Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

172 задачі
ГеометріяКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-102

Найбільша відстань у фігурі з шестикутника й півкола

На рисунку нижче правильний шестикутник зі стороною 11 приєднано до півкола діаметром 11. Яка найбільша відстань між будь-якими двома точками фігури?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-137

Об'єднання півкругів діаметра 2 на осях

Для 0≤y≤20 \leq y \leq 2 нехай DyD_{y} — півкруг діаметра 22 з одним кінцем у точці (0,y)(0, y), другим кінцем на додатній частині xx-осі, причому криволінійна межа розташована далі від початку координат, ніж прямолінійна. Знайдіть площу об'єднання півкругів DyD_{y} для всіх 0≤y≤20 \leq y \leq 2.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-088

Площа об'єднання півкругів діаметра 2 на осях

Для 0≤y≤20 \leq y \leq 2 нехай DyD_{y} — півкруг діаметра 22 з одним кінцем діаметра в точці (0,y)(0, y), другим кінцем — на додатній осі xx, причому криволінійна межа далі від початку координат, ніж прямолінійна. Знайдіть площу об'єднання всіх півкругів DyD_{y} для 0≤y≤20 \leq y \leq 2.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-110

Дотичні кола на діаметрі та відношення відрізків

ABAB — діаметр кола OO. XX — точка на діаметрі ABAB така, що AX=3BXAX = 3 BX. Різні кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 дотикаються до кола OO в точках T1T_1 і T2T_2 та до діаметра ABAB в точці XX. Прямі T1XT_1 X і T2XT_2 X перетинають коло OO знову в точках S1S_1 і S2S_2. Чому дорівнює відношення T1T2S1S2\frac{T_1 T_2}{S_1 S_2}?
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-077

Коло, дотичне до двох кіл і осі абсцис

Два кола одиничного радіуса намальовано в координатній площині: одне з центром (0,1)(0,1), а друге з центром (2,y)(2, y), для деякого дійсного числа yy між 00 і 11. Третє коло намальовано так, щоб воно дотикалося до обох інших кіл, а також до осі xx. Який найменший можливий радіус цього третього кола?
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-062

Кола, дотичні до прямих, що перетинаються, у чотирикутнику

Опуклий чотирикутник BCDEBCDE лежить у площині. Прямі EBEB і DCDC перетинаються в точці AA, причому AB=2AB = 2, AC=5AC = 5, AD=200AD = 200, AE=500AE = 500 і cos⁡∠BAC=79\cos \angle BAC = \frac{7}{9}. Яка найбільша кількість кругів, що не перекриваються, які можуть лежати в чотирикутнику BCDEBCDE так, що всі вони дотикаються до обох прямих BEBE і CDCD?
10–11 класиКола, що дотикаються
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-004

Дотичні кола і вписаний чотирикутник

Нехай gg — пряма на площині. Кола k1k_{1} і k2k_{2} лежать з одного боку від прямої gg і дотикаються до прямої gg в точках AA відповідно BB. Ще одне коло k3k_{3} дотикається до кола k1k_{1} в DD і до кола k2k_{2} в CC. Доведіть, що: (a) Чотирикутник ABCDA B C D є вписаним. (b) Прямі BCB C і ADA D перетинаються на колі k3k_{3}.
10–11 класиКола, що дотикаються3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-103

Відношення радіусів вкладених кіл трикутника 10 на 12

Знайдіть відношення радіуса кола ωi+1\omega_{i+1} до радіуса кола ωi\omega_{i}, де ω1\omega_{1} — вписане коло рівнобедреного трикутника TT з основою 1010 і висотою 1212, а коло ωi+1\omega_{i+1} дотикається до кола ωi\omega_{i} та обох бічних сторін трикутника при i>1i > 1.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-084

Найбільша куля над тором, дотична до площини

Тор (бублик) із внутрішнім радіусом 22 і зовнішнім радіусом 44 лежить на плоскому столі. Який радіус найбільшої сферичної кулі, яку можна покласти зверху в центр тора так, щоб куля все ще торкалася горизонтальної площини? (Якщо площина xx-yy — це стіл, то тор утворено обертанням кола в площині xx-zz з центром у точці (3,0,1)(3,0,1) і радіусом 11 навколо осі zz. Сферична куля має центр на осі zz і спирається або на стіл, або на бублик.)
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-087

Сумарна довжина кіл при заповненні трикутника колами

Вписане коло ω\omega рівностороннього трикутника ABCABC має радіус 11. Три менші кола вписано так, що вони дотикаються до кола ω\omega і до сторін трикутника ABCABC, як показано. Потім вписано ще три менші кола, що дотикаються до попередніх кіл і до кожної з двох сторін трикутника ABCABC. Цей процес повторюють нескінченну кількість разів. Чому дорівнює сумарна довжина всіх кіл?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-044

Паралельні дотичні до дотичних кіл

Коло радіуса r1r_{1} з центром у точці NN дотикається до кола радіуса r2r_{2} з центром у точці MM. Нехай ll і jj — дві спільні зовнішні дотичні до цих двох кіл. Коло з центром у точці PP радіуса r2r_{2} зовні дотикається до кола NN в точці дотику прямої ll до кола NN, а пряма kk — зовнішня дотична до кіл PP і NN така, що точки MM, NN і PP лежать по один бік від прямої kk. При якому відношенні r1/r2r_{1} / r_{2} прямі jj і kk паралельні?
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-053

Коло, дотичне до хорди та кола

Коло Ω\Omega має радіус 55. Точки AA і BB лежать на колі Ω\Omega так, що хорда ABAB має довжину 66. Одиничне коло ω\omega дотикається до хорди ABAB у точці TT. Відомо, що коло ω\omega також внутрішньо дотикається до кола Ω\Omega, знайдіть AT⋅BTAT \cdot BT.
10–11 класиКола, що дотикаються
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-006

Коло, дотичне до сторони і дуги

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника △ABC\triangle ABC. Припустімо, що коло з центром у точці OO дотикається до відрізка BCBC у точці PP і дотикається до дуги BCBC (яка не містить AA) у точці QQ. Якщо ∠BAO=∠CAO\angle BAO = \angle CAO, доведіть, що має виконуватися рівність ∠PAO=∠QAO\angle PAO = \angle QAO.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-076

Коло, дотичне до вписаного кола рівностороннього трикутника

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай Ω\Omega — коло, вписане в трикутник ABCABC, а ω\omega — коло, що дотикається зовні до кола Ω\Omega, а також до сторін ABAB і ACAC. Знайдіть відношення радіуса кола Ω\Omega до радіуса кола ω\omega.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-077

Площа трикутника в конфігурації дотичних кіл

Кола ω1\omega_{1}, ω2\omega_{2} і ω3\omega_{3} мають центри в точках MM, NN і OO відповідно. Кола ω2\omega_{2} і ω3\omega_{3}, ω3\omega_{3} і ω1\omega_{1} та ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точках AA, BB і CC відповідно. Пряма MOMO вдруге перетинає ω3\omega_{3} і ω1\omega_{1} в точках PP і QQ відповідно, а пряма APAP вдруге перетинає ω2\omega_{2} в точці RR. Відомо, що ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Обчисліть площу трикутника PQRPQR.
10–11 класиКола, що дотикаються
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-018

Перетин в одній точці прямих через дотик напіввписаних кіл

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Нехай ΓA\Gamma_A — коло, яке дотикається до прямих ABAB, ACAC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, ΓB\Gamma_B — коло, яке дотикається до прямих ABAB, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, а ΓC\Gamma_C — коло, яке дотикається до прямих ACAC, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо. Нехай кола ΓA,ΓB,ΓC\Gamma_A, \Gamma_B, \Gamma_C дотикаються до кола Γ\Gamma у точках P,Q,RP, Q, R. Доведіть, що прямі AP,BQ,CRAP, BQ, CR перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2007-001

Коло, дотичне до описаного кола та сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а OO — його описане коло. Нехай O′O' — коло, яке дотикається до кола OO в точці AA і дотикається до сторони BCBC в точці DD. Коло O′O' перетинає прямі ABAB і ACAC в точках EE і FF відповідно. Коло O′O' перетинає прямі OO′OO' і EO′EO' в точках A′(≠A)A' (\neq A) і G(≠E)G (\neq E) відповідно. Прямі BOBO і A′GA'G перетинаються в точці HH. Доведіть, що DF2=AF⋅GHDF^2 = AF \cdot GH.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-002

Покриття цілочисельної решітки великими кругами

Квадратна решітка на евклідовій площині складається з усіх точок (m,n)(m, n), де mm і nn — цілі числа. Чи можна покрити всі точки решітки нескінченною сім'єю кругів з попарно неперетинними внутрішностями, якщо кожен круг цієї сім'ї має радіус щонайменше 55?
10–11 класиПокриття, пакування, фарбування
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-047

Ланцюжок із чотирьох дотичних кіл

Нехай CC — одиничне коло. Чотири різні менші рівні кола C1,C2,C3,C4C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} дотикаються до CC зсередини так, що CiC_{i} дотикається зовні до Ci−1C_{i-1} і Ci+1C_{i+1} при i=1,…,4i=1, \ldots, 4, де C5C_{5} позначає C1C_{1}, а C0C_{0} позначає C4C_{4}. Обчисліть радіус кола C1C_{1}.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-089

Коло, дотичне до вписаного кола і трикутника

Коло радіуса tt дотикається до гіпотенузи, одного з катетів і вписаного кола рівнобедреного прямокутного трикутника з радіусом вписаного кола r=1+sin⁡π8r=1+\sin \frac{\pi}{8}. Знайдіть rtr t.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-093

Коло, дотичне до двох сторін і описаного кола

У трикутнику ABCABC сторони AB=65AB = 65, BC=33BC = 33 і AC=56AC = 56. Знайдіть радіус кола, дотичного до сторін ACAC і BCBC та до описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-071

Четверте коло, дотичне до трьох

Чотири кола з радіусами 1,2,31, 2, 3 і rr попарно зовнішньо дотикаються одне до одного. Обчисліть rr. (Доведення не потрібне.)
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-021

Радіус описаного кола для дотичних кіл

Точки AA, CC і BB лежать на прямій у цьому порядку так, що AC=4AC = 4 і BC=2BC = 2. Кола ω1\omega_{1}, ω2\omega_{2} і ω3\omega_{3} побудовано на відрізках BC‾\overline{BC}, AC‾\overline{AC} і AB‾\overline{AB} як на діаметрах. Коло Γ\Gamma зовні дотикається до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} у точках DD і EE відповідно та внутрішньо дотикається до кола ω3\omega_{3}. Обчисліть радіус описаного кола трикутника CDECDE.
10–11 класиКола, що дотикаються
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2006-024

Коло через чотири точки у дотичних колах

Коло k1k_{1} лежить усередині другого кола k2k_{2} і дотикається до нього в точці AA. Пряма через AA перетинає k1k_{1} ще раз у точці BB, а коло k2k_{2} — у точці CC. Дотична до кола k1k_{1} через BB перетинає k2k_{2} у точках DD і EE. Дотичні до кола k1k_{1} через CC дотикаються до кола k1k_{1} у точках FF і GG. Доведіть, що D,E,FD, E, F і GG лежать на одному колі.
10–11 класиКола, що дотикаються
Італійська математична олімпіадаITAMO-2004-002

Геометричне місце точок зовнішнього дотику кіл

На площині дано дві паралельні прямі r,sr, s і дві точки P,QP, Q, причому P∈rP \in r і Q∈sQ \in s. Розглянемо пари кіл (CP,CQ)\left(C_{P}, C_{Q}\right), перше з яких дотикається до прямої rr в PP, а друге дотикається до прямої ss в QQ, і які також зовнішньо дотикаються між собою в точці, яку назвемо TT. Визначити геометричне місце таких точок TT при зміні всіх можливих пар кіл.
10–11 класиКола, що дотикаються

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.