Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

255 задач
КомбінаторикаРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-142

Єдиність перестановки за таблицею максимумів

Випадкову перестановку a=(a1,a2,…,a40)a = (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{40}) чисел (1,2,…,40)(1, 2, \ldots, 40) вибрано, причому всі перестановки рівноймовірні. Вільям записує таблицю 20×2020 \times 20 з чисел bijb_{ij} таких, що bij=max⁡(ai,aj+20)b_{ij} = \max(a_{i}, a_{j+20}) для всіх 1≤i,j≤201 \leq i, j \leq 20, але потім забуває вихідну перестановку aa. Обчисліть імовірність того, що, знаючи лише значення bijb_{ij}, існує рівно 2 перестановки aa, узгоджені з таблицею.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-067

Зважена сума за цілочисельними трійками

Обчисліть ∑a+b+c=12a≥6, b, c≥0a!b!c!(a−b−c)!\sum_{\substack{a+b+c=12 \\ a \geq 6,\ b,\ c \geq 0}} \frac{a!}{b!c!(a-b-c)!} де сума береться за всіма трійками невід'ємних цілих чисел (a,b,c)(a, b, c) такими, що a+b+c=12a+b+c=12 і a≥6a \geq 6.
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-006

Прямокутні розбиття квадрата із заданими смугами

Нехай nn — натуральне число. Роджер має квадратний сад розміром (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1). Він ставить паркани, щоб поділити свій сад на прямокутні ділянки. Він хоче отримати рівно дві горизонтальні ділянки k×1k \times 1 і рівно дві вертикальні ділянки 1×k1 \times k для кожного парного цілого числа kk між 11 і 2n+12 n+1, а також одну квадратну ділянку 1×11 \times 1. Скількома різними способами Роджер може це зробити?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-007

Прямокутне розбиття квадратної сітки

Нехай nn — додатне ціле число. Роджер має квадратний сад розміром (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1), і він встановлює бар'єри, щоб розділити свій сад на кілька прямокутних ділянок. Після завершення він утворить рівно два горизонтальні прямокутники k×1k \times 1 і два вертикальні прямокутники 1×k1 \times k для кожного парного цілого числа kk між 11 і 2n+12 n+1, а також один квадрат 1×11 \times 1. Скількома способами Роджер може це зробити?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-136

Зростання рядка за правилами заміни

Мішель починає з рядка HMMTH M M T. Операція полягає або в заміні входження HH на HMH M, або в заміні входження MMM M на MOMM O M, або в заміні входження TT на MTM T. Наприклад, два рядки, які можна отримати за одну операцію, — це HMMMTH M M M T і HMOMTH M O M T. Обчисліть кількість різних рядків, які Мішель може отримати після рівно 10 операцій.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-090

Випадкове ламання крейди на рівні частини

На початку є один шматок крейди довжини 11. Щосекунди ви навмання рівноймовірно вибираєте один із наявних шматків крейди та розламуєте його навпіл. Продовжуєте, доки не отримаєте 88 шматків крейди. Яка ймовірність того, що всі вони матимуть довжину 18\frac{1}{8}?
10–11 класиКомбінації2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-137

Математичне сподівання після обмінів карток

П'ять карток із написами 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9 викладено в ряд у такому порядку, утворюючи п'ятицифрове число 1357913579, якщо читати зліва направо. Обмін полягає у виборі двох різних карток і переставленні їх місцями. Після трьох обмінів картки утворюють нове п'ятицифрове число nn, якщо читати зліва направо. Обчисліть математичне сподівання числа nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-138

Ймовірність у кругових перестановках

Числа 1,2,…,101,2, \ldots, 10 випадковим чином розташовано по колу. Нехай pp — ймовірність того, що для кожного натурального числа k<10k<10 існує ціле число k′k' >k>k таке, що між kk і k′k' у колі є не більше одного числа. Якщо pp можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-081

Множини, замкнені щодо подвоєння за модулем 16

Обчисліть кількість множин SS таких, що кожен елемент SS є невід'ємним цілим числом, меншим за 1616, і якщо x∈Sx \in S, то (2x mod 16)∈S(2x \bmod 16) \in S.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-141

Ймовірність з перестановкою та набором

Нехай SS — множина з 1111 елементів. Випадковий 1212-елементний упорядкований набір (s1,s2,…,s12)(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{12}) з елементів множини SS вибирають рівномірно навмання. Крім того, нехай π:S→S\pi: S \rightarrow S — перестановка множини SS, вибрана рівномірно навмання. Ймовірність того, що si+1≠π(si)s_{i+1} \neq \pi(s_{i}) для всіх 1≤i≤121 \leq i \leq 12 (де s13=s1s_{13}=s_{1}), можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть aa.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-051

Очікувана відстань на килимі Серпінського

Нехай S0S_{0} — одиничний квадрат у декартовій площині з горизонтальними й вертикальними сторонами. Для будь-якого n>0n>0 фігура SnS_{n} утворюється приєднанням 9 копій Sn−1S_{n-1} у сітці 3×33 \times 3 з подальшим вилученням центральної копії. Наприклад, S3S_{3} показано нижче: Нехай ana_{n} — математичне сподівання ∣x−x′∣+∣y−y′∣|x-x'|+|y-y'|, де (x,y)(x, y) і (x′,y′)(x', y') — дві точки, вибрані випадково всередині SnS_{n}. Існують взаємно прості натуральні числа aa і bb такі, що lim⁡n→∞an3n=ab.\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}=\frac{a}{b} . Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-052

Рекурентне співвідношення для забороненого підрядка

Рядок, що складається з літер AA, CC, GG і UU, є неперекладним тоді й лише тоді, коли він не містить AUGAUG як послідовний підрядок. Наприклад, ACUGGACUGG — неперекладний. Нехай ana_{n} позначає кількість неперекладних рядків довжини nn. Відомо, що існує єдина трійка дійсних чисел (x,y,z)(x, y, z) така, що an=xan−1+yan−2+zan−3a_{n}=x a_{n-1}+y a_{n-2}+z a_{n-3} для всіх цілих n≥100n \geq 100. Обчисліть (x,y,z)(x, y, z).
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-054

Очікувана тривалість гри з накопиченням карток

Діана грає в карткову гру проти комп'ютера. На початку вона має колоду з однієї картки з числом 0.90.9. Кожного ходу Діана навмання витягає картку зі своєї колоди, а комп'ютер створює картку з випадковим дійсним числом, рівномірно вибраним з проміжку [0,1][0,1]. Якщо число на картці Діани більше, вона залишає свою поточну картку і також додає картку комп'ютера до своєї колоди. Інакше комп'ютер забирає картку Діани. Після kk ходів колода Діани стає порожньою. Обчисліть математичне сподівання kk.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-072

Очікувана кількість обмінів для сортування перестановки

Дано випадкову перестановку {1,2,…,100}\{1,2, \ldots, 100\}. Її сортують, щоб отримати послідовність (1,2,…,100)(1,2, \ldots, 100), у такий спосіб: на кожному кроці навмання вибирають два числа, які стоять не на своїх місцях, і міняють їх місцями. Якщо ss — математичне сподівання кількості кроків (тобто обмінів), потрібних для отримання послідовності (1,2,⋯ ,100)(1,2, \cdots, 100), то оцініть A=⌊s⌋A=\lfloor s\rfloor. Оцінка EE приносить max⁡(0,⌊20−12∣A−E∣⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-\frac{1}{2}|A-E|\right\rfloor\right) очок.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-007

Перестановки з умовами подільності

Скільки існує перестановок (p1,p2,…,p1000)(p_1, p_2, \dots, p_{1000}) множини {1,2,…,1000}\{1, 2, \dots, 1000\} таких, що pip_i кратне ii для кожного 1≤i≤9991 \le i \le 999?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-132

Останнє відсутнє число на кубику зі змінною гранню

У зайчихи Терези є справедливий 8-гранний гральний кубик. Сім його граней мають фіксовані позначки 1,2,…,71, 2, \ldots, 7, а позначку на восьмій грані можна змінювати, і спочатку вона 11. Вона кидає його кілька разів, доки кожне з чисел 1,2,…,71, 2, \ldots, 7 не з'явиться принаймні один раз. Після кожного кидка, якщо kk — найменше натуральне число, яке вона досі не викидала, вона замінює позначку на восьмій грані на kk. Ймовірність того, що 77 буде останнім числом, яке вона викине, дорівнює ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-099

Маршрути без самоперетинів на точках кола

На колі вибрано вісім точок, позначених P1,P2,…,P8P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{8} за годинниковою стрілкою. Маршрутом називається послідовність із принаймні двох точок Pa1,Pa2,…,PanP_{a_{1}}, P_{a_{2}}, \ldots, P_{a_{n}} така, що якби мураха відвідувала ці точки в заданому порядку, починаючи з Pa1P_{a_{1}} і закінчуючи в PanP_{a_{n}}, рухаючись по n−1n-1 прямолінійних відрізках (кожен з яких з'єднує PaiP_{a_{i}} і Pai+1P_{a_{i+1}}), вона ніколи не відвідала б жодну точку двічі й не перетнула б власний шлях. Знайдіть кількість маршрутів.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-082

Двійкове дерево з мітками-степенями двійки

Нехай XX — кількість послідовностей цілих чисел a1,a2,…,a2047a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2047}, які задовольняють усі такі властивості: - Кожне aia_{i} дорівнює або 00, або степеню 22. - ai=a2i+a2i+1a_{i} = a_{2i} + a_{2i+1} при 1≤i≤10231 \leq i \leq 1023. - a1=1024a_{1} = 1024. Знайдіть остачу від ділення XX на 100100.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-091

Групування блоків однакових літер

Нехай NN — кількість способів переставити літери в рядку «HMMTHMMTHMMTHMMTHMMTHMMT» («HMMT», повторене шість разів) так, щоб кожна літера стояла поруч з іншою копією тієї самої літери. Наприклад, «MMMMMMTTTTTTHHHHHHHHHHHH» задовольняє цю властивість, а «HMMTHMMTHMMTHMMTHMMTHMMT» — ні. Оцініть NN. Оцінка EE принесе ⌊20min⁡(NE,EN)4⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{4}\right\rfloor балів.
10–11 класиПерестановки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-015

Згинання шахівниці

Квадратний аркуш паперу, що лежить на столі, поділено на 8×8=648 \times 8 = 64 однакові квадратики. Ці квадратики пронумеровано від a1 до h8, як поля шахівниці (див. рис. 1). Тепер починаємо згинати так, щоб квадратик a1 завжди залишався на тому самому місці на столі. Спершу згинаємо вздовж горизонтальної середньої лінії (рис. 1). При цьому квадратик a8 опиниться поверх квадратика a1. Потім згинаємо вздовж вертикальної середньої лінії (рис. 2). Далі згинаємо вздовж нової горизонтальної середньої лінії (рис. 3) і так далі. Після шести згинань перед нами лежить невеличкий пакет паперу (рис. 7), який можна розглядати як стос із 64 квадратних шматочків паперу. рис. 1 рис. 2 рис. 3... рис. 7 Квадратики в цьому стосі пронумеровано знизу вгору від 1 до 64. Отже, квадратик a1 отримує номер 1. Який номер отримає квадратик f6?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-140

Ходи на дошці з трьома літерами

Аліса пише на дошці 10011001 літеру, кожну незалежно та рівноймовірно обираючи з множини S={a,b,c}S=\{a, b, c\}. Хід полягає у стиранні з дошки двох різних літер і заміні їх третьою літерою з SS. Яка ймовірність того, що Аліса зможе послідовністю ходів залишити на дошці одну літеру?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-103

Очікувана кількість чорних кульок при випадковому вийманні

Аліса та Боб по черзі виймають кульки з мішка, у якому 10 чорних кульок і 10 білих кульок, причому першою ходить Аліса. Аліса завжди виймає чорну кульку, якщо вона є, а Боб виймає одну з решти кульок рівноймовірно навмання. Коли всі кульки буде вийнято, математичне сподівання кількості чорних кульок, які матиме Боб, можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-143

Покриття кола кольоровими дугами

Фермер Джеймс хоче покрити коло довжиною 10π10\pi шістьма різними типами кольорових дуг. Кожен тип дуги має радіус 55, має довжину або π\pi, або 2π2\pi, і пофарбований або в червоний, або в зелений, або в синій колір. Він має необмежену кількість дуг кожного з шести типів. Він хоче повністю покрити своє коло без накладань за таких умов: - Будь-які дві сусідні дуги мають різні кольори. - Будь-які три сусідні дуги, середня з яких має довжину π\pi, мають три різні кольори. Знайдіть кількість різних способів, якими фермер Джеймс може покрити своє коло. Тут два покриття вважаються еквівалентними тоді й лише тоді, коли вони переходять одне в одне поворотом. Зокрема, два розфарбування вважаються різними, якщо вони переходять одне в одне відбиттям, але не поворотом.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-115

Сподіване значення випадкового числа в трійковій системі

Шон заходить до аудиторії в Меморіал-холі й бачить на дошці 11, після якої записано 20202020 символів 00. Оскільки він прийшов на заняття рано, він вирішує пройти цифри справа наліво й незалежно стерти nn-ту цифру зліва з імовірністю n−1n\frac{n-1}{n}. (Зокрема, 11 ніколи не стирається.) Обчисліть математичне сподівання значення числа, утвореного з цифр, що залишилися, якщо розглядати його як число в системі з основою 33. (Наприклад, якщо на дошці залишилося число 10001000, то його значення дорівнює 2727.)
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-011

Антипаліндромні послідовності та добуток позицій

Послідовність із AA і BB називається антипаліндромною, якщо, записавши її у зворотному порядку, а потім замінивши всі AA на BB і навпаки, дістанемо початкову послідовність. Наприклад, ABBAABA B B A A B є антипаліндромною. Для довільної послідовності з AA і BB визначимо вартість послідовності як добуток позицій AA. Наприклад, рядок ABBAABA B B A A B має вартість 1⋅4⋅5=201\cdot 4\cdot 5 = 20. Знайдіть суму вартостей усіх антипаліндромних послідовностей довжини 2020.
10–11 класиПравила суму та добутку3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.