Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

140 задач
КомбінаторикаКонструкція через періодичність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-009

Досяжність цілих чисел квадратичними стрибками

Коник стрибає вздовж множини Z\mathbb{Z} цілих чисел. Він стартує з початку координат, і для кожного стрибка він може вирішувати, стрибати ліворуч чи праворуч. Для кожного n∈N0n \in \mathbb{N}_0 довжина nn-го стрибка дорівнює n2n^2. Доведіть або спростуйте, що для кожного k∈Zk \in \mathbb{Z} коник може потрапити в kk, починаючи з початку координат.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-002

Цілі n з циклічною послідовністю дійсних чисел

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, для яких існують дійсні числа a1,a2,…,an+2a_1, a_2, \ldots, a_{n+2} такі, що an+1=a1a_{n+1} = a_1, an+2=a2a_{n+2} = a_2 і aiai+1+1=ai+2a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2} при всіх i=1,n‾i = \overline{1, n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-002

Заповнення дошки n × n літерами І, М, О

Знайдіть усі натуральні nn, для яких у кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n можна помістити одну з літер — І, М або О — так, що: - у кожному рядку та в кожному стовпчику буде розташована рівно третина літер І, рівно третина літер М та рівно третина літер О; - у кожній діагоналі, кількість клітинок якої ділиться на три, буде розташована рівно третина літер І, рівно третина літер М та рівно третина літер О. Зауваження. Якщо рядки та стовпчики таблиці n×nn \times n занумеровано числами від 11 до nn природним чином, то кожній клітинці відповідає пара натуральних чисел (i,j)(i, j), для яких 1⩽i, j⩽n1 \leqslant i,\ j \leqslant n. При n>1n > 1 таблиця має 4n−24n - 2 діагоналі двох типів. Діагональ першого типу складається з усіх клітинок (i,j)(i, j), для яких i+ji + j є константою, а діагональ другого типу — з усіх клітинок (i,j)(i, j), для яких i−ji - j є константою.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-009

Квадрат зі збалансованими рядками, стовпцями й діагоналями

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких клітинки таблиці n×nn \times n можна заповнити так, щоб виконувалися такі властивості: - кожна клітинка може бути однією з II, MM і OO; - у кожному рядку та в кожному стовпці літери II, MM і OO трапляються однакову кількість разів; і - у будь-якій діагоналі, кількість клітинок якої кратна трьом, літери II, MM і OO трапляються однакову кількість разів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-001

Послідовність, взаємно прості лише сусідні члени

Чи існує нескінченна послідовність натуральних чисел a1, a2, a3, …a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots, така що ama_m та ana_n — взаємно прості тоді і лише тоді, коли ∣m−n∣=1|m-n| = 1?
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-004

Сума попарних добутків проти циклічної суми

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує додатне дійсне число CC таке, що ∑1≤i<j≤nxixj≤C(x1x2+⋯+xn−1xn+xnx1)\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j \le C (x_1 x_2 + \dots + x_{n-1} x_n + x_n x_1) для всіх додатних дійсних чисел x1,…,xnx_1, \dots, x_n.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-035

Позначення клітинок для блокування рядів простої довжини

Боб намагається створити гру для двох гравців. Він вирішив, що гра відбуватиметься на дошці з n×mn \times m клітинок. Перший гравець позначає не більше ніж xx клітинок на дошці. Потім другий гравець намагається знайти pp клітинок підряд, по горизонталі, вертикалі чи діагоналі, які не були позначені першим гравцем. Другий гравець виграє, якщо він зможе знайти такі клітинки, а перший гравець виграє, якщо другий гравець не знайде таких клітинок до заходу сонця. Аліса стверджує, що якщо pp — просте число, більше за 3, і x=⌊mnp⌋x = \lfloor \frac{mn}{p} \rfloor, то перший гравець завжди може виграти, позначивши відповідні клітинки. Доведіть, що Аліса має рацію.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-004

Знакова сума квадратів у проміжку

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо суми Sn=∑m=0n(−1)jmm2,S_n = \sum_{m=0}^{n} (-1)^{j_m} m^2, де jm∈{0,1}j_m \in \{0, 1\}. Доведіть, що завжди можна вибрати числа jmj_m так, щоб 0≤Sn≤40 \le S_n \le 4.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-006

Смугасті числа, що діляться на n

Назвемо натуральне число смугастим, якщо будь-які дві сусідні цифри у його десятковому записі мають різну парність. Знайдіть усі натуральні nn, для кожного з яких знайдеться смугасте число, що ділиться без остачі на nn.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Балтійський шляхBW-1995-013

Розмітка непарного многокутника з рівними сумами на сторонах

Дано многокутник з 2n+12n+1 вершинами. Покажіть, що можна позначити вершини і середини сторін многокутника, використавши всі числа 1,2,…,4n+21, 2, \ldots, 4n+2, так, щоб суми трьох чисел, приписаних кожній стороні, були однаковими.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-014

Покриття послідовностей трійками

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо трійки (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1), (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2), …\dots, (xn,yn,zn)(x_n, y_n, z_n), які складаються з цілих чисел 1,2,…,1001, 2, \dots, 100 і задовольняють таку умову: для всіх нескінченних послідовностей a1,a2,…a_1, a_2, \dots, які складаються з цілих чисел 1,2,…,1001, 2, \dots, 100, існують натуральне число ii і ціле число jj з 1≤j≤n1 \le j \le n такі, що (ai,ai+1,ai+2)=(xj,yj,zj)(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}) = (x_j, y_j, z_j). Знайдіть найменше можливе значення nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-007

Найдовший гарантований паліндром у бінарному рядку

Знайдіть найбільше ціле число kk таке, що будь-який рядок із 20252025 літер, який складається лише з літер AA та BB, містить паліндромний підрядок довжини kk або більше. Паліндромний підрядок — це рядок із послідовних літер, який читається однаково вперед і назад.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-034

Підмножина з обмеженнями на відстань і парність

Нехай SS — підмножина множини {1,2,3,…,2024}\{1, 2, 3, \dots, 2024\}, для якої виконуються такі дві умови: Якщо xx і yy — різні елементи множини SS, то ∣x−y∣>2|x - y| > 2. Якщо xx і yy — різні непарні елементи множини SS, то ∣x−y∣>6|x - y| > 6. Яка найбільша можлива кількість елементів множини SS? (A) 436 (B) 506 (C) 608 (D) 654 (E) 675
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-022

Прямокутники з непарною кількістю червоних клітинок

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна пофарбувати деякі клітинки нескінченної сітки з одиничних квадратів у червоний колір так, щоб кожен прямокутник, що складається рівно з nn клітинок (і сторони якого лежать на лініях сітки), містив непарну кількість червоних клітинок.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбіркові тести на IMOTST-2023-028

Сітка з нульовими сумами прямокутників

Нехай mm та nn — фіксовані додатні цілі числа. Цвєти та Фрейя грають у гру на нескінченній сітці з одиничних квадратних клітинок. Цвєти таємно записала дійсне число в кожну клітинку так, що сума чисел у кожному прямокутнику розміром m×nm \times n або n×mn \times m дорівнює нулю. Фрейя хоче дізнатися всі ці числа. По черзі Фрейя запитує Цвєти про якусь клітинку в сітці, і Цвєти правдиво розкриває число, записане в ній. Фрейя виграє, якщо в будь-який момент вона може одночасно вивести число, записане в кожній клітинці всієї нескінченної сітки. (Якщо цього ніколи не відбувається, Фрейя програє гру, а Цвєти виграє.) Виразіть через mm та nn найменшу кількість запитань, які Фрейя повинна поставити, щоб виграти, або покажіть, що скінченної кількості запитань недостатньо.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-004

Розфарбування областей, утворених прямими

Нехай nn — натуральне число. Множина з nn різних прямих розбиває площину на різні (можливо, необмежені) області. Множина прямих називається «гарною», якщо жодні три прямі не перетинаються в одній точці. «Розфарбуванням» називається призначення кожній області двох кольорів так, що перший колір — з множини {A1,A2}\{A_{1}, A_{2}\}, а другий колір — з множини {B1,B2,B3}\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\}. Гарна множина прямих називається «розфарбовуваною», якщо існує розфарбування таке, що 1. жоден колір не призначено двом областям, які мають спільне ребро; 2. для кожних i∈{1,2}i \in \{1,2\} і j∈{1,2,3}j \in \{1,2,3\} існує принаймні одна область, якій призначено обидва кольори AiA_{i} і BjB_{j}. Визначте всі nn, для яких кожна гарна конфігурація з nn прямих є розфарбовуваною.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-034

Суми на послідовних аркушах по колу

Нехай nn — ціле число таке, що n⩾3n \geqslant 3. Люсі розкладає nn білих аркушів по колу, а потім пише дійсне число на кожному аркуші. Знайти всі цілі числа kk такі, що 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, для яких справджується така властивість: якщо хоча б одне з чисел, написаних Люсі, відмінне від нуля, то існує kk послідовних аркушів, сума чисел на яких відмінна від нуля.
8–10 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-043

Найбільше не $n$-розфарбовне коло

Нехай mm і nn — цілі числа такі, що m>n⩾3m > n \geqslant 3. Моргана розташувала mm фішок по колу і збирається пофарбувати їх, використовуючи nn різних кольорів. Вона хоче, щоб серед будь-яких n+1n+1 послідовних фішок завжди була принаймні одна фішка кожного з nn кольорів. Якщо вона може цього досягти, то кажуть, що ціле число mm є nn-розфарбовним. Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾3n \geqslant 3 існує лише скінченна ненульова кількість цілих чисел mm, які не є nn-розфарбовними, і знайдіть найбільше ціле число mm, яке не є nn-розфарбовним.
8–10 класиКонструкція через періодичність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-001

Кратні 2022 з цифр 0 та 7

Визначте, для яких натуральних чисел nn існує натуральне число AA таке, що - AA кратне 2022, - десятковий запис числа AA містить лише цифри 0 і 7, - десятковий запис числа AA містить цифру 7 рівно nn разів.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-005

Перерозподіл монет за круглим столом

Навколо круглого столу сидять n≥3n \ge 3 гравців. Ведучий роздає nn монет гравцям так, що не кожен отримує рівно одну монету. Кожен гравець бачить кількість монет у кожного іншого гравця. Кожні 10 секунд ведучий дзвонить у дзвінок. У цей момент кожен гравець дивиться, скільки монет мають його двоє сусідів. Потім вони всі одночасно роблять таке: Якщо гравець має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець віддає рівно одну монету. Він віддає цю монету сусідові з найменшою кількістю монет. Якщо обидва його сусіди мають однакову кількість монет, він віддає монету сусідові ліворуч. Якщо гравець не має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець нічого не робить і чекає наступного раунду. Гра закінчується, якщо кожен має рівно одну монету. a) Для кожного n≥3n \ge 3 знайдіть початковий розподіл монет так, щоб гра ніколи не закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра не закінчується). b) Для кожного n≥4n \ge 4 знайдіть початковий розподіл монет на початку гри так, щоб гра закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра закінчується).
10–11 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-016

Ряди монет з умовами віддаленості

Розглянемо ряди з 20202020 монет. Кожна монета має номінал 11, 22 або 33. Між двома монетами номіналом 11 є принаймні одна інша монета. Між двома монетами номіналом 22 є принаймні дві інші монети. Між двома монетами номіналом 33 є принаймні три інші монети. Скільки існує різних рядів з 20202020 монет, які задовольняють ці умови?
10–11 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-009

Розфарбування сітки 6×6 з обертанням

Ми хочемо розфарбувати 36 клітинок дошки 6×66 \times 6. Кожна клітинка повинна бути пофарбована в білий, сірий або чорний колір, і повинна виконуватися така вимога: Три сусідні клітинки в одному рядку або стовпці завжди повинні мати три різні кольори. Ми говоримо, що два розфарбування є справді різними, якщо одне не можна отримати з іншого обертанням дошки. Нижче зображено три розфарбування, які відповідають вимозі. Перше і друге розфарбування є справді різними, але третє після обертання збігається з другим. Скільки справді різних розфарбувань відповідають вимозі (включаючи два з малюнка)?
7–9 класиКонструкція через періодичність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-141

Перестановки без паліндромних підрядків

Скільки існує різних перестановок букв слова REDDER, які не містять паліндромного підрядка довжини принаймні два? (Підрядок — це неперервний блок букв, що є частиною рядка. Рядок є паліндромним, якщо він збігається з собою при читанні у зворотному порядку.)
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-110

Двійкові послідовності з неоднозначним образом

Розглянемо послідовності aa вигляду a=(a1,a2,…,a20)a = (a_1, a_2, \ldots, a_{20}) такі, що кожен член aia_i дорівнює або 00, або 11. Для кожної такої послідовності aa можна побудувати послідовність b=(b1,b2,…,b20)b = (b_1, b_2, \ldots, b_{20}), де bi={ai+ai+1i=1ai−1+ai+ai+11<i<20ai−1+aii=20b_i = \begin{cases} a_i + a_{i+1} & i = 1 \\ a_{i-1} + a_i + a_{i+1} & 1 < i < 20 \\ a_{i-1} + a_i & i = 20 \end{cases} Скільки існує послідовностей bb, які можна отримати з більш ніж однієї різної послідовності aa?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2017-030

Розфарбування цілих чисел із забороненими проміжками

Четвірку (a,b,c,d)(a, b, c, d) натуральних чисел з a≤b≤c≤da \leq b \leq c \leq d називаємо хорошою, якщо кожне ціле число можна пофарбувати в червоний, синій, зелений або фіолетовий колір так, що - з будь-яких aa послідовних чисел принаймні одне червоне; - з будь-яких bb послідовних чисел принаймні одне синє; - з будь-яких cc послідовних чисел принаймні одне зелене; - з будь-яких dd послідовних чисел принаймні одне фіолетове. Знайдіть усі хороші четвірки з a=2a=2.
10–11 класиКонструкція через періодичність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.