Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

230 задач
КомбінаторикаІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-010

Породження цілочисельних наборів сумою та максимумом

Люсі спочатку записує на дошку ss цілочисельних 2022-наборів. Після цього вона може взяти будь-які два (не обов'язково різні) набори v=(v1,…,v2022)\mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_{2022}) і w=(w1,…,w2022)\mathbf{w} = (w_1, \ldots, w_{2022}), які вона вже записала, і застосувати до них одну з таких операцій, щоб отримати новий набір: v+w=(v1+w1,…,v2022+w2022)v∨w=(max⁡(v1,w1),…,max⁡(v2022,w2022))\begin{aligned} & \mathbf{v} + \mathbf{w} = (v_1 + w_1, \ldots, v_{2022} + w_{2022}) \\ & \mathbf{v} \vee \mathbf{w} = (\max(v_1, w_1), \ldots, \max(v_{2022}, w_{2022})) \end{aligned} а потім записати цей набір на дошку. Виявляється, що в такий спосіб Люсі може за скінченну кількість кроків записати на дошку будь-який цілочисельний 2022-набір. Яке найменше можливе число ss наборів, які вона записала спочатку?
10–11 класиІнші інваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-005

Обміни горішків-сусідів у ямках навколо дерева

Івасик і Телесик зібрали на зиму 20212021 горішок. Івасик пронумерував горішки числами від 11 до 20212021 та вирив 20212021 ямку навколо їхнього улюбленого дерева. Наступного ранку він побачив, що Телесик поклав у кожну ямку по одному горішку, геть не турбуючись про порядок горішків. Івасик засмутився та вирішив упорядкувати горішки через таку послідовність з 20212021 дії: протягом kk-ї дії він міняє місцями горішки, що є сусідніми з горішком за номером kk. Доведіть, що знайдеться таке kk, коли впродовж kk-ї дії помінялися місцями горішки з номерами aa і bb, де a<k<ba < k < b.
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-005

Гра з 99 стільцями по колу і найбільше k

На вечірку прийшли 9999 гостей. Двоє ведучих — Ганна та Боб, що не входять до складу гостей, грають у таку гру. По колу розставлено 9999 стільців, і спочатку гості ходять навколо них. Ганна та Боб роблять ходи по черзі, кожним ходом ведучий вибирає гостя, що стоїть, і вказує йому на вільний стілець cc, на який той має сісти. Якщо при цьому принаймні один зі стільців, що є сусіднім до стільця cc, зайнятий, то гість, котрий на ньому сидить, має підвестися. Якщо зайнято обидва стільці, то ведучий вибирає одного з двох гостей, хто має підвестися. Ганна, яка розпочинає гру першою, прагне, щоб після її деякого ходу були зайнятими принаймні kk стільців. При якому найбільшому значенні kk, незалежно від того, як гратиме Боб, вона зможе цього досягти?
10–11 класиНапівінваріанти
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-006

Початковий многочлен для отримання (A, B)-хороших многочленів

Неконстантний многочлен S(x)S(x) із дійсними коефіцієнтами записано на дошці. Дозволено вибрати многочлен P(x)P(x), уже записаний на дошці, та дописати довільний многочлен вигляду P(C+x)P(C + x) або C+P(x)C + P(x), де CC — дійсне число. Більше того, можна вибрати довільні два (можливо, однакові) многочлени P(x)P(x) та Q(x)Q(x), уже записані на дошці, та дописати многочлени P(Q(x))P(Q(x)) та P(x)+Q(x)P(x) + Q(x). Многочлени з дошки не прибирають. Дано дві множини дійсних чисел A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} та B={b1,b2,…,bn}B = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}. Многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами назвемо (A,B)(A, B)-хорошим, якщо f(A)=Bf(A) = B, де f(A)={f(ai):i=1,n‾}.f(A) = \{f(a_i) : i = \overline{1, n}\}. Знайдіть усі можливі многочлени S(x)S(x), що могли бути записані на дошці спочатку, якщо для довільних скінченних множин дійсних чисел AA та BB, для яких ∣A∣=∣B∣|A| = |B|, можна отримати (A,B)(A, B)-хороший многочлен за скінченну кількість дозволених операцій.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-006

Числа від 1 до 15 і сумарне значення виразів

На аркуші паперу записано числа 1,2,3,…,14,151, 2, 3, \ldots, 14, 15. Андрій і Дарина виконують такі дії: Андрій вибирає на аркуші два довільних числа, наприклад xx і yy, витирає їх і записує суму x+yx + y на цьому аркуші. Водночас Дарина записує значення виразу xy(x+y)xy(x + y) у свій зошит. Вони виконують ці операції, доки на аркуші не залишиться єдине число. Тоді Дарина додає всі числа, що були записані в її зошиті. Позначимо їх суму через kk. а) Доведіть, що значення kk не залежить від порядку виконання операцій. б) Знайдіть значення kk.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-032

Скорочення рядка з дозволеними вставками

Хакерка замкнена в підземному промисловому комплексі. Перед нею екран комп'ютера, на якому з'являється довге повідомлення довжини 7272, що складається із символів EE, XX, II, TT, по рівно 1818 літер кожного виду в деякому на вигляд випадковому порядку. Повідомленням можна маніпулювати, вставляючи в довільне місце повідомлення будь-яку з комбінацій EXEX, XEXE, ITIT, TITI, IXIXIIXIXI Таку комбінацію можна також стирати, де б вона не траплялася в повідомленні. Хакерка може втекти, коли систему буде зламано, а це відбувається тоді, коли на екрані залишиться лише слово EXIT. Покажіть, що вона може втекти, використавши менше ніж 20192019 операцій.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-011

Ітеративна заміна в послідовності добутків

Нехай m≥2m \ge 2 — натуральне число. Розглянемо 2m2m чисел 1⋅2,2⋅3,3⋅4,…,2m(2m+1).1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \dots, 2m(2m + 1). Хід полягає у виборі трьох чисел a,b,ca, b, c і заміні їх одним числом abcab+bc+ca.\frac{abc}{ab + bc + ca}. Після m−1m-1 таких ходів залишаться лише два числа. Припустивши, що одне з них дорівнює 43\frac{4}{3}, доведіть, що інше перевищує 4.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-028

Перерозподіл монет на круглому столі

Є 20192019 тарілок, розставлених навколо круглого столу, і на кожній з них лежить по одній монеті. Аліса та Боб грають у гру, яка складається з нескінченної кількості раундів. У кожному раунді Аліса спочатку вибирає тарілку, на якій є принаймні одна монета. Потім Боб пересуває одну монету з цієї тарілки на одну з двох сусідніх тарілок, яку обирає він. Визначте, чи може Боб обирати свої ходи так, щоб, незалежно від того, як Аліса обирає свої ходи, на жодній тарілці ніколи не було більше двох монет.
10–11 класиІнші інваріанти2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-009

Дотичні відрізки між колами, що не перетинаються

На дошці намальовано 20172017 попарно зовнішніх кіл, причому жодні два не дотикаються і жодні три не мають спільної дотичної. Дотичним відрізком називається відрізок, який є спільною дотичною до двох кіл і починається в одній точці дотику, а закінчується в іншій. Лучано малює дотичні відрізки на дошці, один за одним, так, щоб жоден дотичний відрізок не перетинав жодних інших кіл чи раніше намальованих дотичних відрізків. Лучано продовжує малювати дотичні відрізки, доки це можливо. Знайдіть усі можливі кількості дотичних відрізків, коли він закінчить малювання.
10–11 класиПланарні графи2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2015-002

Заміни дробів на дошці до останнього числа

Числа 12016,22016,32016,…,20152016\frac{1}{2016}, \frac{2}{2016}, \frac{3}{2016}, \dots, \frac{2015}{2016} записані на дошці. За один хід можна стерти будь-які два числа aa і bb та замінити їх на 3ab−2a−2b+2.3ab - 2a - 2b + 2. Яким буде єдине число, що залишиться після 2014 ходів?
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-028

Гра з кульками у двох мисках

Альберт і Бетті грають у таку гру. На столі стоять дві миски: червона миска і синя миска. На початку гри в червоній мисці лежить 100100 синіх кульок, а в синій мисці — 100100 червоних кульок. Кожним ходом гравець має зробити один із таких ходів: a) Взяти з однієї миски дві кульки різних кольорів і викинути їх. b) Взяти із синьої миски дві червоні кульки й перекласти їх у червону миску. c) Взяти з червоної миски дві сині кульки й перекласти їх у синю миску. Вони ходять по черзі, починає Альберт. Гравець, який першим забере останню червону кульку із синьої миски або останню синю кульку з червоної миски, перемагає. Визначте, хто має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2014-004

Гра типу Нім на шаховій дошці

Гра відбувається на шаховій дошці n×nn \times n. На початку на кожній клітинці лежить по 99 камінців. Двоє гравців AA і BB ходять по черзі, причому кожним ходом гравець вибирає або рядок, або стовпець і забирає по одному камінцю з кожної клітинки вибраного рядка чи стовпця. Дозволено вибирати рядок чи стовпець, лише якщо на кожній його клітинці є принаймні один камінець. Гравець, який першим не може зробити хід, програє гру. Першим ходить гравець AA. Знайдіть усі nn, для яких гравець AA має виграшну стратегію.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-026

Вирівнювання кульок у коробках

В грі для одного гравця є nn коробок з номерами 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n. На початку є 21k21k кульок у коробці kk, k=1,2,3,…,nk = 1, 2, 3, \dots, n. За один хід ви берете дві кульки з коробки kk, одну з цих кульок кладете в коробку k−1k-1, а другу кульку викидаєте, 1<k≤n1 < k \le n. Для яких nn можна за скінченну кількість ходів отримати однакову кількість кульок у кожній коробці?
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-012

Покриття відрізка двійковими інтервалами

Гравці AA і BB грають у фарбувальну гру на дійсній прямій. Гравець AA має горщик із фарбою з чотирма одиницями чорного чорнила. Кількості pp цього чорнила достатньо, щоб зачорнити (замкнений) дійсний проміжок довжини pp. У кожному раунді гравець AA вибирає деяке натуральне число mm і видає 1/2m1 / 2^{m} одиниць чорнила з горщика. Потім гравець BB вибирає ціле число kk і зачорнює проміжок від k/2mk / 2^{m} до (k+1)/2m(k+1) / 2^{m} (деякі частини цього проміжку могли бути зачорнені раніше). Мета гравця AA — досягти ситуації, коли горщик порожній, а проміжок [0,1][0,1] зачорнено не повністю. Визначте, чи існує стратегія гравця AA, що дає перемогу за скінченну кількість ходів.
10–11 класиІнші інваріанти
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-006

Монети у вершинах 2n-кутника та обміни на сторонах

2n2n різних монет розташовані у вершинах правильного 2n2n-кутника, по одній монеті у кожній вершині. За хід обирається одна із сторін 2n2n-кутника та міняються місцями дві монети, що лежать на кінцях обраної сторони. Припустимо, що після скінченної кількості ходів кожна пара монет була поміняна місцями рівно один раз. Доведіть, що деяка сторона не була обрана жодного разу.
10–11 класиІнші інваріанти
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-024

Таблиця 3×3 з числами 1, 8 і рівними сумами

Числа 11 і 88 записано в таблиці 3×33 \times 3, як показано на рис. 5.10. Решту сім комірок треба заповнити числами 22, 33, 44, 55, 66, 77 і 99, використовуючи кожне число рівно по одному разу, таким чином, щоб сума чисел у всіх чотирьох квадратах 2×22 \times 2 була однаковою. Знайдіть усі можливі способи заповнити таблицю. | | | | |---|---|---| | 11 | | | | | | 88 | | | | | Рис. 5.10
4–6 класиІнші інваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-003

Вгадування числа запитаннями про множини з брехнею

Алла та Богдан грають у гру під назвою «Ти ж мене підманула». У правилах гри фігурують два натуральних числа kk й nn, відомих до початку гри обом гравцям. Гра проходить так. Спершу Алла вибирає два натуральних числа xx та NN, які задовольняють умову 1⩽x⩽N1 \leqslant x \leqslant N. Вона повідомляє Богдану число NN, але значення xx тримає в таємниці. Богдан намагається дізнатися щось про число xx у такий спосіб: він називає довільну множину SS натуральних чисел (можливо, уже названу раніше) та питає Аллу, чи належить число xx щойно названій множині. Богдан може змінювати множину SS (і повторювати запитання) як завгодно багато разів. На кожне поставлене Богданом запитання Алла повинна відразу ж відповісти «так» або «ні». При цьому вона може брехати як завгодно багато разів за єдиної умови: серед відповідей Алли на довільне k+1k+1 послідовне запитання хоча б одна відповідь має бути правдивою. Після того як Богдан поставить Аллі стільки запитань, скільки йому потрібно, він повинен назвати деяку множину XX, що містить не більше за nn натуральних чисел. Якщо x∈Xx \in X, то Богдан перемагає, інакше він програє. Доведіть такі твердження: а) Якщо n⩾2kn \geqslant 2^k, то Богдан може забезпечити собі перемогу. б) Для довільного достатньо великого kk знайдеться таке ціле число n⩾1,99kn \geqslant 1{,}99^k, при якому Богдан не зможе забезпечити собі перемогу.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-006

Мурахи на дошці з правилами зіткнень

Нехай mm — натуральне число і розглянемо шахівницю, що складається з mm на mm одиничних квадратиків. У серединах деяких із цих одиничних квадратиків є мураха. У момент часу 0 кожна мураха починає рухатися зі швидкістю 1 паралельно до деякої сторони шахівниці. Коли дві мурахи, що рухаються в протилежних напрямках, зустрічаються, вони обидві повертають на 90∘90^{\circ} за годинниковою стрілкою і продовжують рухатися зі швидкістю 1. Коли зустрічаються більше ніж дві мурахи або коли зустрічаються дві мурахи, що рухаються у перпендикулярних напрямках, мурахи продовжують рухатися в тому самому напрямку, що й до зустрічі. Коли мураха досягає одного з країв шахівниці, вона падає з неї і більше не з'являється. Розглядаючи всі можливі початкові положення, визначте найпізніший можливий момент, у який остання мураха падає з шахівниці, або доведіть, що такий момент не обов'язково існує.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-011

П'ять відер у вершинах п'ятикутника та переповнення

П'ять однакових порожніх відер місткістю 2 літри стоять у вершинах правильного п'ятикутника. Попелюшка та її зла Мачуха проводять послідовність раундів: на початку кожного раунду Мачуха бере один літр води із сусідньої річки та довільно розподіляє його по п'яти відрах. Потім Попелюшка вибирає пару сусідніх відер, виливає їх у річку та ставить назад. Потім починається наступний раунд. Мета Мачухи — домогтися переповнення одного з цих відер. Мета Попелюшки — цьому запобігти. Чи може зла Мачуха змусити відро переповнитися?
10–11 класиІнші інваріанти2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2004-012

Перестановки стрибками по колу

Коло поділено на 13 ділянок, пронумерованих підряд від 1 до 13. П’ять бліх на ім’я A,B,C,DA, B, C, D і EE сидять на ділянках 1, 2, 3, 4 і 5. Блоха може стрибнути на вільну ділянку, віддалену на п’ять позицій в будь-який бік навколо кола. Одночасно стрибає лише одна блоха, і дві блохи не можуть перебувати на одній ділянці. Після кількох стрибків блохи знову опиняються на ділянках 1, 2, 3, 4, 5, але, можливо, в іншому порядку, ніж на початку. Які порядки можливі?
10–11 класиІнші інваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2002-001

X-множини і Y-множини серед синіх точок

Дано натуральне число nn. Позначимо через TT множину всіх точок (x;y)(x; y) координатної площини xOyxOy, де xx і yy — невід'ємні цілі числа такі, що x+y<nx + y < n. Кожну точку множини TT пофарбовано червоним або синім кольором. Якщо точка (x;y)(x; y) червона, то всі точки (x′;y′)(x'; y') з TT, для яких x′≤xx' \le x і y′≤yy' \le y, також червоні. Назвемо XX-множиною множину з nn синіх точок, що мають різні координати xx, а YY-множиною — множину з nn синіх точок, що мають різні координати yy. Доведіть, що кількість XX-множин дорівнює кількості YY-множин.
10–11 класиІнші інваріанти
Балтійський шляхBW-2001-019

Перетворення четвірки цілих чисел

З послідовності цілих чисел (a,b,c,d)(a, b, c, d) за один крок можна отримати кожну з послідовностей (c,d,a,b),(b,a,d,c),(a+nc,b+nd,c,d),(a+nb,b,c+nd,d),(c, d, a, b),(b, a, d, c),(a+n c, b+n d, c, d),(a+n b, b, c+n d, d), для довільного цілого nn. Чи можна послідовністю таких кроків отримати (3,4,5,7)(3,4,5,7) з (1,2,3,4)(1,2,3,4)?
10–11 класиІнші інваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-005

Рухи мурахи по розбиттю прямокутника

Прямокутник RR розбито на скінченну множину SS менших прямокутників зі сторонами, паралельними сторонам RR, так, що жодні три прямокутники з SS не мають спільної вершини. Мураха спочатку знаходиться в лівому нижньому куті RR. За одну операцію ми можемо вибрати прямокутник r∈Sr \in S такий, що мураха зараз знаходиться в одній з його вершин, скажімо cc, і перемістити мураху в одну з двох сусідніх до cc вершин прямокутника rr. Припустимо, що після скінченної кількості операцій мураха опиняється у правому верхньому куті RR. Доведіть, що деякий прямокутник r∈Sr \in S був обраний принаймні у двох операціях.
10–11 класиШляхи на графах
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-005

Розселення кроликів на цілочисельній прямій

Підземна нора складається з нескінченної послідовності кімнат, занумерованих цілими числами …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots. Спочатку деякі з кімнат зайняті одним або кількома кроликами. Кожен кролик хоче бути сам. Тому, якщо в одній кімнаті (скажімо, в кімнаті mm) є двоє або більше кроликів, то половина кроликів (з округленням униз) втече до кімнати m−1m-1, а половина (також з округленням униз) — до кімнати m+1m+1. Раз на хвилину це відбувається одночасно в усіх кімнатах, де є двоє або більше кроликів. Наприклад, якщо спочатку всі кімнати порожні, крім 5 кроликів у кімнаті №12 і 2 кроликів у кімнаті №13, то через хвилину в кімнатах №11–№14 буде відповідно 2, 2, 2 і 1 кролики, а всі інші кімнати будуть порожні. Тепер припустимо, що спочатку в кімнаті kk є k+1k+1 кроликів для кожного k=0,1,2,…,9,10k=0,1,2, \ldots, 9,10, а всі інші кімнати порожні. a. Доведіть, що зрештою кролики перестануть рухатися. b. Визначте, які кімнати будуть зайняті, коли це станеться.
10–11 класиНапівінваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-031

Гра типу Нім на шахівниці

Гра відбувається на шаховій дошці розміру n×nn \times n. На початку на кожній клітинці є 99 камінців. По черзі Емерік і Бенуа вибирають рядок або стовпець і забирають по одному камінцю з кожної клітинки вибраного рядка або стовпця. Вони можуть вибрати рядок або стовпець лише якщо на кожній його клітинці є принаймні один камінець. Гравець, який першим не може зробити хід, програє партію. Емерік ходить першим. Знайдіть усі nn, для яких Бенуа має виграшну стратегію.
8–10 класиІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.