Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

158 задач
АлгебраПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-085

Послідовність, задана рекурентним співвідношенням з цілою частиною

Послідовність натуральних чисел a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots задовольняє an+1=n⌊ann⌋+1a_{n+1}=n\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor+1 для всіх натуральних чисел nn. Якщо a30=30a_{30}=30, скільки можливих значень може набувати a1a_{1}? (Для дійсного числа xx через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначається найбільше ціле число, яке не перевищує xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-058

Обмежена послідовність із квадратичним рекурентним співвідношенням

Нехай {ai}i≥0\{a_{i}\}_{i \geq 0} — послідовність дійсних чисел, визначена співвідношенням an+1=an2−122020⋅2n−1a_{n+1} = a_{n}^2 - \frac{1}{2^{2020 \cdot 2^{n}} - 1} при n≥0n \geq 0. Знайдіть найбільше значення a0a_{0}, для якого {ai}i≥0\{a_{i}\}_{i \geq 0} обмежена.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-002

Послідовність з рекурсією через модуль різниці

Нехай (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} — послідовність дійсних чисел. Припустимо, що an=∣an+1−an+2∣a_{n}=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right| для кожного натурального числа nn. Крім того, a0a_{0} і a1a_{1} додатні та різні. Доведіть, що послідовність (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} необмежена.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-088

Нелінійна рекурентна послідовність, яку не можна продовжити

Послідовність дійсних чисел a0,a1,…,a9a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{9}, у якій a0=0a_{0}=0, a1=1a_{1}=1 і a2>0a_{2}>0, задовольняє an+2anan−1=an+2+an+an−1a_{n+2} a_{n} a_{n-1}=a_{n+2}+a_{n}+a_{n-1} для всіх 1≤n≤71 \leq n \leq 7, але її не можна продовжити до a10a_{10}. Іншими словами, не існує значень a10∈Ra_{10} \in \mathbb{R}, які задовольняють a10a8a7=a10+a8+a7a_{10} a_{8} a_{7}=a_{10}+a_{8}+a_{7} Обчисліть найменше можливе значення a2a_{2}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-029

Рекурентне співвідношення з умовою квадратного кореня

Знайти всі дійсні числа aa такі, що існує нескінченна послідовність додатних дійсних чисел x0,x1,x2,x3,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, яка для кожного nn задовольняє рівність xn+2=axn+1−xn.x_{n+2}=\sqrt{a x_{n+1}-x_{n}} .
9–11 класиПослідовності (інші властивості)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-009

Рекурентна послідовність, що перевищує квадрат

Нехай a1=1a_1 = 1, а для кожного n>1n > 1 нехай an=n⋅a⌊n2⌋a_n = n \cdot a_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}. Доведіть, що для кожного n≥12n \ge 12 виконується an>n2a_n > n^2.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-028

Єдиний індекс для обмеження середнього послідовності

Нехай a0<a1<a2<…a_{0} < a_{1} < a_{2} < \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел. Доведіть, що існує єдине ціле число n⩾1n \geqslant 1 таке, що an<a0+a1+a2+⋯+ann⩽an+1.a_{n} < \frac{a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}}{n} \leqslant a_{n+1}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-010

Факторіально-рекурентна послідовність, що перевищує межу

Визначимо послідовність {an}\{a_{n}\} умовами a1=1a_{1}=1 і an=(an−1)!+1a_{n}=(a_{n-1})!+1 для кожного n>1n>1. Знайдіть найменше nn, для якого an>1010a_{n}>10^{10}.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-136

Джет-лагові числа через рекурентну послідовність

Означимо послідовність a1,a2…a_{1}, a_{2} \ldots так: a1=1a_{1}=1, а для кожного n≥2n \geq 2, an={n−2 якщо an−1=0an−1−1 якщо an−1≠0a_{n}= \begin{cases}n-2 & \text{ якщо } a_{n-1}=0 \\ a_{n-1}-1 & \text{ якщо } a_{n-1} \neq 0\end{cases} Невід'ємне ціле число dd називається джет-лаговим, якщо існують невід'ємні цілі числа r,sr, s та натуральне число nn такі, що d=r+sd=r+s і an+r=an+sa_{n+r}=a_{n}+s. Скільки цілих чисел із {1,2,…,2016}\{1,2, \ldots, 2016\} є джет-лаговими?
10–11 класиІнші інваріанти
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-023

Послідовність з умовою про середнє арифметичне

У ряд записано 125125 різних натуральних чисел так, що серед будь-яких трьох послідовних чисел друге більше за середнє арифметичне першого і третього. Знайдіть найбільше число в ряду, якщо воно є найменшим можливим за таких умов.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-018

Послідовність з умовою на локальні максимуми

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число і a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — дійсні числа. a. Припустимо, що ai<max⁡(ai−1,ai+1)a_{i}<\max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. Доведіть, що ai<max⁡(a1,an)a_{i}<\max \left(a_{1}, a_{n}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. b. Припустимо, що ai⩽max⁡(ai−1,ai+1)a_{i} \leqslant \max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. Чи правда, що ai⩽max⁡(a1,an)a_{i} \leqslant \max \left(a_{1}, a_{n}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}? Зауваження. Якщо xx і yy — два дійсні числа, то через max⁡(x,y)\max (x, y) позначають більше з цих двох чисел.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-061

Нескінченна сума об'ємів конусів

Заможний король наказав ковалю виготовити йому великий келих, внутрішня порожнина якого — конус висоти 99 дюймів з діаметром основи 66 дюймів (тобто отвір у верхній частині келиха має діаметр 66 дюймів). На одному зі своїх численних бенкетів він наказує наповнити кухоль ущерть журавлинним соком. Для кожного натурального числа nn король енергійно розмішує напій і робить ковток так, щоб висота рідини, що залишилася в келиху після ковтка, зменшилася на 1n2\frac{1}{n^{2}} дюйма. Невдовзі після цього, поки король відволікся, придворний блазень доливає чистий сойлент у келих, доки той знову не стане повним. Король робить ковтки рівно щохвилини, причому перший ковток — рівно за хвилину після початку бенкету. З плином часу кількість соку, випита королем (у кубічних дюймах), наближається до числа rr. Знайдіть rr.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-026

Половина з 400 синіх і 200 зелених точок відрізком

На прямій лежать 400 синіх точок і 200 зелених точок. Доведіть, що можна знайти відрізок, який містить рівно 200 синіх точок і 100 зелених точок.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-105

Відстані равлика і переслідувача по раундах

Ви стоїте біля стовпа, а равлик повзе прямо від стовпа зі швидкістю 1 см/с1~\text{см}/\text{с}. Коли равлик опиняється на відстані 11 метра, ви починаєте «Раунд 1». У раунді nn (n≥1n \geq 1) ви рухаєтеся прямо до равлика зі швидкістю (n+1) см/с(n+1)~\text{см}/\text{с}. Діставшись равлика, ви одразу розвертаєтеся й повертаєтеся до стартового стовпа зі швидкістю (n+1) см/с(n+1)~\text{см}/\text{с}. Діставшись стовпа, ви одразу розвертаєтеся, і починається раунд n+1n+1. На початку раунду 100100 на якій відстані в метрах буде равлик?
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-037

Строго зростаючі послідовності, вільні від сум

Знайдіть усі нескінченні послідовності a1,a2,…a_1, a_2, \dots натуральних чисел, які задовольняють такі умови: a. a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \dots, b. не існує натуральних чисел i,j,ki, j, k, не обов'язково різних, для яких ai+aj=aka_i + a_j = a_k, c. існує нескінченно багато натуральних чисел kk, для яких ak=2k−1a_k = 2k - 1.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-028

Надійні числа в монотонній послідовності

Нехай a1⩽a2⩽…a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots — монотонно зростаюча послідовність натуральних чисел. Натуральне число nn називається надійним, якщо існує натуральний індекс ii, для якого n=iain=\frac{i}{a_{i}}. Доведіть: якщо 2013 є надійним, то 20 також є надійним.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-002

Рекурентна послідовність із дробовим оновленням

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність дійсних чисел така, що a0=2a_{0}=2 і an+1=an1+ana_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+a_{n}} для n≥0n \geq 0. Обчисліть a2012a_{2012}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2012-041

Рекурентна послідовність із цілою частиною середнього та взаємно простими зсувами

Нехай x0,x1,…,xn0−1x_0, x_1, \dots, x_{n_0-1} — цілі числа, а d1,d2,…,dkd_1, d_2, \dots, d_k — натуральні числа, причому n0=d1>d2>⋯>dkn_0 = d_1 > d_2 > \dots > d_k і НСД(d1,d2,…,dk)=1\text{НСД}(d_1, d_2, \dots, d_k) = 1. Для кожного цілого n≥n0n \ge n_0 визначимо xn=⌊xn−d1+xn−d2+⋯+xn−dkk⌋.x_n = \left\lfloor \frac{x_{n-d_1} + x_{n-d_2} + \dots + x_{n-d_k}}{k} \right\rfloor. Доведіть, що послідовність {xn}\{x_n\} зрештою стає сталою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-008

Квадратичне рекурентне співвідношення зі сталою послідовністю

Послідовність {xn∣n=0,1,2,…}\{x_{n} \mid n=0,1,2, \ldots\} дійсних чисел задано залежно від дійсного параметра aa так: {x0=axn+1=2−xn2 при n≥0\left\{ \begin{array}{l} x_{0}=a \\ x_{n+1}=2-x_{n}^{2} \quad \text{ при } n \geq 0 \end{array} \right. a. Знайдіть усі значення aa, для яких xnx_{n} є сталою (тобто виконується xn=ax_{n}=a для всіх nn). b. Доведіть, що для одного зі значень, знайдених у пункті (a) (позначимо його yy), якщо ∣a∣<∣y∣,∣xn∣<∣y∣|a|<|y|,\left|x_{n}\right|<|y| для всіх nn. c. Доведіть, що якщо ∣a∣>∣y∣,xn|a|>|y|, x_{n} є строго спадною.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-140

Квадратична рекурента з умовами монотонності

Нехай f(x)=x2−r2x+r3f(x) = x^{2} - r_{2} x + r_{3} для всіх дійсних чисел xx, де r2r_{2} і r3r_{3} — деякі дійсні числа. Визначимо послідовність {gn}\{g_{n}\} для всіх невід'ємних цілих чисел nn рівностями g0=0g_{0} = 0 і gn+1=f(gn)g_{n+1} = f(g_{n}). Припустимо, що {gn}\{g_{n}\} задовольняє такі три умови: (i) g2i<g2i+1g_{2i} < g_{2i+1} і g2i+1>g2i+2g_{2i+1} > g_{2i+2} для всіх 0≤i≤20110 \leq i \leq 2011; (ii) існує натуральне число jj таке, що gi+1>gig_{i+1} > g_{i} для всіх i>ji > j; (iii) {gn}\{g_{n}\} необмежена. Якщо AA — найбільше число таке, що A≤∣r2∣A \leq |r_{2}| для будь-якої функції ff, яка задовольняє ці властивості, знайдіть AA.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-073

Хронологічне впорядкування математичних досягнень

Впорядкуйте будь-яку підмножину наведених нижче математичних досягнень двадцятого століття в хронологічному порядку, від найранішого до найпізнішого. Якщо ви правильно розмістите щонайменше шість подій по порядку, ваша оцінка становитиме 2(n−5)2(n-5), де nn — кількість подій у вашій послідовності; інакше ваша оцінка дорівнюватиме нулю. Заувага: якщо ви впорядкуєте будь-яку кількість подій з однією помилкою, ваша оцінка дорівнюватиме нулю. A). Аксіоми теорії множин, опубліковані Цермело B). Теорія категорій, запроваджена Маклейном і Айленбергом C). Висунута гіпотеза Коллатца D). Число Ердеша, введене Гоффманом E). Перша делегація США, відправлена на Міжнародну математичну олімпіаду F). Теорема про чотири фарби, доведена за допомогою комп'ютера Аппелем і Гакеном G). Заснування математичного турніру Гарвард–МІТ H). Ієрархія граматик, описана Хомським I). Сформульовані проблеми Гільберта J). Теореми про неповноту, опубліковані Геделем K). Премія в мільйон доларів за задачі тисячоліття, запропонована Інститутом математики Клея L). Мінімальна кількість тасувань, потрібна для випадкового перетасування колоди карт, встановлена Діаконісом M). Рівновага Неша, запроваджена в докторській дисертації N). Доведення Великої теореми Ферма, завершене Вайлзом O). Алгоритм швидкого сортування, винайдений Гором Запишіть вашу відповідь як список літер, без ком і дужок.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2005-016

Послідовність з рекурентним співвідношенням через модуль різниці

Нескінченна послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots дійсних чисел задовольняє умову an=∣an+1−an+2∣a_{n}=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right| для всіх n≥0n \geq 0, причому a0a_{0} і a1a_{1} — різні додатні числа. Чи може ця послідовність бути обмеженою? Відповідь обґрунтуйте.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-014

Послідовні точки з порівну білих і чорних

Із 4n4n точок у ряду 2n2n пофарбовано в білий колір, а 2n2n — у чорний. Доведіть, що існує 2n2n послідовних точок, серед яких рівно nn білих і nn чорних.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-086

Границя відношення членів послідовності

Послідовність дійсних чисел x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots задовольняє lim⁡n→∞(x2n+x2n+1)=315\lim_{n \rightarrow \infty}\left(x_{2 n}+x_{2 n+1}\right)=315 і lim⁡n→∞(x2n+x2n−1)=2003\lim_{n \rightarrow \infty}\left(x_{2 n}+x_{2 n-1}\right)=2003. Обчисліть lim⁡n→∞(x2n/x2n+1)\lim_{n \rightarrow \infty}\left(x_{2 n} / x_{2 n+1}\right).
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-102

Зростаюча цілочисельна послідовність з умовою на відношення

Нехай (an)n⩾1\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1} — зростаюча послідовність натуральних чисел і kk — натуральне число. Припустимо, що для деякого r⩾1r \geqslant 1 виконується rar=k+1\frac{r}{a_{r}}=k+1. Доведіть, що існує ціле число s⩾1s \geqslant 1 таке, що sas=k\frac{s}{a_{s}}=k.
9–11 класиПослідовності (інші властивості)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.