Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

387 задач
АлгебраСуми послідовностей
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-098

Повний квадрат між сумами Sn і Sn+1

Нехай Sn=1⋅2+2⋅3+…+n(n+1)S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n(n+1), n∈Nn \in \mathbb{N}. Чи завжди між числами SnS_n і Sn+1S_{n+1} знайдеться повний квадрат?
8–9 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-128

Рівність із сумою квадратів біноміальних коефіцієнтів

Для усіх натуральних nn довести рівність: ∑k=0n−1(Cn−1k)2k+1=C2nn2n.\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\left(C_{n-1}^{k}\right)^{2}}{k+1}=\frac{C_{2n}^{n}}{2n}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-135

Найменше α з нерівністю для сум послідовності

Знайдіть найменше α\alpha, для якого існує така послідовність додатних чисел (xn)(x_n), n∈Z+n \in Z^+, що для будь-якого натурального nn виконується нерівність: x0+x1+…+xn≤αxn−1x_0 + x_1 + \ldots + x_n \le \alpha x_{n-1}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-092

Сума дробів та доведення нерівності

Довести нерівність: ∑k=2n3k−1(k−1)2k2(k+1)<12\sum_{k=2}^{n}\frac{3k-1}{(k-1)^2k^2(k+1)}<\frac{1}{2}.
10–11 класиСуми послідовностей
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-026

Різниця сум синіх і жовтих чисел до 2024

Петрик фарбує натуральні числа від 11 до 20242024 таким чином: 11 та 22 — у жовтий колір, 33 та 44 — у білий, 55 та 66 — у синій, далі аналогічно: наступні два числа 77 та 88 — жовті, числа 99 та 1010 — білі, числа 1111 та 1212 — сині і так далі, до самого кінця. Чому дорівнює різниця між сумою всіх синіх чисел та сумою всіх жовтих чисел?
4 класСуми послідовностей
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-22-23-062

Шість чисел за правилом суми сусідів із сумою 2020

Петрик написав на дошці перше та друге число. Після цього Оксана написала на дошці третє число як суму першого та другого, далі — четверте число як суму другого та третього, п’яте як суму третього та четвертого, шосте число як суму четвертого та п’ятого. Прийшла Дарина, додала всі 66 написаних на дошці чисел, записала їхню суму 20202020, а потім витерла всі початкові 66 чисел. Василю сказали, як утворилося написане на дошці число 20202020. Чи зможе він знайти принаймні одне з раніше написаних шести чисел?
6 класЧисла Фібоначі
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-22-23-070

Чи можна дізнатися стерте число за сумою 2222

Петрик написав на дошці одне, а слідом за ним друге число. Після цього Оксана написала на дошці третє число як суму першого та другого, потім — четверте число як суму другого та третього, слідом — п’яте як суму третього та четвертого і так далі, до десятого числа, що є сумою восьмого та дев’ятого чисел. Прийшла Дарина, додала всі числа й написала на дошці їхню суму 22222222, після того витерла всі попередні написані 1010 чисел. Василю сказали, як утворилося записане число. Чи зможе він записати принаймні одне з раніше написаних десяти чисел?
7 класЧисла Фібоначі
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-22-23-066

Рівність сум цілих чисел від -101 і -166

Відомо, що сума всіх цілих чисел від −101-101 до 9696 включно дорівнює сумі всіх цілих чисел від −166-166 до числа XX включно. Знайдіть число XX. Укажіть усі можливі відповіді.
6 класСуми послідовностей
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-069

Номер Петрика з подвійною сумою номерів кімнат

Гуртожиток мав 1616 поверхів, на кожному з яких було 100100 кімнат, що були занумеровані числами від 00 до 15991599. Петрика поселили в кімнату з номером nn, що задовольняє умову n⩾200n \geqslant 200, при цьому сума номерів кімнат від 00 до nn удвічі більша за суму номерів від 00 до номера кімнати Василя. У кімнаті з яким номером поселили Петрика?
10 класРівняння Пелля
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-038

Чисельник суми дробів з добутками у знаменнику

Яким буде чисельник цього виразу, якщо його записати як правильний нескоротний дріб 12⋅3+23⋅5+35⋅8+48⋅12+512⋅17+617⋅23?\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{3}{5\cdot 8}+\frac{4}{8\cdot 12}+\frac{5}{12\cdot 17}+\frac{6}{17\cdot 23}?
6 класСуми послідовностей
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-080

Максимальна сума b при двох варіантах переходу

Нехай a0,a1,a2,…,a100a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{100} і b1,b2,…,b100b_1, b_2, \ldots, b_{100} — дві послідовності дійсних чисел. Для всіх n=0,99‾n=\overline{0,99} справджуються умови: an+1=12an,bn+1=12−anабоan+1=2an2, bn+1=an.a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{1}{2}-a_n \quad \text{або} \quad a_{n+1}=2a_n^2,\ b_{n+1}=a_n. Для різних nn можуть виконуватися неоднакові умови, наприклад, для n=1n = 1 може виконуватися умова an+1=12ana_{n+1}=\frac{1}{2}a_n, bn+1=12−anb_{n+1}=\frac{1}{2}-a_n, а для n=2n = 2 може виконуватися умова an+1=2an2a_{n+1}=2a_n^2, bn+1=anb_{n+1}=a_n. Відомо, що a100⩽a0a_{100}\leqslant a_0. Якого максимального значення може набувати сума b1+b2+…+b100b_1+b_2+\ldots+b_{100}?
11 класНерівність Коші-Буняковського
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-083

Сума обернених НСК послідовних зростаючих чисел

Доведіть, що коли справджуються нерівності 0<a0<a1<…<an0 < a_0 < a_1 < \ldots < a_n, то 1[a0,a1]+1[a1,a2]+…+1[an−1,an]⩽1−12n,\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + \ldots + \frac{1}{[a_{n-1}, a_n]} \leqslant 1 - \frac{1}{2^n}, де через [a,b][a, b] позначено НСК чисел aa, bb.
9 класНСД та НСК
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-18-19-036

Напрям руху равлика між клітинками 243 і 244

Равлик рухається на аркуші паперу в клітинку по спіралі (рис. 10.5), не заходячи двічі на жодну клітинку та не пропускаючи жодної, причому всі ці клітинки занумеровано послідовно. У якому напрямі равлик рухатиметься від клітинки з номером 243243 до клітинки з номером 244244 — нагору, донизу, ліворуч чи праворуч?
5 класСуми послідовностей
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-15-16-016

Сума цифр усіх двоцифрових чисел

Чому дорівнює сума цифр усіх двоцифрових чисел?
4 класСиметрія та розбиття на пари
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-001

Знаки для числа 2001 між числами до 1001

У записі 1∗2∗3∗4∗…∗999∗1000∗10011 * 2 * 3 * 4 * \ldots * 999 * 1000 * 1001 замініть зірочки “” знаками “+” та “−” так, щоб значення отриманого виразу становило 20012001.
Арифметична прогресія
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-024

Різниця кубів та суми квадратів натуральних чисел

а) Доведіть, що для будь-якого n∈Nn \in \mathbb{N} число (2n+1)3−(2n−1)3(2n + 1)^3 - (2n - 1)^3 можна подати у вигляді суми трьох квадратів натуральних чисел. б) Подайте число 20013−22001^3 - 2 у вигляді суми 29992999 відмінних від одиниці квадратів натуральних чисел.
Розкладання на множники і розкрит…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-008

Зважені часткові суми чисел з нульовою сумою

Для заданого натурального числа n⩾2n \geqslant 2 є дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n із проміжку [−1,1][-1, 1], сума яких дорівнює 00. а) Доведіть, що існує таке число k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \ldots, n\}, коли справджується нерівність ∣a1+2a2+…+kak∣⩽2k+14.\left| a_1 + 2a_2 + \ldots + ka_k \right| \leqslant \frac{2k+1}{4}. б) Доведіть, що для n>2n > 2 існує такий набір чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що відповідає умові задачі, а також для будь-якого k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \ldots, n\} справджується нерівність ∣a1+2a2+…+kak∣⩾2k+14.\left| a_1 + 2a_2 + \ldots + ka_k \right| \geqslant \frac{2k+1}{4}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-016

Рекурентна послідовність і сума перших n членів

Послідовність (an)(a_n) додатних дійсних чисел при довільному натуральному kk задовольняє умову ak+1=kakak2+(k−1)a_{k+1}=\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}. Доведіть, що a1+a2+…+an⩾na_1+a_2+\ldots+a_n\geqslant n для кожного натурального n⩾2n\geqslant 2.
7–9 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-006

Найбільша сума з 2n обмеженими змінними

Задано натуральне число nn. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати сума ∑1⩽r<s⩽2n(s−r−n) xrxs\sum\limits_{1\leqslant r<s\leqslant 2n}(s-r-n)\,x_r x_s при −1⩽xi⩽1-1\leqslant x_i\leqslant 1 для довільного i=1,2,…,2ni = 1, 2, \ldots, 2n.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-008

Пари многочленів з різницею дробів 1/x(x+α)

Задано дійсне число α\alpha. Знайдіть усі пари таких многочленів (P,Q)(P, Q) з дійсними коефіцієнтами, що рівність P(x)Q(x)−P(x+1)Q(x+1)=1x(x+α)\frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{P(x+1)}{Q(x+1)} = \frac{1}{x(x+\alpha)} виконується для нескінченної кількості x∈Rx \in \mathbb{R}.
10–11 класиРаціональні функції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-004

Найбільша і найменша суми після замін у наборі

Нехай задано впорядкований набір (a1;a2;…;an)(a_1; a_2; \ldots; a_n) дійсних чисел, n⩾3n \geqslant 3. Дозволяється замінити число aia_i, i=2,n−1‾i = \overline{2, n - 1} на таке число ai∗a_i^*, що ai+ai∗=ai−1+ai+1a_i + a_i^* = a_{i - 1} + a_{i + 1}. Нехай (b1;b2;…;bn)(b_1; b_2; \ldots; b_n) — набір з найбільшою сумою чисел, який можна отримати з даного, а (c1;c2;…;cn)(c_1; c_2; \ldots; c_n) — аналогічний набір з найменшою сумою. Для непарного n⩾3n \geqslant 3 і набору (1;3;…;n;2;4;…;n−1)(1; 3; \ldots; n; 2; 4; \ldots; n - 1) знайдіть значення виразів b1+b2+…+bnb_1 + b_2 + \ldots + b_n і c1+c2+…+cnc_1 + c_2 + \ldots + c_n.
10–11 класиАрифметична прогресія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-004

Нерівність для обернених квадратів членів арифметичної прогресії

Нехай n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \ge 2, a1,a2,…,an,an+1a_1, a_2, \ldots, a_n, a_{n+1} — додатні дійсні числа, які задовольняють умову a2−a1=a3−a2=…=an+1−an≥0a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = a_{n+1} - a_n \ge 0. Доведіть, що 1a22+1a32+…+1an2≤n−12⋅a1an+a2an+1a1a2anan+1.\frac{1}{a_2^2} + \frac{1}{a_3^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2} \le \frac{n - 1}{2} \cdot \frac{a_1 a_n + a_2 a_{n+1}}{a_1 a_2 a_n a_{n+1}}. З'ясуйте, коли в цій нерівності досягається рівність.
10–11 класиСуми послідовностей
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-002

Послідовність зі спільними членами всіх центральних

Нескінченна зростаюча послідовність натуральних чисел a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \ldots називається центральною, якщо для довільного натурального числа nn, середнє арифметичне перших ana_n членів послідовності дорівнює ana_n. Доведіть, що існує така нескінченна послідовність натуральних чисел b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots, що для довільної центральної послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що an=bna_n = b_n.
10–11 класиСуми послідовностей
Балтійський шляхBW-2024-005

Обмеженість послідовності з параметром λ і середнім

Знайдіть усі додатні дійсні числа λ\lambda такі, що кожна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots додатних дійсних чисел така, що an+1=λ⋅a1+a2+…+anna_{n+1} = \lambda \cdot \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} для всіх n⩾20242024n \geqslant 2024^{2024}, є обмеженою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-033

Кількість слів і подільність на степені трійки

Нехай kk — невід'ємне ціле число, а AA — непорожня скінченна множина. Визначимо слово з алфавіту AA довжини kk як послідовність елементів AA довжини kk. (Зауважимо, що за означенням порожня послідовність є словом довжини 00.) Нехай BB — множина всіх слів з дев'ятиелементного алфавіту {b,@,l,t,i,c,w,a,y}\{b, @, l, t, i, c, w, a, y\}, довжини яких не перевищують 20232023. Крім того, нехай MM — множина всіх слів з чотириелементного алфавіту {m,a,t,h}\{m, a, t, h\}, довжини яких не перевищують 20252025 і які містять елемент tt рівно двічі. (Наприклад, tata∈Mtata \in M, бо воно має довжину 44 і містить літеру tt двічі, але mahatma∉Mmahatma \notin M, бо воно містить літеру tt лише один раз.) Доведіть, що різниця ∣B∣−∣M∣|B| - |M| ділиться на 320233^{2023}.
10–11 класиРекурентний підрахунок3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.