Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

21 566 задач
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-007

Ротація волейбольної команди з умовою про жінок

Нехай nn — натуральне число. Волейбольна команда, що складається з nn жінок і nn чоловіків, шикується для гри. При цьому кожен член команди займає одну з позицій 1,2,…,2n1,2, \ldots, 2 n, причому саме позиції 11 і n+1n+1 знаходяться поза майданчиком. Під час гри всі члени команди здійснюють ротацію, переходячи щоразу з позиції ii на позицію i+1i+1 (відповідно з 2n2 n на 11). Скільки існує стартових розстановок, за яких незалежно від того, скільки разів відбулася ротація, на майданчику завжди було принаймні n−1n-1 жінок? Зауваження: Дві стартові розстановки різні, якщо принаймні один член команди займає іншу позицію.
10–11 класиПравила суму та добутку2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-009

Періодична послідовність з рекурентним співвідношенням

Знайдіть усі періодичні послідовності x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots з додатних дійсних чисел таких, що для всіх n≥1n \geq 1 xn+2=12(1xn+1+xn)x_{n+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_{n+1}}+x_{n}\right)
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-010

Мінімальна кількість ходів для перенесення каменів

Нехай nn — натуральне число. В ряд стоїть n+1n+1 миски, пронумеровані зліва направо числами 0,1,…,n0, 1, \ldots, n. На початку в мисці 00 лежить nn каменів, а в інших мисках каменів немає. Сізіф хоче перемістити ці nn каменів у миску nn. Для цього Сізіф кожним ходом пересуває рівно один камінь з миски ii, в якій є kk каменів, щонайбільше на kk мисок праворуч, тобто в миску з номером, не більшим за k+ik+i. Нехай TT — мінімальна кількість ходів, потрібна Сізіфу, щоб перемістити всі камені в миску nn. Доведіть, що виконується: T≥⌈n1⌉+⌈n2⌉+…+⌈nn⌉T \geq \left\lceil \frac{n}{1} \right\rceil + \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil + \ldots + \left\lceil \frac{n}{n} \right\rceil
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-011

Перерозподіл цукерок у колі дітей

Група дітей сидить у колі. На початку кожна дитина має парну кількість цукерок. На кожному кроці кожна дитина повинна віддати половину своїх цукерок дитині праворуч від себе. Якщо після кроку в дитини виявиться непарна кількість цукерок, вихователь дарує їй ще одну цукерку. Доведіть, що через скінченну кількість кроків у всіх дітей буде порівну цукерок.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-012

Неможливість функціонального рівняння на цілих числах

Доведіть, що не існує функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такої, що для всіх цілих чисел m,nm, n виконується: f(m+f(n))=f(m)−nf(m+f(n))=f(m)-n
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-013

Трикутник зі співвідношенням кутів і точкою всередині

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠CAB=2⋅∠ABC\angle CAB = 2 \cdot \angle ABC. Припустимо, що існує точка DD всередині трикутника ABCABC така, що AD=BDAD = BD і CD=ACCD = AC. Доведіть, що ∠ACB=3⋅∠DCB\angle ACB = 3 \cdot \angle DCB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-001

Середини фішок і степені двійки

Розглянемо розташування фішок на площині, не обов'язково в різних точках. Дозволено виконувати послідовність ходів такого виду: вибрати пару фішок у точках AA і BB та перемістити обидві до середини відрізка з кінцями в точках AA і BB. Кажемо, що розташування з nn фішок є стягуваним, якщо після скінченної кількості ходів можна зібрати всі nn фішок в одній точці. Доведіть, що кожне розташування з nn фішок є стягуваним тоді й лише тоді, коли nn є степенем двійки.
10–11 класиІнші інваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-002

Хорди кола і перпендикулярність

Нехай п'ять точок на колі позначено AA, BB, CC, DD і EE за годинниковою стрілкою. Припустімо, що AE=DEA E = D E, і нехай PP — точка перетину прямих ACA C і BDB D. Нехай QQ — точка на прямій, що проходить через AA і BB, така, що AA лежить між BB і QQ і AQ=DPA Q = D P. Аналогічно, нехай RR — точка на прямій, що проходить через CC і DD, така, що DD лежить між CC і RR і DR=APD R = A P. Доведіть, що пряма PEP E перпендикулярна до прямої QRQ R.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-003

Кругове розташування просто-пов'язаних дільників

Два додатні цілі числа aa і bb називаються «пов'язаними через просте число», якщо a=pba = p b або b=pab = p a для деякого простого числа pp. Знайдіть усі додатні цілі числа nn, такі, що nn має щонайменше три дільники, і всі дільники можуть бути розташовані без повторень по колу так, що будь-які два сусідні дільники пов'язані через просте число. Зауважимо, що 11 і nn також вважаються дільниками.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-004

Сума значень многочлена та його значення в останній точці

Знайдіть усі многочлени p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, які мають таку властивість: існує многочлен q(x)q(x) з дійсними коефіцієнтами такий, що p(1)+p(2)+p(3)+⋯+p(n)=p(n)q(n)p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n) q(n) для всіх додатних цілих чисел nn.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-005

Ітеративне множення на прості дільники

Нехай kk — дане парне натуральне число. Сара спочатку вибирає натуральне число NN, більше за 11, і далі змінює його так: щохвилини вона вибирає простий дільник pp поточного значення NN і множить поточне NN на pk−p−1p^{k}-p^{-1}, щоб отримати наступне значення NN. Доведіть, що існує нескінченно багато парних натуральних чисел kk таких, що, незалежно від виборів Сари, її число NN у певний момент ділитиметься на 20182018.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-012

Квадратично-експоненціальне діофантове рівняння

Знайдіть кількість розв’язків рівняння n2m6=180t+2n^{2} m^{6} = 180 t + 2 у натуральних числах nn, mm і tt.
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-032

Трикутники, утворені прямими в загальному положенні

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Дано nn прямих у загальному положенні (тобто ніякі три прямі не проходять через одну точку і ніякі дві прямі не є паралельними). Скільки трикутників утворюють ці прямі? Зауваження. Наприклад, на рисунку нижче є 4 трикутники.
9–11 класиКомбінації
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-027

Сума цифр числа і його квадрата

Для кожного невід'ємного цілого числа nn позначимо через S(n)S(n) суму цифр десяткового запису числа nn. Назвемо невід'ємне ціле число nn гарним, якщо S(n)=S(n2)S(n)=S\left(n^{2}\right). Знайти всі можливі значення S(n)S(n) для гарних чисел nn.
9–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-017

Рівняння 1/x + 1/y = 1/2017

Знайдіть усі цілі числа x,y⩾1x, y \geqslant 1 такі, що 1x+1y=12017\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2017}
9–11 класиПрості числа (базові властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-041

Граф із заданим розподілом відстаней

Країна складається з 2018n+12018 n+1 міст, де nn — ненульове натуральне число. Деякі пари міст сполучені прямими залізничними лініями так, що між двома містами є не більше однієї лінії; кожна лінія працює в обох напрямках. Відстань між двома містами AA і BB — це мінімальна кількість ліній, які треба проїхати, щоб дістатися з AA до BB. Знайти множину цілих чисел nn, для яких можна побудувати залізничну мережу, що задовольняє такий критерій: Для будь-якого міста CC і для будь-якого i∈{1,2,…,2018}i \in \{1,2, \ldots, 2018\} є рівно nn міст на відстані ii від CC.
9–11 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-037

Максимум суми квадратних коренів

Знайти найбільше значення x+2y+2+3z+6\sqrt{x}+\sqrt{2 y+2}+\sqrt{3 z+6}, коли x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа, що задовольняють x+y+z=3x+y+z=3.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-006

Перевертання рядків, стовпців і діагоналей бінарної матриці

У наведених нижче квадратах дозволяється замінювати всі 0 на 1 і навпаки в будь-якому рядку, будь-якій колонці чи будь-якій діагоналі. Чи можна в кожному випадку отримати самі нулі? (0110110100110011)(0100110100011011)(0000110001011001)\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
10–11 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-007

Цифра одиниць після повторюваних операцій

На дошці написано числа 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. Далі виконують 2017 операцій так: вибирають два числа aa і bb, стирають їх і записують замість них a+b+2aba + b + 2ab. Зрештою на дошці залишається лише одне ціле число. Яких значень може набувати його цифра одиниць?
10–11 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-043

Значення квадратного тричлена, що є точним квадратом

Знайдіть суму всіх натуральних чисел nn таких, що n2+8n+44n^{2}+8 n+44 є точним квадратом.
8–10 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-031

Рівність синусів кутів у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — точка всередині трикутника ABCABC. Нехай DD — середина відрізка [PC][PC], EE — точка перетину прямих (AP)(AP) і (BC)(BC), а QQ — точка перетину прямих (BP)(BP) і (DE)(DE). Доведіть, що якщо кути PAC^\widehat{PAC} і PCB^\widehat{PCB} рівні, то sin⁡(BCQ^)=sin⁡(BAP^)\sin (\widehat{BCQ}) = \sin (\widehat{BAP}).
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-039

Паралельні прямі з дотичної та середин сторін

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через L,M,NL, M, N середини відрізків [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB]. Позначимо через (d)(d) дотичну в точці AA до описаного кола трикутника ABCABC. Пряма (LM)(LM) перетинає (d)(d) у точці PP, а пряма (LN)(LN) перетинає (d)(d) у точці QQ. Доведіть, що прямі (CP)(CP) і (BQ)(BQ) паралельні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-042

Точки сітки зі вписаними чотирикутниками

На площині дано 16 попарно різних точок, які позначено Ai,jA_{i, j} для i,j∈{1,2,3,4}i, j \in \{1,2,3,4\}. Ці точки задовольняють такі співвідношення колінеарності та вписаності в коло: ▹\triangleright для всякого i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точки Ai,1,Ai,2,Ai,3A_{i, 1}, A_{i, 2}, A_{i, 3} і Ai,4A_{i, 4} колінеарні; ▹\triangleright для всякого j∈{1,2,3,4}j \in \{1,2,3,4\} точки A1,j,A2,j,A3,jA_{1, j}, A_{2, j}, A_{3, j} і A4,jA_{4, j} колінеарні; ▹\triangleright чотирикутники A1,1A1,2A2,2A2,1,A2,1A2,2A3,2A3,1,A3,1A3,2A4,2A4,1,A1,2A1,3A2,3A2,2A_{1,1} A_{1,2} A_{2,2} A_{2,1}, A_{2,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{3,1}, A_{3,1} A_{3,2} A_{4,2} A_{4,1}, A_{1,2} A_{1,3} A_{2,3} A_{2,2}, A1,3A1,4A2,4A2,3,A1,1A2,2A2,3A1,4A_{1,3} A_{1,4} A_{2,4} A_{2,3}, A_{1,1} A_{2,2} A_{2,3} A_{1,4} і A1,1A2,2A3,2A4,1A_{1,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{4,1} є вписаними. Доведіть, що чотирикутник A4,1A3,2A3,3A4,4A_{4,1} A_{3,2} A_{3,3} A_{4,4} також є вписаним. Зауваження: чотирикутник називається вписаним, якщо його чотири вершини лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-028

Нерівність для добутку n змінних

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Знайдіть усі дійсні числа x⩾−1x \geqslant -1 такі, що для всіх дійсних чисел a1,…,an⩾1a_{1}, \ldots, a_{n} \geqslant 1 виконується a1+x2×⋯×an+x2⩽a1a2⋯an+x2.\frac{a_{1}+x}{2} \times \cdots \times \frac{a_{n}+x}{2} \leqslant \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}+x}{2} .
9–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-018

Гра в доміно на дошці 2 на 2018

Адальберт і Бабетта грають у доміно на прямокутній сітці висотою 2 клітинки та шириною 2018 клітинок. Адальберт починає, кладучи доміно розміру 1×21 \times 2 горизонтально так, щоб воно покривало рівно дві клітинки сітки. Потім Бабетта так само кладе доміно 1×21 \times 2 вертикально, і так далі. Той, хто першим не зможе зробити хід, не перекривши вже покладене доміно, програв. Доведіть, що Адальберт має виграшну стратегію.
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.