен із гравців зробить по 20252025 ходів. Позначимо через Q(x,y)Q(x, y) многочлен, який залишився на дошці після завершення гри. Мар'ям виграє, якщо рівняння Q(x,y)=0Q(x, y) = 0 має скінченну й непарну кількість розв'язків у натуральних числах (x,y)(x, y). Доведіть, що Мар'ям завжди може виграти, незалежно від дій Артура.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-001

Два початкові числа на дошці та всі цілі числа

На дошці написано два різних цілих числа uu та vv. Ми виконуємо послідовність кроків. На кожному кроці робимо одну з таких двох операцій: - якщо aa та bb — різні цілі числа, написані на дошці, то ми можемо дописати число a+ba + b, якщо його там ще немає; - якщо aa, bb та cc — три попарно різних цілих числа на дошці та ціле число xx є коренем рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, то ми можемо дописати число xx, якщо його там ще немає. Знайдіть усі пари початкових чисел (u,v)(u, v), що для них будь-яке ціле число може бути написане на дошці після скінченної кількості кроків.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-009

Мінімальна кількість купок при рівних перекладаннях

Нехай nn — натуральне число. Починаємо з nn купок камінців, у кожній спочатку по одному камінцю. Можна виконувати ходи такого вигляду: вибрати дві купки, взяти з кожної купки однакову кількість камінців і утворити з цих камінців нову купку. Для кожного натурального числа nn знайдіть найменшу кількість непорожніх купок, яку можна отримати, виконавши скінченну послідовність ходів такого вигляду.
10–11 класиІнші інваріанти3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.