Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

166 задач
КомбінаторикаЖадібний алгоритм
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-001

Неспадна послідовність і відхилення від заданих чисел

Задані дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Для кожного ii (1≤i≤n1 \le i \le n) визначимо di=max⁡1≤j≤iaj−min⁡i≤j≤najd_i = \max\limits_{1 \le j \le i} a_j - \min\limits_{i \le j \le n} a_j і нехай d=max⁡1≤i≤ndid = \max\limits_{1 \le i \le n} d_i. а) Довести, що для довільних дійсних чисел x1≤x2≤…≤xnx_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n виконується нерівність: max⁡1≤i≤n∣xi−ai∣≥d2.(∗)\max\limits_{1 \le i \le n} | x_i - a_i | \ge \frac{d}{2}. \qquad (*) б) Показати, що існують дійсні числа x1≤x2≤…≤xnx_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n, для яких нерівність () обертається в рівність.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-015

Матриці перестановок через перемикання прямокутників

Торт має форму квадрата n×nn \times n, складеного з n2n^2 одиничних квадратиків. Полуниці лежать на деяких одиничних квадратиках так, що кожен рядок і кожен стовпчик містить рівно одну полуницю; назвемо таке розташування A\mathcal{A}. Нехай B\mathcal{B} — інше таке розташування. Припустимо, що кожен клітчастий прямокутник з однією вершиною у верхньому лівому куті торта містить не менше полуниць розташування B\mathcal{B}, ніж розташування A\mathcal{A}. Доведіть, що розташування B\mathcal{B} можна отримати з A\mathcal{A}, виконавши кілька перемикань, означених так: Перемикання полягає у виборі клітчастого прямокутника лише з двома полуницями, розташованими в його верхньому правому куті та нижньому лівому куті, і переміщенні цих двох полуниць до двох інших кутів цього прямокутника.
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2003-001

Зсуви 101-елементної підмножини без спільних елементів

Нехай AA — така підмножина множини S={1;2;…;1000000}S = \{1; 2; \ldots; 1000000\}, що вона містить рівно 101 елемент. Доведіть, що в множині SS існують такі елементи t1,t2,…,t100t_1, t_2, \ldots, t_{100}, що жодні дві множини вигляду Aj={x+tj:x∈A}A_j = \{x + t_j : x \in A\}, j=1,100‾j = \overline{1,100} не мають спільних елементів.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Балтійський шляхBW-2002-010

Сума підмножини поблизу заданого значення

Нехай NN — натуральне число. Двоє гравців грають у таку гру. Перший гравець записує список натуральних чисел, не більших за 2525, не обов'язково різних, таких, що їхня сума не менша за 200200. Другий гравець виграє, якщо він може вибрати деякі з цих чисел так, щоб їхня сума SS задовольняла умову 200−N⩽S⩽200+N200-N \leqslant S \leqslant 200+N. Яке найменше значення NN, для якого другий гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Балтійський шляхBW-1999-008

Пошук середньої монети порівнянням трійок

Дано 19991999 монет. Жодні дві монети не мають однакової ваги. Є машина, яка за одну операцію дозволяє для будь-яких трьох монет визначити, яка з них має середню вагу. Доведіть, що монету, яка є 10001000-ю за вагою, можна визначити, використавши не більше ніж 10000001000000 операцій, і що це єдина монета, чиє місце за вагою можна визначити за допомогою цієї машини.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Балтійський шляхBW-1998-014

Десять гравців, які перекривають усі перемоги

Розглянемо матч з настільного тенісу між двома командами, кожна з яких складається з 10001000 гравців. Кожен гравець зіграв з кожним гравцем іншої команди рівно один раз (нічиїх у настільному тенісі не буває). Доведіть, що існує десять гравців з однієї команди таких, що кожен гравець іншої команди програв свою гру принаймні одному з цих десяти гравців.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Балтійський шляхBW-1995-011

Вирівнювання кількості кульок у ящиках

Нехай маємо 9595 ящиків і 1919 кульок, розкладених по цих ящиках довільним чином. Беремо щоразу шість нових кульок і кладемо їх у шість із ящиків, по одній кульці в кожен із шести. Чи можемо ми, повторивши цей процес потрібну кількість разів, досягти ситуації, в якій кожен із 9595 ящиків міститиме однакову кількість кульок?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Балтійський шляхBW-1992-015

Розміщення тварин у клітках за сумісністю

Ной має розмістити 8 видів тварин у 4 клітках ковчега. Він планує посадити види в кожну клітку. Виявляється, що для кожного виду є щонайбільше 3 інші види, з якими він не може жити разом. Доведіть, що існує спосіб розподілити тварин по клітках так, щоб кожен вид жив в одній клітці лише із сумісними видами.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2025-002

Знакова сума обмежених натуральних чисел

Нехай n≥2n \ge 2 — ціле число, і нехай z1,…,znz_1, \dots, z_n — натуральні числа, які задовольняють: - zj≤jz_j \le j для j=1,…,nj = 1, \dots, n; - z1+⋯+znz_1 + \dots + z_n парне. Доведіть, що існують s1,…,sn∈{−1,1}s_1, \dots, s_n \in \{-1, 1\} такі, що: s1z1+s2z2+⋯+snzn=0.s_1 z_1 + s_2 z_2 + \dots + s_n z_n = 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-050

Ідентифіковні команди з наборами кольорів

Перед чемпіонатом кожна команда-учасниця пропонує не більше tt різних кольорів для своєї форми. Множина SS команд називається ідентифіковною, якщо кожній команді з SS можна призначити колір, що зустрічається в її наборі пропозицій і не зустрічається в наборі кольорів жодної іншої команди. Якщо через nn позначено загальну кількість різних запропонованих кольорів, визначте найбільше ціле число g(n,t)g(n, t) таке, що завжди можна знайти ідентифіковну множину команд розміру щонайменше g(n,t)g(n, t).
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові тести на IMOTST-2024-014

Максимальна кількість мостів проти пожежі на дереві

Дано натуральне число nn. Є nn островів із n−1n-1 мостами між ними так, що з кожного острова можна потрапити на будь-який інший острів. Одного дня опівдні на одному з островів спалахує пожежа. Щоранку вогонь поширюється на всі сусідні острови (ті острови, що з'єднані мостом). Щоб стримати вогонь, щоночі підривають один міст, доки вогонь ще має куди поширюватися. Нехай XX — мінімальна кількість мостів, яку потрібно підірвати для даної групи островів і осередку пожежі. Знайдіть максимум XX за всіма можливими групами островів і осередками пожежі.
10–11 класиДерева
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-042

Гра з розфарбуванням і максимізація одноколірних пар

Анна і Батіст грають у таку гру. На початку гри перед ними лежать 2022 білі клітинки, пронумеровані від 1 до 2022. Потім, по черзі, починаючи з Анни, вони вибирають білу клітинку і фарбують її в колір за власним вибором: або в червоний, або в синій. Гра закінчується через 2022 ходи, тобто в момент, коли остання біла клітинка буде зафарбована. Рахунок Анни тоді дорівнює кількості цілих чисел a⩽2019a \leqslant 2019 таких, що обидві клітинки з номерами aa і a+3a+3 одного кольору. Анна хоче отримати якомога більший рахунок; Батіст хоче, щоб рахунок Анни був якомога меншим. Який найбільший рахунок Анна може собі гарантувати незалежно від ходів, які обере Батіст?
8–10 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-107

Парування людей з близькими репутаціями

На вечірці є 17 людей, і кожен має репутацію 1,2,3,41, 2, 3, 4 або 55. Деякі з них об'єднуються в пари за умови, що в кожній парі репутації двох людей відрізняються щонайбільше на 11. Обчисліть найбільше значення kk таке, що незалежно від репутацій цих людей вони можуть утворити kk пар.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-002

Кліка розміру 7 у регулярному графі

В офісі є 20232023 співробітники, кожен з яких знає рівно 16861686 інших. Для будь-якої пари співробітників або вони обоє знають один одного, або обоє не знають один одного. Доведіть, що можна знайти 77 співробітників, кожен з яких знає всіх 66 інших.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-030

Послідовне розливання води по пляшках

Мартин поспіхом розлив nn літрів води у nn пляшок. Тому деякі пляшки виявилися наповненими більше за інші. Тут він згадав, що його завданням було налити рівно один літр води в кожну пляшку, перш ніж закрити її корком. Оскільки він ще не закоркував пляшок, свої помилки ще можна виправити. Для цього він вибирає першу пляшку, за бажанням переливає частину її вмісту в іншу пляшку, а потім закорковує цю першу пляшку. Далі він вибирає другу пляшку (це може бути та, в яку він частково перелив вміст першої пляшки, а може й ні), за бажанням переливає частину її вмісту в іншу пляшку (але не в першу пляшку, яка вже закоркована), а потім її закорковує. Потім він так само діє з третьою пляшкою, і так далі, доки не закоркує всі пляшки. Доведіть, що якщо Мартин вдало вибиратиме пляшки, які він закорковує, і ті, в які він їх частково переливає, то йому вдасться виправити свої помилки. Зауваження: пляшки надто великі, і кожна може вмістити до nn літрів води, тож вони не переповняться.
8–10 класиКонструкція за індукцією
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-011

Максимізація клітинок Алекса у грі

Алекс і Бетті грають у гру з рядом із 20222022 послідовних клітинок. На початку гри ім'я Алекса написане в 11-й, 33-й,..., 20212021-й клітинках зліва, а ім'я Бетті написане в 22-й, 44-й,..., 20222022-й клітинках зліва. Починаючи з Алекса, двоє гравців по черзі виконують таку операцію. Вибрати дві клітинки зі своїм ім'ям, які не є сусідніми, так, щоб усі клітинки між цими двома мали ім'я суперника. Потім замінити імена суперника на свої власні в усіх клітинках між обраними двома. Гра закінчується, коли один із гравців не може виконати операцію. Визначте найбільше натуральне число mm, що задовольняє таку умову. Незалежно від того, як Бетті виконує операції, Алекс може грати так, щоб наприкінці гри було mm або більше клітинок з ім'ям Алекса.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2021-019

Трикутник зі сторонами, помноженими на степені

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для кожної трійки (a,b,c)(a, b, c) додатних дійсних чисел існує трійка (k,ℓ,m)(k, \ell, m) невід’ємних цілих чисел така, що ank,bnℓ,cnman^k, bn^\ell, cn^m є довжинами сторін (невиродженого) трикутника.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-040

Мінімальна кількість ребер для підграфа з великим степенем

Породжений вершинами підграф — це підмножина вершин графа разом з усіма ребрами, кінці яких обидва належать цій підмножині. Неорієнтований граф містить 10 вершин і mm ребер, без петель і кратних ребер. Яке найменше можливе значення mm, за якого цей граф обов’язково містить непорожній породжений вершинами підграф, у якому всі вершини мають степінь принаймні 5?
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2020-006

Гра з ходами із взаємно простою сумою

Ворд і Габріель грають у гру на великому аркуші паперу. На початку гри на аркуші написано 999 одиниць. Ворд і Габріель ходять по черзі, причому перший хід робить Ворд. Своїм ходом гравець повинен вибрати два числа aa і bb на аркуші такі, що НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b) = 1, стерти ці числа з аркуша і написати на аркуші число a+ba+b. Перший гравець, який не може цього зробити, програє. Визначте, який гравець завжди може виграти цю гру.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-004

Відгадування перестановки за кількістю збігів

Енні має перестановку (a1,a2,…,a2019)\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2019}\right) множини S={1,2,…,2019}S=\{1,2, \ldots, 2019\}, а Яннік хоче відгадати її перестановку. Кожною спробою Яннік називає Енні набір (y1,y2,…,y2019)(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2019}) з чисел із SS, а потім Енні повідомляє кількість індексів i∈Si \in S таких, що ai=yia_{i}=y_{i}. a. Доведіть, що Яннік завжди може відгадати перестановку Енні не більш ніж за 1200000 спроб. b. Доведіть, що Яннік завжди може відгадати перестановку Енні не більш ніж за 24000 спроб.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-034

Розбиття монет з обмеженнями на масу

Пірат хоче поділити скарб, що складається з 1000 золотих монет, кожна з яких важить принаймні 1 г, а разом — рівно 2 кг, на дві частини, маси яких відрізняються від 1 кг не більше ніж на 1 г. Доведіть, що це можливо.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2019-031

Нескінченні ходи машинок на сітці

На нескінченній квадратній сітці розміщено скінченну кількість машинок, кожна з яких займає одну клітинку та спрямована в одну з чотирьох сторін світу. Машинки ніколи не можуть займати одну клітинку. Відомо, що клітинка безпосередньо перед кожною машинкою порожня, і, крім того, жодні дві машинки не спрямовані одна на одну (жодна машинка, спрямована праворуч, не стоїть ліворуч від машинки, спрямованої ліворуч, в одному рядку тощо). За хід обирають одну машинку і пересувають її на одну клітинку вперед на вільну клітинку. Доведіть, що існує нескінченна послідовність допустимих ходів, у якій кожна машинка ходить нескінченно багато разів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-045

Оптимальний вибір за повної інформації

Ви — перший щасливий гравець у дещо зміненому випуску шоу Deal or No Deal! Спочатку є шістнадцять кейсів під номерами 11 – 1616. Суми грошей у кейсах — це степені 22 від 21=22^{1} = 2 до 216=655362^{16} = 65536 у випадковому порядку. Гра триває вісім ходів. У кожному ході ви обираєте кейс і забираєте його собі, не відкриваючи його. Після цього один випадковий кейс із решти відкривають, показують вам, а потім вилучають з гри. Наприкінці гри всі вісім ваших кейсів відкривають, і ви виграєте всі гроші, що лежать у них. Проте ведучі не здогадуються, що у вас рентгенівський зір і ви бачите суму грошей у кожному кейсі! Яке математичне сподівання суми, яку ви виграєте, якщо гратимете оптимально?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-067

Розфарбування точок перетину прямих

Розглянемо 2017 прямих на площині, які перетинаються попарно в попарно різних точках. Позначимо через EE множину цих точок перетину. Хочемо кожній точці множини EE приписати колір так, щоб будь-які дві з цих точок, які належать одній прямій і для яких відрізок, що їх сполучає, не містить жодної іншої точки множини EE, були різного кольору. Скільки кольорів щонайменше потрібно, щоб здійснити таке розфарбування?
9–11 класиЖадібний алгоритм
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-013

Підмножина без попарних сум у множині

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що в множині AA з 2n2^{n} додатних чисел можна вибрати підмножину BB розміру n+1n+1 таку, що сума двох різних чисел із BB ніколи не належить AA.
8–10 класиЖадібний алгоритм

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.