Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

140 задач
КомбінаторикаОстача від ділення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2019-006

Розфарбування дошки з обмеженням на парність сусідів

Спочатку всі клітинки дошки 8×88 \times 8 білі. Починаємо з того, що вибираємо одну з клітинок і фарбуємо її сірою. Після цього можна фарбувати сірим додаткові клітинки по одній, але пофарбувати клітинку сірою можна лише тоді, коли в цей момент у неї рівно 1 або 3 сірих сусіди (сусід — клітинка зі спільною стороною). Наприклад, наведена нижче конфігурація (на меншій дошці 3×43 \times 4) показує ситуацію, коли сірими вже пофарбовано шість клітинок. Клітинки, які можна пофарбувати наступним кроком, позначено крапкою. Чи можна пофарбувати сірим усі клітинки? Обґрунтуйте відповідь.
10–11 класиІнші інваріанти
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-005

Гра з картками на подільність різниці сум на 3

Томас і Нільс грають у гру. У них є кілька карток, пронумерованих 11, 22, 33 і так далі. На початку всі картки лежать на столі горілиць. Вони ходять по черзі. Гравець, чия черга ходити, вибирає картку, яка ще лежить на столі, і вирішує або залишити її собі, або віддати іншому гравцеві. Коли всі картки розібрано, кожен з них обчислює суму чисел на своїх картках. Якщо різниця між цими двома сумами ділиться на 33, то перемагає Томас. Інакше перемагає Нільс. a. Припустімо, що вони грають із 20182018 картками (пронумерованими від 11 до 20182018) і що починає Томас. Доведіть, що Нільс може грати так, щоб напевно виграти гру. b. Припустімо, що вони грають із 20202020 картками (пронумерованими від 11 до 20202020) і що починає Нільс. Хто з двох гравців може грати так, щоб напевно виграти?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-107

Виграшні позиції в грі зі степенями двійки

Два гравці грають у гру, починаючи з купки з NN фішок. Кожного свого ходу гравець повинен забрати з купки 2n2^{n} фішок для деякого невід'ємного цілого числа nn. Якщо гравець не може зробити хід, він програє. Скільки існує NN від 1 до 2019 (включно), для яких перший гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-013

Лицарі і брехуни за круглим столом

На острові Лицарів і Брехунів Лицарі говорять правду, крім випадків, коли вони помиляються, а Брехуни завжди брешуть. Під час зустрічі 40 остров'ян сідають навколо великого круглого столу і кожен каже: «Я сиджу поруч з Лицарем і з Брехуном». Відомо, що 3 присутні Лицарі помиляються. Скільки Лицарів на зустрічі?
10–11 класиРозбиття на випадки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-030

Подвоєння і переставляння цифр

У певній грі на дошці написано число 11. У будь-який момент дозволений хід полягає в заміні написаного на дошці числа його подвоєним значенням або іншим числом, що складається з тих самих цифр. Наприклад, якщо на дошці написано число 137137, дозволений хід полягає в заміні його на 137⋅2=274137 \cdot 2 = 274 або на 173173, 317317, 371371, 713713 або 731731. З'ясуйте, чи можна після скінченної кількості операцій отримати такі числа: а) 10310^{3}. б) 10910^{9}. в) 98765432109876543210.
10–11 класиОстача від ділення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-007

Цифра одиниць після повторюваних операцій

На дошці написано числа 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. Далі виконують 2017 операцій так: вибирають два числа aa і bb, стирають їх і записують замість них a+b+2aba + b + 2ab. Зрештою на дошці залишається лише одне ціле число. Яких значень може набувати його цифра одиниць?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-128

Таблиці із сумами рядків і стовпців, кратними трьом

Розглянемо таблицю 2×32 \times 3, кожен елемент якої є одним із чисел 00, 11 і 22. Скільки існує таких таблиць, у яких сума чисел у кожному рядку та в кожному стовпці кратна 33? Один приклад такої таблиці наведено нижче. [120210]\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right]
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-107

Ймовірність зупинки на монеті в 10 центів

Крісп Ол, баскетболіст, розкладає монети в 10 і в 5 центів на числовій прямій. Крісп кладе монету в 10 центів на кожне додатне кратне 1010, а монету в 5 центів — на кожне кратне 55, яке не є кратним 1010. Потім Крісп стартує з 00. Щосекунди він з імовірністю 23\frac{2}{3} стрибає зі свого поточного положення xx до x+3x+3, а з імовірністю 13\frac{1}{3} стрибає зі свого поточного положення xx до x+7x+7. Коли Крісп стрибає на монету в 10 або в 5 центів, він припиняє стрибати. Яка ймовірність того, що Крісп зупиниться на монеті в 10 центів?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-063

Найбільша кількість банок з однаковою кількістю монет

На столі в ряд стоїть 2017 банок, спочатку порожніх. Щодня добрий чоловік вибирає десять банок підряд і кладе по одній монеті в кожну з цих десяти банок. Пізніше жабеня Кельвін повертається і бачить, що NN банок містять однакову додатну цілу кількість монет (тобто існує ціле число d>0d>0 таке, що рівно NN банок мають рівно по dd монет). Яке найбільше можливе значення NN?
10–11 класиОстача від ділення
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2015-001

Довжина циклу за модулем 3 у кубічному графі

У країні є 100 міст. Кожне з цих міст з'єднане рівно з трьома іншими містами прямими дорогами в обох напрямках. Доведіть, що існує місто AA, з якого можна подорожувати від міста до міста і повернутися в AA, ніколи не проходячи двічі однією і тією ж дорогою, і використовуючи загальну кількість доріг, яка не ділиться на 3 (не вимагається, щоб усі міста країни були відвідані під час цієї подорожі).
10–11 класиШляхи на графах
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-044

Зміна знаків у вершинах правильного многокутника

На кожній вершині правильного nn-кутника поставлено знак ++ або −-. На кожному кроці дозволяється змінити знаки трьох послідовних вершин nn-кутника. Для яких nn за будь-якої початкової конфігурації за скінченну кількість кроків можна отримати ++ в усіх вершинах?
9–11 класиПарність і непарність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-001

Гра зі скріпками з відніманням трьох і діленням навпіл

Камілла має коробку, що містить 2015 скріпок. Вона бере додатну кількість nn скріпок і кладе їх на стіл Федеріки, викликаючи її на таку гру. Федеріка має у своєму розпорядженні два типи ходів: вона може прибрати 3 скріпки з купки, що лежить на її столі (якщо купка містить принаймні 3 скріпки), або прибрати половину присутніх скріпок (якщо купка містить парну кількість). Федеріка виграє, якщо послідовністю ходів описаних вище типів зможе прибрати всі скріпки зі свого столу. a) Для скількох з 2015 можливих значень nn Федеріка може виграти? b) Дівчата змінюють правила гри і вирішують присуджувати перемогу Федеріці у випадку, якщо їй вдасться залишити на столі єдину скріпку. Для скількох з 2015 значень nn Федеріка може виграти за новими правилами?
9–11 класиОстача від ділення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-057

Перехід між двома конфігураціями чисел на дошці 3×3

Дано квадрат 3×33 \times 3 з числами, записаними в кожній клітинці 1×11 \times 1. Дозволені ходи — вибрати рядок, стовпець або діагональ і додати або відняти 1 від трьох чисел, що стоять на ній. Доведіть, що неможливо почати з чисел у першій конфігурації (вгорі) і дійти до чисел у другій конфігурації (внизу) після кількох операцій. | 0 | 1 | 0 | |:--- |:--- |:--- | | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | |:--- |:--- |:--- | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 |
8–9 класиОстача від ділення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-034

Випадкове блукання по вершинах п'ятикутника

Карл стоїть у вершині правильного п'ятикутника. Щохвилини він навмання вибирає сусідню вершину (кожну з імовірністю 12\frac{1}{2}) і йде до неї вздовж ребра. Яка ймовірність того, що через 10 хвилин він опиниться там, звідки починав?
10–11 класиКомбінації
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-012

Досяжність чисел дозволеними операціями

Даніел вигадав гру, в якій дозволено виконувати лише такі операції: - додати чотири одиниці; - помножити на чотири; - піднести до квадрата. Починаючи з певного числа, Даніел пропонує другові отримати інше число, послідовно виконуючи будь-яку з дозволених операцій. Наприклад, Даніел запропонував Алану отримати число 152 з числа 3. Алан зумів виграти, виконавши такі операції: a) Даніел запропонував Алану отримати число 340 з числа 3. Алан зумів виграти у спосіб, проілюстрований нижче: 3⟶9⟶81⟶85⟶3403 \longrightarrow 9 \longrightarrow 81 \longrightarrow 85 \longrightarrow 340 Опишіть, яку операцію використав Алан на кожному з етапів. b) Покажіть, що Алан міг би також отримати число 340, починаючи з числа 5. c) Припустімо, що Алан починає випробування з числа, яке при діленні на 4 дає остачу 1. Покажіть, що після будь-якого етапу випробування отримане число може мати лише остачу 1 або 0. d) Покажіть, що можна виграти випробування з отриманням числа 43 з числа 3. Покажіть також, що неможливо виграти його, починаючи з числа 5.
10–11 класиОстача від ділення
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-003

Досяжність чисел 1, 2 і 3 у вершинах трикутника

Числа 00, 11 і 22 записані у вершинах трикутника. Один крок полягає у збільшенні двох із трьох чисел на mm або у зменшенні одного з трьох чисел на nn. Чи можливо, щоб після кількох кроків у вершинах опинилися числа 11, 22 і 33 (у довільному порядку), якщо a) m=3m = 3, n=6n = 6; b) m=412m = 4\frac{1}{2}, n=6n = 6?
8–10 класиОстача від ділення2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-001

Солітерне перетворення на вершинах п'ятикутника

Кожній вершині правильного п'ятикутника приписано ціле число так, що сума п'яти чисел дорівнює 20112011. Хід пасьянсу полягає у відніманні цілого числа mm від чисел у двох сусідніх вершинах і додаванні 2m2m до протилежної вершини, яка не є сусідньою з жодною з перших двох вершин. (Величина mm і вибрані вершини можуть змінюватися від ходу до ходу.) Кажуть, що гру виграно у певній вершині, якщо після деякої кількості ходів ця вершина має число 20112011, а інші чотири вершини мають число 00. Доведіть, що для будь-якого вибору початкових цілих чисел існує рівно одна вершина, в якій гру можна виграти.
10–11 класиОстача від ділення
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-011

Три однакові коробки з цукерками і їх спустошення

У буфеті на кухні стоять три коробки з цукерками, у кожній — однакова кількість цукерок. Щоразу, коли Юку заходить на кухню, він бере або три цукерки з однієї коробки, або по одній цукерці з кожної коробки. Доведіть, що незалежно від того, як Юку бере цукерки, у нього завжди залишається можливість повністю спустошити всі коробки з цукерками. (Юніори.)
8–10 класиОстача від ділення
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-031

Рух трамваїв з періодичними проміжками

У координатному місті є n≥3n \ge 3 трамвайних ліній, паралельних до осі xx, таких, що кожна лінія починається в точці з координатою xx, що дорівнює 00, і закінчується в точці з координатою xx, що дорівнює nn. На кожній лінії рухається рівно один трамвай довжини 11: на першій лінії зі швидкістю 11, на другій лінії зі швидкістю 22 і т. д., аж до останньої лінії зі швидкістю nn. Коли трамвай досягає кінця своєї лінії, він миттєво починає рухатися назад, не розвертаючись. Вранці всі трамваї починають рух одночасно зі стартового положення, в якому координата xx заднього кінця трамвая дорівнює 00. Доведіть, що проєкції трамваїв на вісь xx ніколи не покривають цілком проміжок від 00 до nn.
11 класОстача від ділення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-100

Розбиття цифр на частини з рівними сумами

Назвемо 2n2n-значне десяткове число особливим, якщо його цифри можна розбити на дві множини розміру nn так, щоб суми чисел у цих двох множинах були однаковими. Нехай pnp_{n} — ймовірність того, що навмання вибране 2n2n-значне число є особливим. (У 2n2n-значних числах дозволено нулі на початку запису). a. Послідовність pnp_{n} збігається до сталої cc. Знайдіть cc. b. Нехай qn=pn−cq_{n} = p_{n} - c. Існує єдина додатна стала rr така, що qnrn\frac{q_{n}}{r^{n}} збігається до сталої dd. Знайдіть rr і dd.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-002

Редукція бінарного рядка ходами заміни

У країні Кукканья грають у такий пасьянс. Починають зі скінченного рядка з нулів та одиниць, і дозволені такі ходи: (i) викреслити дві послідовні одиниці; (ii) викреслити три послідовні нулі; (iii) якщо всередині рядка є підрядок 01, можна замінити цей підрядок на 100. Ходи (i), (ii) і (iii) треба виконувати по одному за раз послідовно. Вважається, що гравець виграв, якщо вдається звести рядок до рядка, утвореного з двох цифр або менше. (Наприклад, починаючи з 0101 можна виграти, спочатку застосувавши хід (iii) до двох останніх цифр, отримавши 01100, потім застосувавши хід (i) до двох одиниць у ньому, і нарешті хід (ii) до трьох нулів, що залишилися: так отримуємо порожній рядок.) Скільки серед усіх 1024 можливих рядків з десяти цифр таких, починаючи з яких неможливо виграти пасьянс?
10–11 класиОстача від ділення2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2006-001

Значення карт із сумою 15

Роза і Савіно грають у таку гру з неаполітанськими картами (40 карт, пронумерованих від 1 до 10 чотирьох різних мастей): спочатку вони ділять між собою всі 40 карт (по 20 кожному), потім по черзі кладуть на стіл по одній карті. Коли деякі з карт на столі мають значення, сума яких точно дорівнює 15, ці карти вилучають з гри (якщо є кілька способів отримати суму 15, гравець, який поклав останню карту, вирішує, які саме карти із сумою значень 15 вилучити). Наприкінці партії в Савіно на руках залишилися 2 карти (5 і 3), на столі — одна карта (9), а в Рози на руках — одна карта. Яке значення карти Рози?
10–11 класиОстача від ділення
Італійська математична олімпіадаITAMO-2003-005

Обхід круглого столу з кроком за номером картки

На обід запрошено nn осіб, які сядуть навколо круглого столу, місця за яким позначено від 1 до nn за допомогою відповідних карток із номерами місць, розставлених церемоніймейстером. Офіціант вирішив подавати страви за оригінальною процедурою: обирає одного гостя, обслуговує його, потім зміщується проти годинникової стрілки на кількість місць, що дорівнює номеру картки щойно обслуженого гостя, обслуговує гостя, біля якого він тепер опинився, і так далі, завжди зміщуючись проти годинникової стрілки відповідно до номера картки останнього обслуженого гостя. Визначте, для яких nn церемоніймейстер може розставити картки з номерами так, щоб офіціант міг, розпочавши з відповідного гостя і дотримуючись описаної процедури, обслужити всіх гостей.
10–11 класиОстача від ділення
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-010

Триколірне розфарбування цілих чисел із забороненими трійками

Нехай aa і bb — цілі числа такі, що a+ba + b не ділиться на 33. Доведіть, що неможливо розфарбувати цілі числа у три кольори так, щоб для кожного цілого nn три числа nn, n+an+a і n+bn+b мали різні кольори.
8–10 класиОстача від ділення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-082

Виграшна стратегія в грі з сірниками

На стіл кладуть 23 сірники, і двоє гравців грають у гру: кожен по черзі забирає від 1 до 4 сірників включно. Той, хто забере останній сірник, перемагає. Чи існує виграшна стратегія для когось із двох? Виграшна стратегія — це спосіб гри, який дає змогу одному з двох перемогти незалежно від того, як грає його суперник.
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.