Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
КомбінаторикаНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-001

Ряд монет двох типів і перші n монет

Ощадбанк Осло випускає монети двох типів: алюмінієві (їх позначають як AA) та бронзові (їх позначають як BB). У Михайлини є nn алюмінієвих та nn бронзових монет, які деяким чином викладено в рядок. Ланцюжком назвемо будь-яку послідовну групу монет одного типу. Для фіксованого натурального числа k⩽2nk \leqslant 2n Михайлина повторює таку операцію: вона вибирає найдовший ланцюжок, що містить kk-ту монету зліва, і переміщує всі монети із цього ланцюжка до лівого краю рядка. Наприклад, процес для n=k=4n = k = 4, починаючи з рядка AABBBABA, мав би вигляд AABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA. Знайдіть усі такі пари натуральних чисел (n,k)(n, k) з 1⩽k⩽2n1 \leqslant k \leqslant 2n, що для довільного можливого початкового розташування монет у рядок, у деякий момент перші nn монет будуть одного типу.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-007

Цілочислова послідовність із квадратичним рекурентним співвідношенням

Знайдіть усі послідовності (a1,a2,...)(a_1, a_2, ...) натуральних чисел, що задовольняють an+12=1+(n+2021)ana_{n+1}^2 = 1 + (n + 2021)a_n для всіх n≥1n \ge 1.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-030

Розбиття чисел з відрізка на частини з близькими сумами

Джон має смужку паперу, де в ряд написано nn дійсних чисел ai∈[0,1]a_i \in [0, 1], для всіх i∈{1,…,n}i \in \{1, \dots, n\}. Доведіть, що для будь-якого заданого k<nk < n він може розрізати смужку паперу на kk частин, між сусідніми числами, так, щоб суми чисел на кожній частині відрізнялися одна від одної не більше ніж на 1.
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-003

Таблиця n × n з невід’ємними туровими сумами

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. В Елвіна є таблиця розміром n×nn \times n, що заповнена дійсними числами (у кожній клітинці рівно одне число). Назвемо туровою множину з nn клітинок, що розташовані в nn різних рядках та в nn різних стовпцях. Припустимо, що сума чисел у клітинках довільної турової множини невід’ємна. За один хід Елвін вибирає рядок і стовпець, а також дійсне число aa. Далі він додає до кожного числа у вибраному рядку число aa, віднімає від кожного числа вибраного стовпця число aa (тобто число, що розташоване на перетині рядка та стовпця, не змінюється). Доведіть, що за скінченну кількість ходів Елвін може досягти того, щоб усі числа в таблиці стали невід’ємними.
10–11 класиДвочасткові графи
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-005

Гра з 99 стільцями по колу і найбільше k

На вечірку прийшли 9999 гостей. Двоє ведучих — Ганна та Боб, що не входять до складу гостей, грають у таку гру. По колу розставлено 9999 стільців, і спочатку гості ходять навколо них. Ганна та Боб роблять ходи по черзі, кожним ходом ведучий вибирає гостя, що стоїть, і вказує йому на вільний стілець cc, на який той має сісти. Якщо при цьому принаймні один зі стільців, що є сусіднім до стільця cc, зайнятий, то гість, котрий на ньому сидить, має підвестися. Якщо зайнято обидва стільці, то ведучий вибирає одного з двох гостей, хто має підвестися. Ганна, яка розпочинає гру першою, прагне, щоб після її деякого ходу були зайнятими принаймні kk стільців. При якому найбільшому значенні kk, незалежно від того, як гратиме Боб, вона зможе цього досягти?
10–11 класиНапівінваріанти
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-001

Гра з відніманням квадратів до нуля на дошці

Аня та Боб грають у таку гру. Спочатку Аня записує на дошці натуральне число. Потім гравці ходять по черзі. Розпочинає Боб. Кожним своїм кроком він вибирає натуральне число bb і замість числа nn, що було записане на цей момент на дошці, записує число n−b2n-b^2. Кожним своїм кроком Аня вибирає натуральне число kk і замість числа nn записує на дошці число nkn^k. Боб виграє, якщо число, записане на дошці, після якогось його кроку дорівнюватиме нулеві. Чи може Аня завадити Бобу виграти?
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-010

Мінімальна кількість обмінів для хамелеонів

Нехай nn — натуральне число. Хамелеоном назвемо довільну послідовність із 3n3n літер, у якій кожна з літер aa, bb і cc трапляється рівно nn разів. Обміном назвемо транспозицію двох сусідніх літер у хамелеоні. Доведіть, що для будь-якого хамелеона XX існує хамелеон YY такий, що XX не можна перетворити на YY менш ніж за 3n2/23n^{2}/2 обмінів.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-021

Вирівнювання рахунків телефонними дзвінками

Мобільний оператор має nn клієнтів і проводить таку рекламну кампанію. На початку він зараховує 11 € на рахунок кожного клієнта. Коли двоє людей, які мають на рахунках aa € і bb €, спілкуються телефоном, оператор прирівнює обидва рахунки до (a+b)(a + b) €. Виявляється, що після h(m)h(m) телефонних дзвінків рахунки всіх nn клієнтів стали дорівнювати mm €. Доведіть, що h(m)≤12nlog⁡2mh(m) \le \frac{1}{2} n \log_2 m.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-013

Цілочисельні трикутники з однаковою площею

Розглянемо трикутники, кожна вершина яких має цілі координати. Такий трикутник можна легально перетворити, пересунувши одну вершину паралельно протилежній стороні в іншу точку з цілими координатами. Доведіть, що якщо два трикутники з цілими координатами мають однакову площу, то існує послідовність легальних перетворень, яка переводить один в інший.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-006

Скінченність послідовності перетворень AB-дерев

У тривимірному евклідовому просторі є множина з nn точок така, що жодні 4 з них не лежать в одній площині. Цю множину розбили на дві підмножини AA та BB. ABAB-деревом називають таку конфігурацію з n−1n-1 відрізка, кожний з яких має кінці в різних підмножинах AA та BB так, що відрізки не формують жодної замкненої ламаної. ABAB-дерево перетворюють на інше ABAB-дерево таким чином: вибирають довільні три різні відрізки A1B1A_1B_1, B1A2B_1A_2 та A2B2A_2B_2, де A1∈AA_1 \in A та A1B1+A2B2>A1B2+A2B1A_1B_1 + A_2B_2 > A_1B_2 + A_2B_1 і міняють сегмент A1B1A_1B_1 на A1B2A_1B_2. Доведіть для довільного заданого ABAB-дерева, що будь-яка послідовність припустимих перетворень дійде кінця, тобто після скінченної кількості кроків неможливо буде зробити жодного припустимого перетворення.
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-006

Цілочисельна послідовність з різними сумами і обмеженими відхиленнями

Послідовність цілих чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots задовольняє такі умови: 1⩽aj⩽2015для всіх j⩾1;1 \leqslant a_j \leqslant 2015 \quad \text{для всіх } j \geqslant 1; k+ak≠l+alдля всіх 1⩽k<l.k + a_k \ne l + a_l \quad \text{для всіх } 1 \leqslant k < l. Доведіть, що існують два натуральних числа bb та NN таких, що ∣∑j=m+1n(aj−b)∣⩽10072\left|\displaystyle\sum_{j=m+1}^{n} (a_j - b)\right| \leqslant 1007^2 для всіх цілих чисел mm і nn, що задовольняють умову n>m⩾Nn > m \geqslant N.
10–11 класиОрієнтовані графи
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-005

Негарні розміщення камінців, що стають гарними від одного камінця

Нехай nn — натуральне число. Маємо nn коробок, кожна з яких містить невід'ємну кількість камінців. На кожному кроці ми можемо взяти два камінці з довільної коробки, один із них викинути, а другий покласти в іншу коробку на свій розсуд. Початкове розміщення камінців назвемо гарним, якщо з нього за скінченну кількість кроків (можливо за 00 кроків) можна отримати розміщення камінців без порожніх коробок. Знайдіть усі початкові розміщення камінців, які не є гарними, а при додаванні ще одного камінця до довільної коробки стають гарними.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-007

Перемикання ребер у плоскому многокутнику

Нехай MM — множина з n⩾4n \geqslant 4 точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Спочатку ці точки сполучено nn відрізками так, що кожна точка з MM є кінцем рівно двох відрізків. Далі на кожному кроці можна вибрати два відрізки ABAB і CDCD, що мають спільну внутрішню точку, і замінити їх відрізками ACAC і BDBD, якщо жодного з них на цей момент немає. Доведіть, що неможливо виконати n3/4n^{3} / 4 або більше таких ходів.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-033

Видалення ребер у графі з обмеженим степенем

Степінь кожної вершини графа GG не перевищує 100100. Видаляємо ребра цього графа. За один крок можна видалити довільну множину ребер без спільних кінців, яка є максимальною (у тому сенсі, що якщо до цієї множини додати будь-яке із ребер, що залишилися, то з’являться два ребра зі спільним кінцем). Доведіть, що всі ребра буде видалено не більш ніж за 199199 кроків.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-007

Скінченний процес із сусідніми парами чисел

У ряд записано декілька натуральних чисел. Послідовно Аліса вибирає два сусідні числа xx і yy такі, що x>yx > y і xx стоїть ліворуч від yy, і замінює пару (x,y)(x, y) або на (y+1,x)(y+1, x), або на (x−1,x)(x-1, x). Доведіть, що вона може виконати лише скінченну кількість таких ітерацій.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-010

Мінімальна кількість монет для гри з коробками по колу

Гравці AA і BB грають у гру з N≥2012N \geq 2012 монетами та 20122012 коробками, розташованими по колу. Спочатку AA розкладає монети по коробках так, щоб у кожній коробці була принаймні 11 монета. Потім вони роблять ходи в порядку B,A,B,A,…B, A, B, A, \ldots за такими правилами: - Кожним своїм ходом BB перекладає по 11 монеті з кожної коробки до сусідньої коробки. - Кожним своїм ходом AA вибирає кілька монет, які не були задіяні в попередньому ході BB і лежать у різних коробках. Кожну вибрану монету вона перекладає до сусідньої коробки. Мета гравчині AA — забезпечити принаймні по 11 монеті в кожній коробці після кожного її ходу, незалежно від того, як грає BB і скільки ходів буде зроблено. Знайдіть найменше NN, за якого вона може досягти успіху.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-007

Гра з перевертанням блоків карток

На довгому столі паралельно лежать 20092009 карток, кожна з яких має золоту сторону й чорну сторону. Спочатку всі картки лежать золотими сторонами догори. Двоє гравців, які стоять з того самого довгого боку столу, грають по черзі. Кожен хід полягає у виборі блока з 5050 послідовних карток, найлівіша з яких показує золото, і перевертанні їх усіх, так що ті, які показували золото, тепер показують чорний бік, і навпаки. Останній гравець, який може зробити дозволений хід, перемагає. a. Чи обов'язково гра закінчиться? b. Чи існує виграшна стратегія для гравця, який починає?
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-013

Функція розбиття і подвоєння цифр

Для будь-якого цілого n≥2n \geq 2 обчислюємо ціле число h(n)h(n), застосовуючи таку процедуру до його десяткового запису. Нехай rr — найправіша цифра числа nn. (1) Якщо r=0r=0, то десятковий запис числа h(n)h(n) одержується з десяткового запису числа nn вилученням цієї найправішої цифри 00. (2) Якщо 1≤r≤91 \leq r \leq 9, розбиваємо десятковий запис числа nn на максимальну праву частину RR, що складається лише з цифр, не менших за rr, і на ліву частину LL, яка або порожня, або закінчується цифрою, строго меншою за rr. Тоді десятковий запис числа h(n)h(n) складається з десяткового запису LL, за яким ідуть дві копії десяткового запису R−1R-1. Наприклад, для числа n=17,151,345,543n=17,151,345,543 матимемо L=17,151L=17,151, R=345,543R=345,543 і h(n)=17,151,345,542,345,542h(n)=17,151,345,542,345,542. Доведіть, що, починаючи з довільного цілого n≥2n \geq 2, ітероване застосування hh дає ціле число 11 за скінченну кількість кроків.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-003

Заміна чисел на суму та добуток

На дошці написано цілі числа 1,2,3,41, 2, 3, 4 і 55. Дозволено стерти два цілі числа aa і bb та замінити їх на a+ba+b і aba b. Чи можливо, повторюючи цю процедуру, досягти ситуації, коли три з п’яти цілих чисел на дошці дорівнюють 20092009?
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-012

Ітероване розбиття з мінімізацією різниці сум

Нехай A0=(a1,…,an)A_{0} = (a_{1}, \ldots, a_{n}) — скінченна послідовність дійсних чисел. Для кожного k≥0k \geq 0 з послідовності Ak=(x1,…,xn)A_{k} = (x_{1}, \ldots, x_{n}) будуємо нову послідовність Ak+1A_{k+1} таким чином. 1. Вибираємо розбиття {1,…,n}=I∪J\{1, \ldots, n\} = I \cup J, де II і JJ — дві множини, що не перетинаються, так, щоб вираз ∣∑i∈Ixi−∑j∈Jxj∣\left|\sum_{i \in I} x_{i} - \sum_{j \in J} x_{j}\right| набував найменшого можливого значення. (Дозволяємо множинам II або JJ бути порожніми; у цьому випадку відповідна сума дорівнює 00.) Якщо таких розбиттів декілька, вибираємо довільне з них. 2. Покладаємо Ak+1=(y1,…,yn)A_{k+1} = (y_{1}, \ldots, y_{n}), де yi=xi+1y_{i} = x_{i} + 1, якщо i∈Ii \in I, і yi=xi−1y_{i} = x_{i} - 1, якщо i∈Ji \in J. Доведіть, що для деякого kk послідовність AkA_{k} містить елемент xx такий, що ∣x∣≥n/2|x| \geq n / 2.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-015

Матриці перестановок через перемикання прямокутників

Торт має форму квадрата n×nn \times n, складеного з n2n^2 одиничних квадратиків. Полуниці лежать на деяких одиничних квадратиках так, що кожен рядок і кожен стовпчик містить рівно одну полуницю; назвемо таке розташування A\mathcal{A}. Нехай B\mathcal{B} — інше таке розташування. Припустимо, що кожен клітчастий прямокутник з однією вершиною у верхньому лівому куті торта містить не менше полуниць розташування B\mathcal{B}, ніж розташування A\mathcal{A}. Доведіть, що розташування B\mathcal{B} можна отримати з A\mathcal{A}, виконавши кілька перемикань, означених так: Перемикання полягає у виборі клітчастого прямокутника лише з двома полуницями, розташованими в його верхньому правому куті та нижньому лівому куті, і переміщенні цих двох полуниць до двох інших кутів цього прямокутника.
10–11 класиНапівінваріанти
Балтійський шляхBW-2005-001

Послідовність сум степенів цифр

Нехай a0a_{0} — натуральне число. Визначимо послідовність ana_{n}, n≥0n \geq 0, таким чином: якщо an=∑i=0jci10ia_{n} = \sum_{i=0}^{j} c_{i} 10^{i} де cic_{i} — цілі числа, для яких 0≤ci≤90 \leq c_{i} \leq 9, то an+1=c02005+c12005+⋯+cj2005.a_{n+1} = c_{0}^{2005} + c_{1}^{2005} + \cdots + c_{j}^{2005}. Чи можна вибрати a0a_{0} так, щоб усі члени послідовності були різними?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2004-003

Усереднення послідовності з циклічними індексами

Нехай x11,x21,…,xn1x_{11}, x_{21}, \ldots, x_{n1}, n>2n>2, — послідовність цілих чисел. Припустимо, що не всі числа xi1x_{i1} рівні. Якщо числа x1k,x2k,…,xnkx_{1k}, x_{2k}, \ldots, x_{nk} вже визначено, покладемо xi,k+1=12(xik+xi+1,k),i=1,2,…,n−1xn,k+1=12(xnk+x1k)\begin{aligned} & x_{i, k+1}=\frac{1}{2}\left(x_{ik}+x_{i+1, k}\right), \quad i=1,2, \ldots, n-1 \\ & x_{n, k+1}=\frac{1}{2}\left(x_{nk}+x_{1k}\right) \end{aligned} Доведіть, що при непарному nn число xjkx_{jk} не є цілим при деяких j,kj, k. Чи справджується той самий висновок при парному nn?
10–11 класиНапівінваріанти
Балтійський шляхBW-1995-011

Вирівнювання кількості кульок у ящиках

Нехай маємо 9595 ящиків і 1919 кульок, розкладених по цих ящиках довільним чином. Беремо щоразу шість нових кульок і кладемо їх у шість із ящиків, по одній кульці в кожен із шести. Чи можемо ми, повторивши цей процес потрібну кількість разів, досягти ситуації, в якій кожен із 9595 ящиків міститиме однакову кількість кульок?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Балтійський шляхBW-1993-010

Погоня на поділеному рівносторонньому трикутнику

Рівносторонній трикутник поділено на n2n^{2} рівних рівносторонніх трикутників. Павук стоїть в одній з вершин, муха — в іншій. По черзі кожен з них переходить до сусідньої вершини. Доведіть, що павук завжди може спіймати муху.
10–11 класиКласичні ігри

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.