Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

172 задачі
АлгебраІнші класичні нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-042

Мінімальна кількість правильних відповідей на конкурсі

2019 учнів беруть участь у конкурсі й кожен відповідає на 6 запитань. Наприкінці конкурсу помічають, що серед правильних відповідей, даних будь-якою групою з 3 учнів, є принаймні одна правильна відповідь принаймні до 5 із 6 запитань конкурсу. Яке мінімальне значення загальної кількості правильних відповідей на запитання конкурсу?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-067

Оптимальна стала у нерівності з вкладеними сумами

Знайдіть найменшу дійсну сталу α\alpha таку, що для всіх натуральних чисел nn і дійсних чисел 0=y0<y1<⋯<yn0 = y_{0} < y_{1} < \cdots < y_{n} виконується така нерівність: α∑k=1n(k+1)3/2yk2−yk−12≥∑k=1nk2+3k+3yk.\alpha \sum_{k=1}^{n} \frac{(k+1)^{3 / 2}}{\sqrt{y_{k}^{2}-y_{k-1}^{2}}} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}+3 k+3}{y_{k}} \text{.}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-009

Циклічна сума дробів з чисельниками 5 + 2b + c²

Нехай a,b,ca, b, c — невід'ємні дійсні числа такі, що a+b+c=1a+b+c=1. Доведіть, що 5+2b+c21+a+5+2c+a21+b+5+2a+b21+c⩾13\frac{5+2 b+c^{2}}{1+a}+\frac{5+2 c+a^{2}}{1+b}+\frac{5+2 a+b^{2}}{1+c} \geqslant 13
8–10 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2019-024

Нерівність для середніх з параметром

Нехай nn — натуральне число. Визначте, чи існує дійсне число ε>0\varepsilon>0 (залежне від nn), таке, що для всіх додатних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} виконується x1x2⋯xnn≤(1−ϵ)⋅x1+x2+⋯+xnn+ϵ⋅n1x1+1x2+⋯+1xn\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leq (1-\epsilon) \cdot \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}+\epsilon \cdot \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}}
10–11 класиНерівність Коші
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-002

Сума з НСД зсунутих змінних

Нехай aa, bb і cc — натуральні числа. Знайдіть найменше значення, якого може набувати такий вираз: aНСД(a+b,a−c)+bНСД(b+c,b−a)+cНСД(c+a,c−b)\frac{a}{\text{НСД}(a+b, a-c)}+\frac{b}{\text{НСД}(b+c, b-a)}+\frac{c}{\text{НСД}(c+a, c-b)}
10–11 класиІнші класичні нерівності2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-001

Сума квадратів через квадрати різниць

Нехай aa, bb і cc — невід'ємні дійсні числа, жодні два з яких не рівні. Доведіть, що a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2>2.\frac{a^2}{(b-c)^2} + \frac{b^2}{(c-a)^2} + \frac{c^2}{(a-b)^2} > 2.
10–11 класиНерівність Коші
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-058

Нерівність для сум через добутки впорядкованих чисел

a) Нехай x1⩾x2>0x_{1} \geqslant x_{2}>0 і y1⩾y2>0y_{1} \geqslant y_{2}>0 — дійсні числа такі, що x1⩾y1 і x1x2⩾y1y2x_{1} \geqslant y_{1} \text{ і } x_{1} x_{2} \geqslant y_{1} y_{2} Доведіть, що x1+x2⩾y1+y2x_{1}+x_{2} \geqslant y_{1}+y_{2} b) Нехай x1⩾x2⩾…⩾xn>0x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant \ldots \geqslant x_{n}>0 і y1⩾y2⩾…⩾yn>0y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \ldots \geqslant y_{n}>0 — дійсні числа такі, що x1x2⋯xi⩾y1y2⋯yi для i=1,…,nx_{1} x_{2} \cdots x_{i} \geqslant y_{1} y_{2} \cdots y_{i} \text{ для } i=1, \ldots, n Доведіть, що x1+x2+⋯+xn⩾y1+y2+⋯+ynx_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geqslant y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}
9–11 класиІнші класичні нерівності2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-031

Мінімум зваженої симетричної суми

Нехай aa, bb, cc — невід'ємні дійсні числа, для яких ab+bc+ca=3ab + bc + ca = 3. Нехай також a3b+b3c+c3a+2abc(a+b+c)=92a^3 b + b^3 c + c^3 a + 2abc(a + b + c) = \frac{9}{2} Яке найменше можливе значення виразу ab3+bc3+ca3ab^3 + bc^3 + ca^3?
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2017-009

Вибір знаків для квадратичної нерівності

Нехай n≥1n \geq 1 — натуральне число, а x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} — додатні дійсні числа. Доведіть, що можна вибрати a1,…,an∈{−1,1}a_{1}, \ldots, a_{n} \in \{-1,1\} так, щоб ∑i=1naixi2≥(∑i=1naixi)2\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}^{2} \geq \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}\right)^{2}
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-070

Максимальний визначник матриці з плюс-мінус одиниць

У матриці MM розміру 17×1717 \times 17 всі елементи дорівнюють ±1\pm 1. Максимально можливе значення ∣det⁡M∣|\operatorname{det} M| дорівнює NN. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 дає ⌊20min⁡(N/E,E/N)2⌋\left\lfloor 20 \min (N / E, E / N)^{2}\right\rfloor балів.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-003

Циклічна нерівність для сторін трикутника

Нехай aa, bb і cc — сторони трикутника, тобто: a+b>ca + b > c, b+c>ab + c > a і c+a>bc + a > b. Доведіть, що виконується нерівність: ab+1a2+ca+1+bc+1b2+ab+1+ca+1c2+bc+1>32\frac{a b + 1}{a^{2} + c a + 1} + \frac{b c + 1}{b^{2} + a b + 1} + \frac{c a + 1}{c^{2} + b c + 1} > \frac{3}{2}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2015-006

Цілочисельна послідовність з умовами на суму та обернені

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують натуральні числа a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} такі, що a1+2a2+3a3+…+nan=6na_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots+n a_{n}=6 n і 1a1+2a2+3a3+…+nan=2+1n\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\frac{3}{a_{3}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}=2+\frac{1}{n}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-018

Оцінка кількості пар знайомих у зібранні

Нехай nn і pp — цілі числа ⩾1\geqslant 1. На зібранні з nn осіб будь-які дві особи мають не більше ніж pp спільних знайомих; звісно, якщо AA знає BB, то BB знає AA. Доведіть, що кількість невпорядкованих пар {A,B}\{A, B\} осіб, які знають одна одну, не перевищує pn3\sqrt{\mathrm{p}n^{3}}.
8–10 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-113

Сума квадратів, обмежена медіаною

Знайдіть найбільше дійсне число cc таке, що ∑i=1101xi2≥cM2\sum_{i=1}^{101} x_{i}^{2} \geq c M^{2} для будь-яких дійсних чисел x1,…,x101x_{1}, \ldots, x_{101} таких, що x1+⋯+x101=0x_{1}+\cdots+x_{101}=0 і MM — медіана чисел x1,…,x101x_{1}, \ldots, x_{101}.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-100

Мінімізація суми зі зваженими замінами

Зафіксуємо додатне дійсне число c>1c>1 і натуральне число nn. Спочатку на дошці написані числа 1,c,…,cn−11, c, \ldots, c^{n-1}. Щохвилини Боб вибирає два числа a,ba, b на дошці й замінює їх на ca+c2bc a + c^{2} b. Доведіть, що через n−1n-1 хвилин на дошці залишиться одне число, не менше за (cn/L−1c1/L−1)L\left(\frac{c^{n / L}-1}{c^{1 / L}-1}\right)^{L} де ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} і L=1+log⁡ϕ(c)L=1+\log _{\phi}(c).
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2014-023

Многочлен без дійсних коренів з обмеженими коефіцієнтами

Нехай nn — парне натуральне число, а c1,c2,…,cn−1c_1, c_2, \dots, c_{n-1} — дійсні числа, що задовольняють умову ∑i=1n−1∣ci−1∣<1.\sum_{i=1}^{n-1} |c_i - 1| < 1. Доведіть, що многочлен 2xn−cn−1xn−1+cn−2xn−2−⋯−c1x+22x^n - c_{n-1}x^{n-1} + c_{n-2}x^{n-2} - \dots - c_1x + 2 не має дійсних коренів.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-026

Сума радіусів описаних кіл трикутників з інцентром

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC. Нехай RAR_A, RBR_B і RCR_C — радіуси описаних кіл трикутників BICBIC, CIACIA і AIBAIB відповідно, а RR — радіус описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що RA+RB+RC≤3RR_A + R_B + R_C \le 3R.
11 класІнші класичні нерівності
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-022

Циклічна система з оберненими числами

Знайдіть усі розв’язки системи {x−y+1z=2013,y−z+1x=2013,z−x+1y=2013.\begin{cases} x - y + \frac{1}{z} = 2013, \\ y - z + \frac{1}{x} = 2013, \\ z - x + \frac{1}{y} = 2013. \end{cases} у додатних дійсних числах.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-002

Циклічна нерівність для дійсних чисел

Нехай aa, bb, cc і dd — додатні дійсні числа. Доведіть, що a−bb+c+b−cc+d+c−dd+a+d−aa+b≥0\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b} \geq 0
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2012-003

Нерівність з циклічною сумою a/(b + tc)

Доведіть, що для всіх дійсних a,b,c>0a, b, c > 0 і для будь-якого дійсного t⩾0t \geqslant 0 виконується ab+tc+bc+ta+ca+tb⩾31+t.\frac{a}{b+t c}+\frac{b}{c+t a}+\frac{c}{a+t b} \geqslant \frac{3}{1+t} .
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2012-015

Нерівність із симетричними раціональними доданками

Нехай aa, bb і cc — три додатні дійсні числа, для яких a2+b2+c2≥3a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3. Доведіть, що (a+1)(b+2)(b+1)(b+5)+(b+1)(c+2)(c+1)(c+5)+(c+1)(a+2)(a+1)(a+5)≥32\frac{(a+1)(b+2)}{(b+1)(b+5)}+\frac{(b+1)(c+2)}{(c+1)(c+5)}+\frac{(c+1)(a+2)}{(a+1)(a+5)} \geq \frac{3}{2}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2011-021

Нерівність за квадратичної умови

Нехай a,b,ca, b, c — додатні дійсні числа такі, що 2a2+b2=9c22a^2 + b^2 = 9c^2. Доведіть, що 2ca+cb≥3.\frac{2c}{a} + \frac{c}{b} \ge \sqrt{3}.
10–11 класиНерівність Коші4 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-022

Циклічна сума з квадратичними чисельниками

Знайдіть усі додатні дійсні розв’язки (a,b,c,d)(a, b, c, d) рівняння a2−bdb+2c+d+b2−cac+2d+a+c2−dbd+2a+b+d2−aca+2b+c=0\frac{a^{2}-b d}{b+2 c+d}+\frac{b^{2}-c a}{c+2 d+a}+\frac{c^{2}-d b}{d+2 a+b}+\frac{d^{2}-a c}{a+2 b+c}=0
10–11 класиІнші класичні нерівності
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-001

Відношення сторін до хорд дотичного трикутника

Дано довільний трикутник ABCABC з площею TT і периметром LL. Нехай PP, QQ, RR — точки дотику вписаного кола до сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Доведіть нерівність (ABPQ)3+(BCQR)3+(CARP)3≥23⋅L2T\left(\frac{AB}{PQ}\right)^3 + \left(\frac{BC}{QR}\right)^3 + \left(\frac{CA}{RP}\right)^3 \geq \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{L^2}{T}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-109

Мінімальна вартість шляху на сітці з квадратичними вагами

Наведена сітка зображує гірський хребет; число в кожній клітинці позначає висоту гори, що там розташована. Перехід з гори висотою aa на гору висотою bb потребує (b−a)2(b-a)^2 часу. Припустимо, що ви стартуєте на горі висотою 11 і можете рухатися вгору, вниз, вліво або вправо, щоб перейти від однієї гори до наступної. Який найменший час потрібен, щоб дістатися до гори висотою 4949? | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 2 | 5 | 9 | 14 | 20 | 27 | 34 | | 4 | 8 | 13 | 19 | 26 | 33 | 39 | | 7 | 12 | 18 | 25 | 32 | 38 | 43 | | 11 | 17 | 24 | 31 | 37 | 42 | 46 | | 16 | 23 | 30 | 36 | 41 | 45 | 48 | | 22 | 29 | 35 | 40 | 44 | 47 | 49 |
10–11 класиШляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.