Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

157 задач
АлгебраЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-014

Випадкове блукання вершинами октаедра

Почавши з однієї вершини, мураха повзає між вершинами правильного октаедра. Дійшовши до вершини, вона навмання вибирає сусідню вершину (яка має з нею спільне ребро) і йде до неї вздовж відповідного ребра (усі можливості рівноймовірні). Яка ймовірність того, що після проходження 20062006 ребер мураха повернеться до вершини, з якої почала?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-019

Лінійна рекурента з квадратичною неоднорідністю

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність дійсних чисел, задана умовами a0=21a_{0}=21, a1=35a_{1}=35 і an+2=4an+1−4an+n2a_{n+2}=4 a_{n+1}-4 a_{n}+n^{2} при n≥2n \geq 2. Обчисліть остачу від ділення a2006a_{2006} на 100100.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-022

Система з a ≥ b ≥ c і a⁵

Нехай a≥b≥ca \geq b \geq c — дійсні числа такі, що a2bc+ab2c+abc2+8=a+b+ca2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b+3abc=−4a2b2c+ab2c2+a2bc2=2+ab+bc+ca\begin{aligned} a^{2} b c + a b^{2} c + a b c^{2} + 8 &= a + b + c \\ a^{2} b + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + c^{2} a + c^{2} b + 3 a b c &= -4 \\ a^{2} b^{2} c + a b^{2} c^{2} + a^{2} b c^{2} &= 2 + a b + b c + c a \end{aligned} Якщо a+b+c>0a + b + c > 0, то обчисліть ціле число, найближче до a5a^{5}.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-028

Границя рекурентно заданої послідовності

Послідовність задано умовами A0=0A_{0}=0, A1=1A_{1}=1, A2=2A_{2}=2, а для цілих n≥3n \geq 3, An=An−1+An−2+An−33+1n4−n2A_{n}=\frac{A_{n-1}+A_{n-2}+A_{n-3}}{3}+\frac{1}{n^{4}-n^{2}} Обчисліть lim⁡N→∞AN\lim _{N \rightarrow \infty} A_{N}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-032

Випадкове блукання з поверненням у нуль

Товстою називають монету, яка при підкиданні з ймовірністю 25\frac{2}{5} падає гербом, з ймовірністю 25\frac{2}{5} — решкою, а з ймовірністю 15\frac{1}{5} стає на ребро. Пан Товстун стартує з точки 00 на числовій прямій. Щохвилини він підкидає товсту монету. Якщо випадає герб, він рухається вліво, зменшуючи свою координату на 11; якщо випадає решка, він рухається вправо, збільшуючи свою координату на 11. Якщо монета стає на ребро, він повертається в точку 00. Якщо пан Товстун робитиме це нескінченно довго, яку частку часу він проведе в точці 00?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2005-005

Трійки, у яких сума ділить суму степенів

Будемо казати, що впорядкована трійка натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c) є nn-потужною, якщо a≤b≤ca \leq b \leq c, НСД(a,b,c)=1\text{НСД}(a, b, c)=1 і an+bn+cna^{n}+b^{n}+c^{n} ділиться на a+b+ca+b+c. Наприклад, (1,2,2)(1,2,2) є 5-потужною. a) Знайдіть усі впорядковані трійки (якщо такі є), які є nn-потужними для всіх n≥1n \geq 1. b) Знайдіть усі впорядковані трійки (якщо такі є), які є 2004-потужними і 2005-потужними, але не є 2007-потужними. [Зауважимо, що НСД(a,b,c)\text{НСД}(a, b, c) — це найбільший спільний дільник чисел a,ba, b і cc.]
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-025

Випадкове блукання по вершинах тетраедра

Мураха починає рух з однієї вершини тетраедра. Щохвилини вона переходить по випадковому ребру до сусідньої вершини. Яка ймовірність того, що через годину мураха опиниться в тій самій вершині, з якої почала рух?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-093

Ймовірність дами в центрі після 2004 ходів

У грі, схожій на гру в три карти, дилер кладе на стіл три карти: пікову даму та дві червоні карти. Карти лежать у ряд, причому дама спочатку в центрі; отже, конфігурація карт така: RQRRQR. Далі дилер робить ходи. Кожним ходом дилер навмання міняє місцями центральну карту з однією з двох крайніх карт (тому конфігурація після першого ходу — або RRQRRQ, або QRRQRR). Яка ймовірність того, що після 20042004 ходів центральною картою буде дама?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-031

Двійкова послідовність з рекурентним співвідношенням за модулем

bi={1 якщо i кратне 30 інакше b_{i}= \begin{cases}1 & \text{ якщо } i \text{ кратне } 3 \\ 0 & \text{ інакше }\end{cases} Нехай {ai}\{a_{i}\} — послідовність елементів множини {0,1}\{0,1\} така, що bn≡an−1+an+an+1( mod 2)b_{n} \equiv a_{n-1}+a_{n}+a_{n+1} \quad(\bmod 2) для 0≤n≤590 \leq n \leq 59 (a0=a60a_{0}=a_{60} і a−1=a59a_{-1}=a_{59}). Знайдіть усі можливі значення 4a0+2a1+a24 a_{0}+2 a_{1}+a_{2}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2004-018

Подільність у лінійній рекурентній послідовності

Нехай mm — натуральне число, більше за 11. Послідовність x0,x1,x2,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots визначено так: xi={2i, для 0≤i≤m−1∑j=1mxi−j для i≥mx_{i}= \begin{cases}2^{i}, & \text{ для } \quad 0 \leq i \leq m-1 \\ \sum_{j=1}^{m} x_{i-j} & \text{ для } \quad i \geq m\end{cases} Знайдіть найбільше kk, для якого існує kk послідовних членів послідовності, кожен з яких ділиться на mm.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2004-001

Лінійне рекурентне співвідношення для температур

Спостерігаючи за мінімальними температурами, зафіксованими в Чезенатіко протягом грудня і січня, Стефано помітив дивний збіг: в усі дні цього періоду (крім першого й останнього) мінімальна температура дорівнювала сумі мінімальних температур попереднього і наступного днів. Відомо, що 3 грудня мінімальна температура становила 5 градусів, а 31 січня — 2 градуси. Визначте мінімальну температуру 25 грудня.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2001-020

Десятковий розклад числа 10000/9899

Яка 18-та цифра після коми в числі 100009899\frac{10000}{9899}?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2000-009

Слова з літер I, M, O без сусідніх M

За допомогою трьох літер I, M, O утворюють слова довжини nn. Скільки існує таких слів довжини nn, у яких немає сусідніх M?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-1999-007

Твірна функція з квадратичними коефіцієнтами

Нехай 11−x−x2−x3=∑i=0∞anxn\frac{1}{1-x-x^{2}-x^{3}}=\sum_{i=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, для яких натуральних чисел nn виконується an−1=n2a_{n-1}=n^{2}?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний гурток БеркліBMC-2022-026

Очікувана кількість спроб у грі з рівнями

«Дуже дратівлива гра» має шість рівнів. Коли рівень намагаються пройти, у разі успіху гравець переходить на наступний рівень, а в разі невдачі повертається на попередній рівень (а якщо він на рівні 1, то починає спочатку). a) Аеріт досягає успіху на кожному рівні з імовірністю 12\frac{1}{2}. Скільки спроб проходження рівня в середньому їй знадобиться, щоб пройти гру? b) Боб досягає успіху на кожному рівні з імовірністю 13\frac{1}{3}. Скільки спроб проходження рівня в середньому йому знадобиться, щоб пройти гру?
Лінійні рекурентні послідовності
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2013-006

Різниці добутків чисел Фібоначчі

Нехай F1,F2,F3…F_{1}, F_{2}, F_{3} \ldots — послідовність Фібоначчі, тобто послідовність натуральних чисел, у якій F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1 і Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} для всіх n≥1n \geq 1. Число Фібоначчі за означенням — це число, що зустрічається в цій послідовності. Нехай P1,P2,P3,…P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots — послідовність, що складається з усіх цілих чисел, які є добутками двох чисел Фібоначчі (не обов'язково різних), записаних у порядку зростання. Перші кілька членів такі: 1,2,3,4,5,6,8,9,10,13,…1,2,3,4,5,6,8,9,10,13, \ldots адже, наприклад, 3=1⋅3,4=2⋅23=1 \cdot 3, 4=2 \cdot 2 і 10=2⋅510=2 \cdot 5. Розглянемо послідовність DnD_{n} послідовних різниць послідовності PnP_{n}, де Dn=Pn+1−PnD_{n}=P_{n+1}-P_{n} при n≥1n \geq 1. Перші кілька членів послідовності DnD_{n} такі: 1,1,1,1,1,2,1,1,3,…1,1,1,1,1,2,1,1,3, \ldots Доведіть, що кожне число в послідовності DnD_{n} є числом Фібоначчі.
Числа Фібоначі
Математичний гурток БеркліBMC-2013-010

Періодична функція з квадратичною тотожністю

Скільки існує функцій f:Z→Rf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють такі три властивості? (a) f(1)=1f(1)=1; (b) Для всіх m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z} виконується f(m)2−f(n)2=f(m+n)f(m−n)f(m)^2 - f(n)^2 = f(m+n) f(m-n); (c) Для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z} виконується f(n)=f(n+2013)f(n) = f(n+2013).
Лінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-057

Цілі коефіцієнти мінімального лінійного рекурентного співвідношення

Нехай (xn)n≥0(x_n)_{n \ge 0} — послідовність цілих чисел, яка задовольняє лінійне рекурентне співвідношення порядку kk для фіксованого натурального числа kk, тобто існують сталі дійсні числа c1,c2,…,ckc_1, c_2, \dots, c_k такі, що xn+k=∑r=1kcrxn+k−rx_{n+k} = \sum_{r=1}^k c_r x_{n+k-r}, ∀n≥0\forall n \ge 0. Припустимо, що kk — найменше натуральне число з цією властивістю. Доведіть, що cj∈Zc_j \in \mathbb{Z} для всіх jj, 1≤j≤k1 \le j \le k.
Лінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-020

Рекурентне співвідношення для сум степенів

a. Доведіть, що наведена нижче тотожність завжди справджується: an+1+bn+1=(a+b)(an+bn)−ab(an−1+bn−1)a^{n+1}+b^{n+1}=(a+b)\left(a^{n}+b^{n}\right)-a b\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right) b. Нехай aa і bb — дійсні числа такі, що a+b=1a+b=1 і ab=−1ab=-1. Доведіть, що число a10+b10a^{10}+b^{10} є цілим, обчисливши його значення.
Лінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-013

Знаменники ланцюгових дробів в інтервалі

Нехай nn, a1a_1, a2a_2, …\dots, ana_n — натуральні числа. Визначимо q0=1q_0 = 1, q1=a1q_1 = a_1 і qk+1=ak+1qk+qk−1q_{k+1} = a_{k+1}q_k + q_{k-1} для 1≤k≤n−11 \le k \le n-1. Доведіть, що для заданого c>1c > 1 існує таке K>0K > 0, що для всіх M>KM > K існують натуральне число nn і a1,a2,…,an∈{1,2}a_1, a_2, \dots, a_n \in \{1, 2\} такі, що M≤qn<c⋅MM \le q_n < c \cdot M.
Лінійні рекурентні послідовності
Математичний гурток БеркліBMC-2006-004

Цілочисельна послідовність із рекурентним співвідношенням з коренем

Послідовність чисел {an}\{a_n\} задано формулами a1=1a_1 = 1, an+1=2an+3an2+1a_{n+1} = 2a_n + \sqrt{3a_n^2 + 1} при n≥1n \geq 1. Доведіть, що кожен член послідовності є цілим числом.
Лінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-113

Послідовність типу Фібоначчі із заданими членами

У послідовності кожен член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох безпосередньо попередніх членів, другий член дорівнює 1, а п’ятий член дорівнює 2005. Чому дорівнює шостий член? A) 3002 B) 3008 C) 3010 D) 4002 E) 5004
Лінійні рекурентні послідовності
Математичний гурток БеркліBMC-2000-006

Члени рекурентної послідовності як квадрати

Нехай x1=x2=1x_{1} = x_{2} = 1 і xn+2=2xn+1+8xn−1x_{n+2} = 2 x_{n+1} + 8 x_{n} - 1 для n≥1n \geq 1. Доведіть, що xnx_{n} є квадратом для всіх nn.
Метод математичної індукції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1991-004

Перетин чотирикутників, що стискаються

Нехай P0=(1,0),P1=(1,1),P2=(0,1),P3=(0,0)P_0 = (1,0), P_1 = (1,1), P_2 = (0,1), P_3 = (0,0). Pn+4P_{n+4} — середина відрізка PnPn+1P_n P_{n+1}. QnQ_n — чотирикутник PnPn+1Pn+2Pn+3P_n P_{n+1} P_{n+2} P_{n+3}. AnA_n — внутрішність QnQ_n. Знайдіть ⋂n≥0An\bigcap_{n \ge 0} A_n.
Лінійні рекурентні послідовності
Математичний гурток БеркліBMC-0000-239

Подільність періодів числових браслетів

Числовий браслет за основою mm утворюють так: вибирають два невід'ємні цілі числа, менші за mm (не обидва 00), і продовжують за годинниковою стрілкою, причому кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх за модулем mm. Фігуру замикають, щойно вона починає повторюватися. На малюнку праворуч показано два числові браслети за основою 1010, які починаються з пар (1,3)(1,3) і (2,2)(2,2) відповідно. Доведіть, що довжини всіх числових браслетів за даної основи є дільниками довжини числового браслета, що починається з (0,1)(0,1).
Періодичні і неперіодичні послідо…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.