Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

172 задачі
ГеометріяКола, що дотикаються
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-017

Рівносторонній трикутник і відстані до точки

Нехай A,B,CA, B, C і PP — чотири точки площини такі, що ABCABC є рівностороннім трикутником і AP<BP<CPAP < BP < CP. Припустимо, що лише за довжинами AP,BPAP, BP і CPCP можна однозначно визначити довжину ABAB. Доведіть, що PP належить описаному колу трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворот
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-009

Коло, дотичне до дуг квадрата

Флакон парфумів має циліндричну форму, а упаковка у вигляді квітки має бути побудована, щоб помістити його. Для виготовлення цієї упаковки буде використано квадратний аркуш зі стороною nn, чотири дуги кола з центрами у вершинах квадрата та радіусом nn і коло, дотичне до цих дуг. а) Чому дорівнює радіус кола? б) Чому дорівнює площа найсвітлішої частини фігури?
8–9 класиКола, що дотикаються
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-006

Дотичні кола і поділ хорди навпіл

Нехай k1k_{1} — коло, а ll — пряма, яка перетинає k1k_{1} у двох різних точках AA і BB. Нехай k2k_{2} — інше коло поза колом k1k_{1}, яке дотикається до кола k1k_{1} в точці CC і до прямої ll в точці DD. Нехай TT — друга точка перетину кола k1k_{1} з прямою CDCD. Доведіть, що AT=TBAT = TB.
10–11 класиКола, що дотикаються3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-092

Коло, дотичне до хорди та описаного кола

Трикутник △PQR\triangle P Q R з PQ=PR=5P Q = P R = 5 і QR=6Q R = 6 вписано в коло ω\omega. Обчисліть радіус кола з центром на відрізку QR‾\overline{Q R}, яке дотикається як до кола ω\omega, так і до відрізка PQ‾\overline{P Q}.
10–11 класиКола, що дотикаються2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-007

Радіус кола, описаного навколо точок дотику трьох кіл

Дано три кола Γ,Γ1,Γ2\Gamma, \Gamma_{1}, \Gamma_{2} з радіусами відповідно 6, 3, 2. Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикаються зовнішньо в точці AA, а Γ\Gamma дотикається до обох інших кіл внутрішньо, відповідно в точках A1A_{1} та A2A_{2}. Визначте радіус кола, описаного навколо трикутника AA1A2A A_{1} A_{2}. (A) 262 \sqrt{6} (B) 5 (C) 2+3+6\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} (D) 4+34+\sqrt{3} (E) 6
9–11 класиКола, що дотикаються
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-010

Дотик описаних кіл у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло. Позначимо через Δ1\Delta_{1} пряму, паралельну (BC)(BC), що проходить через AA, а через Δ2\Delta_{2} — пряму, паралельну (AD)(AD), що проходить через BB. Позначимо через EE точку перетину прямої Δ1\Delta_{1} з (CD)(CD), а через FF — точку перетину прямої Δ2\Delta_{2} з (CD)(CD). Пряма, перпендикулярна до Δ1\Delta_{1}, що проходить через AA, перетинає (BC)(BC) у точці PP, а пряма, перпендикулярна до Δ2\Delta_{2}, що проходить через BB, перетинає (AD)(AD) у точці QQ. Позначимо через Γ1\Gamma_{1} описане коло трикутника ADEADE, а через Γ2\Gamma_{2} — описане коло трикутника BFCBFC. Доведіть, що кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикаються тоді й лише тоді, коли (DP)(DP) і (CQ)(CQ) перпендикулярні.
8–10 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-002

Коло через середини та ортоцентр

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, ортоцентром HH і описаним колом Ω\Omega. Нехай MM — середина відрізка AHAH, а NN — середина відрізка BHBH. Припустимо, що точки M,N,O,HM, N, O, H різні й лежать на колі ω\omega. Доведіть, що кола ω\omega і Ω\Omega дотикаються внутрішнім чином.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-099

Дотичні сфери всередині описаної сфери

Циліндр з радіусом 1515 і висотою 1616 вписано в сферу. Три рівні менші сфери радіуса xx зовні дотикаються до основи циліндра, зовні дотикаються одна до одної та зсередини дотикаються до великої сфери. Чому дорівнює xx?
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-071

Вісім кривих трикутника 2, 3, 4 та їх перетини

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=2AB = 2, AC=3AC = 3, BC=4BC = 4. Ізогональним спряженням точки PP, позначеним P∗P^*, називається точка, отримана перетином відбиттів прямих PAPA, PBPB, PCPC відносно бісектрис кутів ∠A\angle A, ∠B\angle B і ∠C\angle C відповідно. Для точки QQ через K(Q)\mathfrak{K}(Q) позначимо єдину кубічну плоску криву, яка проходить через усі точки PP такі, що пряма PP∗PP^* містить QQ. Розглянемо: a. кубіку Маккея K(O)\mathfrak{K}(O), де OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC, b. кубіку Томсона K(G)\mathfrak{K}(G), де GG — центроїд трикутника △ABC\triangle ABC, c. кубіку Наполеона–Фейєрбаха K(N)\mathfrak{K}(N), де NN — центр кола дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, d. кубіку Дарбу K(L)\mathfrak{K}(L), де LL — точка де Лоншана (відбиття ортоцентра відносно точки OO), e. кубіку Нойберга K(X30)\mathfrak{K}(X_{30}), де X30X_{30} — нескінченно віддалена точка на прямій OGOG, f. коло дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, g. вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC і h. описане коло трикутника △ABC\triangle ABC. Оцініть NN, кількість точок, що лежать принаймні на двох із цих восьми кривих. Оцінка EE дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/6⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|N-E| / 6}\right\rfloor балів.
10–11 класиІнші точки трикутника
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-004

Коло, дотичне до описаного кола BOC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай Γ\Gamma — коло з центром на висоті, проведеній з вершини AA трикутника ABCABC, яке проходить через вершину AA та точки PP і QQ на сторонах ABAB і ACAC. Припустімо, що BP⋅CQ=AP⋅AQBP \cdot CQ = AP \cdot AQ. Доведіть, що коло Γ\Gamma дотикається до описаного кола трикутника BOCBOC.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-103

Коло, дотичне до трьох кіл у квадратній сітці

Розглянемо сітку 3×33 \times 3 з квадратів. У квадрат у лівому нижньому куті, середній квадрат верхнього рядка та крайній правий квадрат середнього рядка вписано по одному колу, а коло OO з радіусом rr проведено так, що OO зовні дотикається до кожного з трьох вписаних кіл. Якщо довжина сторони кожного квадрата дорівнює 11, обчисліть rr.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-012

Радіус кола, дотичного до трьох кіл

Нехай ABAB — відрізок довжини 22 із серединою MM. Розглянемо коло з центром OO і радіусом rr, яке зовні дотикається до кіл з діаметрами AMAM і BMBM та зсередини дотикається до кола з діаметром ABAB. Знайдіть значення rr.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-130

Дотична до множини з коренем

Нехай G\mathcal{G} — множина всіх точок (x,y)(x, y) на декартовій площині таких, що 0≤y≤80 \leq y \leq 8 і (x−3)2+31=(y−4)2+8y(8−y)(x-3)^{2}+31=(y-4)^{2}+8 \sqrt{y(8-y)} Існує єдина пряма ℓ\ell з від'ємним кутовим коефіцієнтом, дотична до множини G\mathcal{G}, що проходить через точку (0,4)(0,4). Припустимо, що ℓ\ell дотикається до множини G\mathcal{G} в єдиній точці PP. Знайдіть координати (α,β)(\alpha, \beta) точки PP.
10–11 класиЗаміни в виразах з радікалами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-049

Геометричне місце точки з єдиним перетином кіл

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, AC=15AC = 15. Для точки PP площини нехай PAP_A, PBP_B, PCP_C — точки, симетричні AA, BB, CC відносно PP. Точку PP назвемо хорошою, якщо описане коло трикутника PAPBPCP_A P_B P_C перетинає описане коло трикутника ABCABC рівно в одній точці. Геометричне місце хороших точок PP обмежує область S\mathcal{S}. Знайдіть площу області S\mathcal{S}.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-038

Радіус напівзовнівписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=AC=5AB = AC = 5 і BC=6BC = 6. Позначимо через ω\omega описане коло трикутника ABCABC. Проведемо коло Ω\Omega, яке зовні дотикається до кола ω\omega, а також до прямих ABAB і ACAC (таке коло називається AA-напівзовнівписаним колом). Знайдіть радіус кола Ω\Omega.
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові тести на IMOTST-2014-033

Дотичні кола й прямокутний трикутник

Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точці AA і містяться всередині кола Ω\Omega. При цьому ω1\omega_{1} дотикається до кола Ω\Omega в точці BB, а ω2\omega_{2} дотикається до кола Ω\Omega в точці CC. Пряма ACA C перетинає ω1\omega_{1} ще раз у точці DD. Доведіть, що DBCD B C — прямокутний трикутник, якщо A,BA, B і CC не лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-006

Три дотичні піци на прямокутному столі

Троє друзів заходять до піцерії Джорджо і сідають кожен біля одного боку прямокутного столу; перший сидить біля боку довжиною 70 см70~\text{см}, другий і третій сидять один навпроти одного, біля боків довжиною ll. Піци мають діаметр 30 см30~\text{см}; Джорджо подає піцу першому відвідувачу так, щоб вона дотикалася до його боку столу в середній точці, а піци двох інших — так, щоб вони дотикалися до відповідних боків столу і до першої піци. Яке найменше значення ll (у сантиметрах), за якого три піци можуть повністю поміститися на столі? (A) 10510 \sqrt{5} (B) 20+5520+5 \sqrt{5} (C) 15+10515+10 \sqrt{5} (D) 30+10530+10 \sqrt{5} (E) 60
9–11 класиКола, що дотикаються
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-022

Зовні дотичні кола з центрами в серединах сторін

Середини сторін C2C3C_2C_3, C3C1C_3C_1 і C1C2C_1C_2 трикутника C1C2C3C_1C_2C_3 — це K1K_1, K2K_2 і K3K_3 відповідно. Центри кіл c1c_1, c2c_2 і c3c_3 — це C1C_1, C2C_2 і C3C_3 відповідно, а центри кіл k1k_1, k2k_2, k3k_3 — це K1K_1, K2K_2, K3K_3 відповідно. Жодні два з даних шести кіл не перетинаються у двох точках і не містяться одне в одному. Кола k1k_1, k2k_2 і k3k_3 попарно дотикаються зовні. i) Доведіть, що сума радіусів кіл c1c_1, c2c_2 і c3c_3 не перевищує чверті периметра трикутника C1C2C3C_1C_2C_3. ii) Доведіть, що якщо сума радіусів кіл c1c_1, c2c_2 і c3c_3 дорівнює чверті периметра трикутника C1C2C3C_1C_2C_3, то трикутник C1C2C3C_1C_2C_3 рівносторонній.
11 класКола, що дотикаються
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-006

Перетин дотичних кіл, що проходять через центр

Усередині кола cc з центром OO містяться два кола c1c_1 і c2c_2, які проходять через OO і дотикаються до кола cc в точках AA і BB відповідно. Доведіть, що кола c1c_1 і c2c_2 мають спільну точку, яка лежить на відрізку ABAB.
8–10 класиКола, що дотикаються
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-012

Точка з рівними кутами в рівнобедреному прямокутному трикутнику

У рівнобедреному прямокутному трикутнику ABCABC прямий кут при вершині CC. На стороні ACAC вибрано точки KK, LL, а на стороні BCBC — точки MM, NN так, що вони ділять відповідну сторону на три рівні частини. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC існує рівно одна точка PP така, що ∠KPL=∠MPN=45∘\angle KPL = \angle MPN = 45^\circ.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-024

Три внутрішні кола і відрізки BC, CA, AB

Всередині кола cc містяться кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3, які дотикаються до кола cc у точках AA, BB і CC відповідно, причому всі ці точки різні. Кола c2c_2 і c3c_3 мають спільну точку KK на відрізку BCBC, кола c3c_3 і c1c_1 мають спільну точку LL на відрізку CACA, а кола c1c_1 і c2c_2 мають спільну точку MM на відрізку ABAB. Доведіть, що кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3 перетинаються в центрі кола cc.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-008

Коло, дотичне до чотирьох кіл з центрами у вершинах

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому відрізки ACAC і BDBD перетинаються перпендикулярно в точці XX. Припустімо, що виконано AX=5AX = 5, BX=6BX = 6 і CX=20CX = 20. Позначимо через O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4 відповідно коло з центром у точці AA і радіусом AXAX, коло з центром у точці BB і радіусом BXBX, коло з центром у точці CC і радіусом CXCX та коло з центром у точці DD і радіусом DXDX. Знайдіть значення DXDX, якщо існує коло, яке дотикається до всіх кіл O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4. Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиМетод координат
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-033

Котіння монети навколо трьох дотичних монет

Марія має три червоні монети й одну синю, всі однакового радіуса та з гумовим краєм. Вона кладе на стіл три червоні монети у вершинах рівностороннього трикутника так, щоб вони попарно дотикалися, потім кладе на стіл і синю так, щоб вона дотикалася до однієї з червоних монет. Тепер, тримаючи червоні монети нерухомо, вона котить синю так, щоб та залишалася весь час прилеглою щонайменше до однієї з червоних монет і гумові краї не ковзали. Після повного обходу навколо групи з трьох червоних монет синя монета повертається у вихідну точку; скільки обертів вона зробила навколо себе? (A) 3 (B) 1 (C) π\pi (D) 3π4\frac{3 \pi}{4} (E) 92\frac{9}{2}.
10–11 класиКола, що дотикаються
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-005

Чотирикутник із діаметральними колами

Кожна сторона опуклого чотирикутника ABCDABCD є діаметром кола. Усі чотири кола проходять через одну й ту саму точку OO, відмінну від вершин чотирикутника, і жодні два кола не мають спільних точок, крім згаданих. Доведіть, що ABCDABCD — ромб.
10 класЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-049

Дотичні вписані кола на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=23AB = 23, BC=24BC = 24 і CA=27CA = 27. Нехай DD — точка на відрізку ACAC така, що вписані кола трикутників BADBAD і BCDBCD дотикаються. Знайдіть відношення CD/DACD / DA.
10–11 класиДотична кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.