Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

175 задач
КомбінаторикаШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-019

Гамільтонові цикли на дошці 4×4

Кімоті починає з нижньої лівої клітинки шахової дошки 4×44 \times 4. За один крок він може перейти вгору, вниз, вліво або вправо на сусідню клітинку. Кімоті робить 1616 кроків і повертається туди, звідки починав, відвідуючи кожну клітинку рівно один раз (окрім початкової/кінцевої клітинки). Скільки шляхів він міг пройти?
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-002

Мінімальна довжина комбі-числа

Ціле число nn називається комбі-числом, якщо кожна пара різних цифр із множини всіх можливих цифр від 00 до 99 трапляється в його записі принаймні один раз як сусідні цифри. Наприклад, у комбі-числі цифри 33 і 55 мають десь стояти поруч. Не має значення, чи вони йдуть у порядку 3535, чи 5353. Домовимося, що комбі-число ніколи не починається з цифри 00. Яка найменша можлива кількість цифр комбі-числа?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-079

Очікувана кількість ходів коня на дошці 4×4

На шахівниці 4×44 \times 4 вибирають дві різні клітинки, причому кожна пара клітинок рівноймовірна. На одну з клітинок ставлять коня. Математичне сподівання мінімальної кількості ходів, потрібної коню, щоб дістатися до іншої клітинки, можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — додатні цілі числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-001

Повні числа з різницями, що чергуються

Повне число — це 9-цифрове число, яке містить кожну з цифр від 1 до 9 рівно один раз. Різницеве число числа NN — це число, яке отримують, беручи різниці послідовних цифр числа NN і записуючи ці цифри підряд. Наприклад, різницеве число числа 25143 дорівнює 3431. Повне число 124356879 має додаткову властивість, що його різницеве число, 12121212, складається з цифр 1 і 2, які чергуються. Знайдіть усі aa з 3≤a≤93 \le a \le 9, для яких існує повне число NN з додатковою властивістю, що цифри його різницевого числа почергово дорівнюють 1 і aa.
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-006

Найдовший ланцюжок двоцифрових чисел, кратних 7

Існує 1313 різних двоцифрових чисел, кратних 77. Потрібно скласти найдовший можливий ланцюжок із цих кратних так, щоб два кратні могли стояти поруч лише тоді, коли остання цифра лівого кратного дорівнює першій цифрі правого кратного. Кожне кратне можна використати не більше одного разу. Наприклад, 2121 – 1414 – 4949 — допустимий ланцюжок довжини 33. Яка найбільша можлива довжина допустимого ланцюжка? A) 66 B) 77 C) 88 D) 99 E) 1010
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-085

Цілочисельна функція з обмеженими приростами

Функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє f(0)=0f(0)=0 і ∣f((n+1)2k)−f(n2k)∣≤1\left|f\left((n+1) 2^{k}\right)-f\left(n 2^{k}\right)\right| \leq 1 для всіх цілих k≥0k \geq 0 і nn. Чому дорівнює найбільше можливе значення f(2019)f(2019)?
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2019-004

Розподіл учнів із взаємними найкращими друзями

У середній школі в кожному класі непарна кількість учнів. Крім того, кожен учень має найкращого друга (можливо, з іншого класу). Кожен є найкращим другом свого найкращого друга. Під час подорожі містами кожен учень їде до Рима або до Парижа. Доведіть, що учнів можна розподілити між двома напрямками так, щоб (i) кожен учень їхав у подорож разом зі своїм найкращим другом; (ii) для кожного класу абсолютна різниця між кількістю учнів, які їдуть до Рима, і кількістю учнів, які їдуть до Парижа, дорівнювала 1.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2019-018

Діаметр зв'язного графа з мінімальним степенем 3

У країні є 2018 міст, деякі з яких з'єднані між собою дорогами. Кожне місто з'єднане принаймні з трьома іншими містами. З будь-якого міста можна дістатися до будь-якого іншого міста однією чи кількома дорогами. Для кожної пари міст розглянемо найкоротший маршрут між цими двома містами. Яка найбільша кількість доріг може зустрітися в такому найкоротшому маршруті?
10–11 класиШляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-062

Ланцюжок перемог у шаховому турнірі

Двадцять гравців взяли участь у шаховому турнірі. Кожен гравець зіграв з кожним іншим гравцем рівно один раз, і кожна партія закінчилася перемогою одного з гравців або нічиєю. У цьому турнірі помітили, що для кожної партії, яка закінчилася нічиєю, кожен з решти 18 гравців переміг принаймні одного з двох гравців, які в ній брали участь. Відомо також, що принаймні дві партії закінчилися нічиєю. Покажіть, що можна позначити гравців через P1,P2,…,P20P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{20} так, щоб гравець PkP_{k} виграв у гравця Pk+1P_{k+1} для кожного k∈{1,2,3,…,19}k \in\{1,2,3, \ldots, 19\}.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-016

Замкнені шляхи ребрами куба з обмеженням на грані

Жук сидить у вершині куба. Здоровим шляхом для жука називається шлях уздовж ребер куба, який починається і закінчується там, де перебуває жук, не використовує жодного ребра більше одного разу і використовує не більше двох ребер, прилеглих до будь-якої окремої грані. Знайдіть кількість здорових шляхів.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-097

Видалення ребер зі збереженням половини степенів

Еван має простий граф з vv вершинами та ee ребрами. Доведіть, що він може видалити принаймні e−v+12\frac{e-v+1}{2} ребер так, щоб кожна вершина й надалі мала принаймні половину свого початкового степеня.
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-073

Кількість прохідних лабіринтів 5×5

Лабіринт n×mn \times m — це сітка n×mn \times m, у якій кожна клітинка є або стіною, або порожньою. Лабіринт називається прохідним, якщо існує послідовність сусідніх порожніх клітинок від верхньої лівої клітинки до нижньої правої клітинки, яка не проходить крізь стіни. (Зокрема, верхня ліва та нижня права клітинки мають бути порожніми.) Нехай NN — кількість прохідних лабіринтів 5×55 \times 5. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(NE,EN)2⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{2}\right\rfloor балів.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2018-001

Гамільтонів шлях равлика на дошці з фішкою

Дано дошку з 2m2 m рядками та 2n2 n стовпцями, причому mm і nn — натуральні числа. Дозволено поставити одну фішку на клітинку цієї дошки, але не на клітинку ліворуч унизу чи на клітинку праворуч угорі. Потім равлик починає мандрувати дошкою. Равлик починає в клітинці ліворуч унизу і може рухатися горизонтально та вертикально. Равлик не заходить на клітинку з фішкою, але хоче відвідати кожну іншу клітинку рівно один раз, причому клітинка праворуч угорі є його кінцевою точкою. На які клітинки можна поставити фішку, щоб равлик міг досягти своєї мети?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-031

Орієнтований 2-регулярний граф і його 1-регулярні підграфи

У країні Однобамії деякі пари міст сполучені дорогами з одностороннім рухом. Кожна дорога сполучає рівно два міста (дорогам дозволено перетинатися, наприклад, через мости), а між кожною парою міст є не більше однієї дороги. Ба більше, з кожного міста виходять рівно дві дороги і в кожне місто входять рівно дві дороги. Ми хочемо закрити половину доріг Однобамії так, щоб з кожного міста виходила рівно одна дорога і в кожне місто входила рівно одна дорога. Доведіть, що кількість способів зробити це є степенем двійки, більшим за 1 (тобто має вигляд 2n2^n для деякого цілого числа n≥1n \ge 1).
10–11 класиДвочасткові графи
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-006

Суми вздовж шляхів у таблиці множення

Розглянемо наведену нижче «таблицю множення» розміром 4×44 \times 4. Числа з першого стовпця, помножені на числа з першого рядка, дають решту чисел таблиці. Наприклад, 33 з першого стовпця, помножене на 44 з першого рядка, дає 12 (=3⋅4)12\ (=3 \cdot 4) у клітинці, розташованій у 33-му рядку та 44-му стовпці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Побудуємо шлях з верхньої лівої клітинки до нижньої правої, щоразу рухаючись на одну клітинку вправо або вниз. Наприклад, нижче наведено один із таких можливих шляхів, причому всі числа вздовж шляху обведені колом: | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Якщо додати обведені числа в прикладі вище (включно з початковою та кінцевою клітинками), отримаємо 4848. Розгляньмо всі такі можливі шляхи: а. Яку найменшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна. б. Яку найбільшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
6–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-002

Нільпотентна матриця і заборонені обходи

Нехай S={1,2,…,n}S=\{1,2, \ldots, n\} для деякого натурального числа nn, а AA — матриця розміру nn на nn, яка складається лише з нулів та одиниць. Назвемо нескінченну послідовність {xi}i≥0\{x_{i}\}_{i \geq 0} дивною, якщо: - xi∈Sx_{i} \in S для всіх ii, - axkxk+1=1a_{x_{k} x_{k+1}}=1 для всіх kk, де aija_{ij} позначає елемент у iйi^{\text{й}} рядку та jйj^{\text{й}} стовпці матриці AA. Доведіть, що множина дивних послідовностей порожня тоді й лише тоді, коли AA нільпотентна, тобто Am=0A^{m}=0 для деякого цілого числа mm.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-037

Цикли в графах без коротких циклів

Нехай rr — натуральне число. Доведіть, що якщо граф GG не має циклів довжини не більше ніж 2r2r, то він має не більше ніж ∣V∣2016|V|^{2016} циклів довжини рівно 2016r2016r, де ∣V∣|V| позначає кількість вершин графа GG.
10–11 класиШляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-023

Нумерація трикутної сітки з різницями 1 або 2

На рисунку нижче намальовано 16 рівносторонніх трикутників зі стороною 11. Кажемо, що два з них є сусідніми, якщо вони мають спільну сторону. Визначте, чи можна вписати числа від 11 до 1616 у ці трикутники так, щоб усі різниці між числами, вписаними у два сусідні трикутники, дорівнювали 11 або 22.
8–9 класиШляхи на графах
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-001

Розсадка за круглим столом поруч із друзями

Нехай n≥1n \geq 1 — натуральне число. Група з 2n2n осіб зібралася разом. Кожна з цих осіб має принаймні nn друзів у цій групі (зокрема, якщо AA дружить з BB, то BB дружить з AA, і ніхто не дружить сам із собою). Доведіть, що цих 2n2n осіб можна розсадити навколо круглого столу так, щоб кожен сидів між двома своїми друзями.
9–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-026

Ейлерові шляхи в графі прямокутника

Нехай RR — прямокутник у декартовій площині з вершинами в (0,0)(0,0), (2,0)(2,0), (2,1)(2,1) і (0,1)(0,1). RR можна поділити на два одиничні квадрати, як показано; утворена фігура має сім ребер. Обчисліть кількість способів вибрати одне або більше із семи ребер так, щоб утворену фігуру можна було накреслити, не відриваючи олівця. (Повороти та відбиття вважаються різними.)
10–11 класиШляхи на графах
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2016-005

Шляхи в таблиці з одиницями та мінус одиницями

Нехай m,nm, n — два цілі числа, не менші за 22. Про таблицю з mm рядками та nn стовпцями відомо, що кожна клітинка містить або число 11, або число −1-1, і що загальна сума всіх клітинок більша або дорівнює нулю. Дженовеффа розглядає шляхи, які з'єднують клітинку першого стовпця (на її вибір) з клітинкою останнього стовпця (знову на її вибір) і які рухаються завжди від клітинки до сусідньої по горизонталі або вертикалі, не проходячи двічі через ту саму клітинку. Значенням шляху є сума чисел, наявних у клітинках, через які він проходить. a. Доведіть, що для будь-яких m,n≥2m, n \geq 2 існують таблиці з mm рядками та nn стовпцями без шляхів зі значенням 22 або більшим. b. Доведіть, що завжди можна знайти шлях зі значенням, більшим або рівним 11.
9–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2015-001

Довжина циклу за модулем 3 у кубічному графі

У країні є 100 міст. Кожне з цих міст з'єднане рівно з трьома іншими містами прямими дорогами в обох напрямках. Доведіть, що існує місто AA, з якого можна подорожувати від міста до міста і повернутися в AA, ніколи не проходячи двічі однією і тією ж дорогою, і використовуючи загальну кількість доріг, яка не ділиться на 3 (не вимагається, щоб усі міста країни були відвідані під час цієї подорожі).
10–11 класиШляхи на графах
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-022

Цикли довжини 3 у графі

Деякі міста країни з'єднані дорогами. Кажуть, що місто AA належить циклу довжини nn, якщо можна вирушити з AA через рівно n−1n-1 інших міст і повернутися назад до AA. Відомо, що кожне місто країни належить циклу довжини 4, а також циклу довжини 5. Чи правда, що a) принаймні одне місто належить циклу довжини 3? b) кожне місто належить циклу довжини 3?
11 класШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-001

Час поширення хвороби на квадратній решітці

Фермер Янг має квадратну решітку рослин кукурудзи розміром 2015×20152015 \times 2015. Одного дня рослина в самому центрі решітки захворіла. Щодня кожна рослина, сусідня з хворою рослиною, захворює. Через скільки днів усі рослини кукурудзи Янга будуть хворими?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-002

Шляхи по решітці прямокутника

Нехай RR — прямокутник у декартовій площині з вершинами в точках (0,0)(0,0), (2,0)(2,0), (2,1)(2,1) і (0,1)(0,1). RR можна поділити на два одиничні квадрати, як показано. Утворена фігура має 7 відрізків одиничної довжини, які сполучають сусідні точки цілочисельної решітки (ті, що лежать на RR або всередині нього). Обчисліть кількість шляхів із (0,1)(0,1) (верхнього лівого кута) до (2,0)(2,0) (нижнього правого кута) вздовж цих 7 відрізків, причому кожен відрізок можна використати не більше одного разу.
10–11 класиШляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.