Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

172 задачі
АлгебраІнші класичні нерівності
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-008

Стаціонарність нескінченної послідовності з нерівністю середніх

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \ldots — нескінченна послідовність додатних чисел така, що для кожного натурального nn справджується нерівність a1+a2+…+ann⩾a12+a22+…+an+12n+1.\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geqslant \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{n+1}^2}{n+1}}. Доведіть, що послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots є стаціонарною, тобто всі її члени рівні між собою.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-003

Нерівність для сторін і діагоналей вписаного шестикутника

Опуклий шестикутник ABCDEFABCDEF вписано в коло. Доведіть нерівність AC⋅BD⋅CE⋅DF⋅EA⋅FB⩾27⋅AB⋅BC⋅CD⋅DE⋅EF⋅FA.AC \cdot BD \cdot CE \cdot DF \cdot EA \cdot FB \geqslant 27 \cdot AB \cdot BC \cdot CD \cdot DE \cdot EF \cdot FA.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-004

Нерівність з умовою на добуток

Нехай a,b,c,da, b, c, d — додатні числа такі, що abcd=1abcd = 1. Доведіть нерівність 1a+2b+3c+10+1b+2c+3d+10+1c+2d+3a+10+1d+2a+3b+10≤1.\frac{1}{\sqrt{a + 2b + 3c + 10}} + \frac{1}{\sqrt{b + 2c + 3d + 10}} + \frac{1}{\sqrt{c + 2d + 3a + 10}} + \frac{1}{\sqrt{d + 2a + 3b + 10}} \le 1.
10–11 класиНерівність Коші
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-004

Нерівність для додатних x, y зі степенем 2016

Нехай xx, yy — додатні числа, що задовольняють умову x+y2016⩾1x+y^{2016}\geqslant 1. Доведіть, що x2016+y⩾1−1100x^{2016}+y\geqslant 1-\frac{1}{100}.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-005

Нижня оцінка гармонічної суми

Доведіть нерівність 1k+1k+1+⋯+1n≥2(n−k+1)n+k\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + \dots + \frac{1}{n} \ge \frac{2(n-k+1)}{n+k} для всіх пар (n,k)(n, k) натуральних чисел таких, що k≤nk \le n.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-009

Циклічна нерівність із кубами в чисельнику

Доведіть, що для будь-яких додатних дійсних чисел xx, yy, zz виконується нерівність: x3y2+z2+y3x2+z2+z3x2+y2≥x+y+z2\frac{x^3}{y^2 + z^2} + \frac{y^3}{x^2 + z^2} + \frac{z^3}{x^2 + y^2} \ge \frac{x + y + z}{2}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-010

Сума циклічних дробів з a, b, c, l, m

Доведіть, що для додатних aa, bb, cc і l>ml > m a3l+a3m+1al+bl−mam+bl+b3l+b3m+1bl+cl−mbm+cl+c3l+c3m+1cl+al−mcm+al≥am+bm+cm.\frac{a^{3l} + a^{3m} + 1}{a^l + b^{l-m}a^m + b^l} + \frac{b^{3l} + b^{3m} + 1}{b^l + c^{l-m}b^m + c^l} + \frac{c^{3l} + c^{3m} + 1}{c^l + a^{l-m}c^m + a^l} \ge a^m + b^m + c^m.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-001

Оцінки симетричної суми з обмеженнями

Нехай дійсні числа a,b,c,da, b, c, d задовольняють співвідношення a+b+c+d=6a+b+c+d=6 і a2+b2+c2+d2=12a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=12. Доведіть, що 36≤4(a3+b3+c3+d3)−(a4+b4+c4+d4)≤4836 \leq 4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\right) \leq 48
10–11 класиМетод Штурма3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-002

Оцінка суми через спадні факторіали

Невід'ємні цілі числа a1,…,a100a_1, \dots, a_{100} задовольняють нерівність a1⋅(a1−1)⋅⋯⋅(a1−20)+a2⋅(a2−1)⋅⋯⋅(a2−20)+⋯+a100⋅(a100−1)⋅⋯⋅(a100−20)≤100⋅99⋅98⋅⋯⋅79.a_1 \cdot (a_1-1) \cdot \dots \cdot (a_1-20) + a_2 \cdot (a_2-1) \cdot \dots \cdot (a_2-20) + \dots + a_{100} \cdot (a_{100}-1) \cdot \dots \cdot (a_{100}-20) \le 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot \dots \cdot 79. Доведіть, що a1+⋯+a100≤9900a_1 + \dots + a_{100} \le 9900.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-001

Сума 1/(2a+b+c)² за умови 1/a+1/b+1/c=a+b+c

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, такі, що 1a+1b+1c=a+b+c\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a + b + c. Доведіть, що 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)2≤316\frac{1}{(2a + b + c)^2} + \frac{1}{(2b + c + a)^2} + \frac{1}{(2c + a + b)^2} \leq \frac{3}{16}
10–11 класиНерівність Коші2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-010

Розбиття шахової дошки з мінімальною сумою периметрів

Для цілого m≥1m \geq 1 розглядаємо розбиття шахової дошки 2m×2m2^{m} \times 2^{m} на прямокутники, складені з клітинок дошки, у якому кожна з 2m2^{m} клітинок уздовж однієї діагоналі утворює окремий прямокутник зі стороною 1. Визначте найменшу можливу суму периметрів прямокутників у такому розбитті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2005-002

Симетрична нерівність для додатних дійсних чисел

Нехай aa, bb і cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що 2a2b+c+2b2c+a+2c2a+b≥a+b+c\frac{2 a^{2}}{b+c}+\frac{2 b^{2}}{c+a}+\frac{2 c^{2}}{a+b} \geq a+b+c
10–11 класиІнші класичні нерівності
Балтійський шляхBW-2002-004

Сума зважених квадратичних доданків

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що ∑i=1nxi(1−xi)2⩽(1−1n)2\sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(1-x_{i}\right)^{2} \leqslant\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} для всіх невід'ємних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} таких, що x1+x2+⋯+xn=1x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Балтійський шляхBW-2001-011

Сума дійсних чисел з умовами на степені

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа такі, що ∑i=1nai3=3\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{3}=3 і ∑i=1nai5=5\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{5}=5. Доведіть, що ∑i=1nai>32\sum_{i=1}^{n} a_{i}>\frac{3}{2}.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2001-002

Сума кореневих дробів для додатних a, b, c

Доведіть, що aa2+8bc+bb2+8ca+cc2+8ab≥1\frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \ge 1 для будь-яких додатних чисел a,ba, b і cc.
10–11 класиНерівність Коші
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1999-004

Нерівність для обернених чисел і зміщених сум

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа, причому n≥1n \geq 1. Доведіть, що n(1a1+⋯+1an)≥(11+a1+⋯+11+an)(n+1a1+⋯+1an)\begin{aligned} & n\left(\frac{1}{a_{1}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right) \\ & \quad \geq\left(\frac{1}{1+a_{1}}+\cdots+\frac{1}{1+a_{n}}\right)\left(n+\frac{1}{a_{1}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right) \end{aligned} Коли досягається рівність?
10–11 класиІнші класичні нерівності
Балтійський шляхBW-1998-006

Порівняння середніх тангенса і секанса

Нехай числа α,β\alpha, \beta задовольняють 0<α<β<π/20<\alpha<\beta<\pi / 2, а числа γ\gamma і δ\delta визначено умовами: (i) 0<γ<π/20<\gamma<\pi / 2, причому tg⁡γ\operatorname{tg} \gamma є середнім арифметичним tg⁡α\operatorname{tg} \alpha і tg⁡β\operatorname{tg} \beta; (ii) 0<δ<π/20<\delta<\pi / 2, причому 1cos⁡δ\frac{1}{\cos \delta} є середнім арифметичним 1cos⁡α\frac{1}{\cos \alpha} і 1cos⁡β\frac{1}{\cos \beta}. Доведіть, що γ<δ\gamma<\delta.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Балтійський шляхBW-1994-014

Сторони трикутника й нерівність для кутів

Нехай α,β,γ\alpha, \beta, \gamma — кути трикутника, протилежні до його сторін із довжинами a,ba, b і cc відповідно. Доведіть нерівність a⋅(1β+1γ)+b⋅(1γ+1α)+c⋅(1α+1β)≥2⋅(aα+bβ+cγ)a \cdot\left(\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)+b \cdot\left(\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\alpha}\right)+c \cdot\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right) \geq 2 \cdot\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\right)
10–11 класиІнші класичні нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-030

Циклічна сума квадратичних дробів

Доведіть, що для всіх дійсних x,y,zx, y, z виконується x2−y22x2+1+y2−z22y2+1+z2−x22z2+1⩽0.\frac{x^{2}-y^{2}}{2 x^{2}+1}+\frac{y^{2}-z^{2}}{2 y^{2}+1}+\frac{z^{2}-x^{2}}{2 z^{2}+1} \leqslant 0 .
8–10 класиІнші класичні нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-056

Циклічна сума з чисельником четвертого степеня

Нехай a,b,ca, b, c — три додатні дійсні числа. Доведіть, що a4+1b3+b2+b+b4+1c3+c2+c+c4+1a3+a2+a⩾2\frac{a^{4}+1}{b^{3}+b^{2}+b}+\frac{b^{4}+1}{c^{3}+c^{2}+c}+\frac{c^{4}+1}{a^{3}+a^{2}+a} \geqslant 2
8–10 класиНерівність Коші2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2023-003

Нерівність із висотами й колом дев’яти точок

Гострокутний трикутник — це трикутник, у якого всі кути менші за 90∘90^{\circ} (90∘90^{\circ} — прямий кут). Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з висотами ADAD, BEBE і CFCF, що перетинаються в точці HH. Коло, яке проходить через точки DD, EE і FF, перетинає ADAD, BEBE і CFCF повторно в точках XX, YY і ZZ відповідно. Доведіть таку нерівність: AHDX+BHEY+CHFZ≥3\frac{AH}{DX} + \frac{BH}{EY} + \frac{CH}{FZ} \geq 3
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-048

Нерівність із сумою попарних добутків

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа такі, що xy+yz+zx=3x y + y z + z x = 3. Доведіть, що x+3y+z+y+3z+x+z+3x+y+3⩾27(x+y+z)2(x+y+z)3\frac{x+3}{y+z} + \frac{y+3}{z+x} + \frac{z+3}{x+y} + 3 \geqslant 27 \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^{2}}{(x+y+z)^{3}}
8–10 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-025

Найбільше значення різниці за симетричних умов

Нехай x,y,zx, y, z — три дійсні числа, що задовольняють x+y+z=2x+y+z=2 і xy+yz+zx=1xy+yz+zx=1. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати x−yx-y.
8–10 класиПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-091

Нерівність для циклічних відношень у послідовності

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Нехай a1<a2<⋯<ana_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n} — зростаюча послідовність додатних дійсних чисел, і нехай an+1=a1a_{n+1}=a_{1}. Доведіть, що ∑k=1nakak+1>∑k=1nak+1ak.\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{a_{k+1}} > \sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k+1}}{a_{k}}.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-021

Циклічна нерівність з параметром

Нехай aa, bb, cc, λ\lambda — додатні дійсні числа, причому λ≥1/4\lambda \geq 1 / 4. Доведіть, що ab2+λbc+c2+bc2+λca+a2+ca2+λab+b2≥3λ+2\frac{a}{\sqrt{b^{2}+\lambda b c+c^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{c^{2}+\lambda c a+a^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+\lambda a b+b^{2}}} \geq \frac{3}{\sqrt{\lambda+2}}
10–11 класиІнші класичні нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.