Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

250 задач
АлгебраЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-008

Степені двійки як значення f(a+b) - f(a) - f(b)

Знайдіть усі підмножини SS множини {20,21,22,…}\{2^0, 2^1, 2^2, \ldots\}, для яких існують такі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких S={f(a+b)−f(a)−f(b)∣a,b∈N}.S = \{f(a+b) - f(a) - f(b) \mid a, b \in \mathbb{N}\}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-012

Натуральні чисельники дробів та стеля суми обернених знаменників

Нехай SS — непорожня скінченна множина, що складається з простих чисел. Нехай 1=b1<b2<b3<…1=b_1<b_2<b_3<\ldots — усі натуральні числа, чиї прості дільники належать до множини SS. Доведіть, що для всіх натуральних nn, окрім скінченної їх кількості, існують такі натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що справджується рівність: a1b1+a2b2+…+anbn=⌈1b1+1b2+…+1bn⌉.\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\ldots+\frac{a_n}{b_n}=\left\lceil \frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\ldots+\frac{1}{b_n} \right\rceil. Тут через ⌈x⌉\lceil x \rceil позначено найменше ціле число, що не менше за xx, тобто ⌈3⌉=3\lceil 3 \rceil = 3, ⌈π⌉=4\lceil \pi \rceil = 4.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-006

Найменша гарантована невдоволеність ста котів

Господарка втримує 100100 котів та має 100100 пакетів корму, маса кожного пакета — 11 кг. Для кожного із цих котів є своя миска, яка розрахована на певну масу корму (ця маса не обов'язково ціла величина), причому їхня сумарна місткість дорівнює 100100 кг. Коли кіт з мискою, що розрахована на mm кг, отримує MM кг корму (MM може бути більше за mm), то назвемо його рівнем невдоволеності величину ∣m−M∣|m-M|. Яку найменшу сумарну невдоволеність може гарантовано забезпечити господарка, використавши всі пакети, незалежно від місткості мисок її котів, якщо кожному коту вона може дати деяку цілу (можливо, нульову) кількість пакетів корму?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-007

Найменше значення суми цілих частин перестановки

Дано натуральне число n=2kn = 2^k. Якого найменшого значення може набувати вираз [a11]+[a22]+…+[ann],\left[\frac{a_1}{1}\right] + \left[\frac{a_2}{2}\right] + \ldots + \left[\frac{a_n}{n}\right], де (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) є перестановкою чисел (1,2,…,n)(1, 2, \ldots, n)?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-016

Вираз a² зі стелею дробу не точний квадрат

Нехай aa, bb — натуральні числа. Доведіть, що число a2+⌈4a2b⌉a^2+\left\lceil \frac{4a^2}{b}\right\rceil не є точним квадратом цілого числа. Тут через ⌈m⌉\lceil m\rceil позначено найменше ціле число, що більше або дорівнює zz.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-018

Дробова частина квадратного кореня з неквадрата

Множина MM — це підмножина всіх чисел множини {1;2;…;2015}\{1; 2; \ldots; 2015\}, які не є точними квадратами. Доведіть, що для кожного числа n∈Mn \in M справджується нерівність {n}>0,011\{\sqrt{n}\} > 0{,}011, де через {a}\{a\} позначено дробову частину числа aa.
7–9 класиЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-021

Натуральні M з натуральним членом послідовності

Знайдіть усі натуральні числа MM, для яких послідовність a0a_0, a1a_1, a2,…a_2, \ldots, що визначена a0=2M+12a_0 = \frac{2M+1}{2} і ak+1=ak[ak]a_{k+1} = a_k[a_k] при k=0,1,2,…k = 0, 1, 2, \ldots, містить хоча б один натуральний елемент.
7–9 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-008

Непарні члени послідовності цілих частин n^k/k

Задано натуральне число n>1n > 1. Доведіть, що серед членів послідовності (ak)k⩾1(a_k)_{k \geqslant 1}, заданої умовою ak=[nkk]a_k = \left[\dfrac{n^k}{k}\right], трапляється нескінченна кількість непарних чисел.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-013

Пари додатних чисел з рівністю для всіх n

Знайдіть усі пари додатних дійсних чисел aa і bb таких, що рівність [a[bn]]=n−1[a[bn]]=n-1 виконується для довільного натурального nn.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-005

Цілі частини кратних пі та арифметичні прогресії

Доведіть, що множина S={[nπ] ⁣:n=0,1,2,3,…}S=\{[n\pi]\colon n=0,1,2,3,\ldots\} містить арифметичну прогресію довільної скінченної довжини, але не містить нескінченної арифметичної прогресії.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-006

Трійки натуральних чисел і подільність цілої частини на p

З’ясуйте, чи існує нескінченно багато трійок (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел таких, що число pp ділить число ⌊(a+b2024)p⌋−c\left\lfloor (a+b\sqrt{2024})^p \right\rfloor - c для кожного простого числа pp. Примітка. Тут ⌊x⌋\lfloor x \rfloor позначає найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-001

Подільність на n сум цілих частин кратних α

Знайдіть усі такі дійсні числа α\alpha, що для кожного натурального nn число Sn=[α]+[2α]+…+[nα]S_n = [\alpha] + [2\alpha] + \ldots + [n\alpha] ділиться націло на число nn. Примітка. Тут через [z][z] позначено найбільше ціле число, що не перевищує zz. Наприклад, [−π]=−4[-\pi] = -4 та [2]=[2,9]=2[2] = [2{,}9] = 2.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-004

Сума цілих частин кратних p, q, r дорівнює n

Нехай pp, qq і rr — це додатні дійсні числа такі, що рівність [pn]+[qn]+[rn]=n[pn] + [qn] + [rn] = n справджується для нескінченної кількості натуральних nn. а) Доведіть, що числа pp, qq і rr є раціональними. б) Знайдіть кількість натуральних чисел cc, для яких існують натуральні числа aa та bb такі, що рівність [na]+[nb]+[nc]=n\left[\frac{n}{a}\right] + \left[\frac{n}{b}\right] + \left[\frac{n}{c}\right] = n справджується для нескінченної кількості натуральних nn.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Європейський математичний кубокEMC-2023-005

Усі множини дійсних чисел з коренем різниці квадратів

Знайдіть усі множини дійсних чисел SS такі, що: - 11 є найменшим елементом множини SS, - для всіх x,y∈Sx, y \in S таких, що x>yx > y, справджується умова x2−y2∈S\sqrt{x^2 - y^2} \in S.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-001

Мінімізація суми абсолютних відхилень

Професор Оук годує своїх 100 покемонів. Кожен покемон має миску, місткість якої — додатне дійсне число кілограмів. Ці місткості відомі професору Оуку. Сумарна місткість усіх мисок становить 100 кілограмів. Професор Оук розподіляє 100 кілограмів їжі так, що кожен покемон отримує невід'ємну цілу кількість кілограмів їжі (яка може бути більшою за місткість його миски). Рівень незадоволення покемона, який отримав NN кілограмів їжі і чия миска має місткість CC кілограмів, дорівнює ∣N−C∣|N-C|. Знайдіть найменше дійсне число DD таке, що незалежно від місткостей мисок професор Оук може розподілити їжу так, щоб сума рівнів незадоволення всіх 100 покемонів була не більшою за DD.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-001

Сума елементів таблиці з цілими частинами

Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 розглянемо таблицю n×nn \times n з елементом ⌊ijn+1⌋\left\lfloor\frac{ij}{n+1}\right\rfloor на перетині рядка ii і стовпця jj, для всіх i=1,…,ni=1, \ldots, n і j=1,…,nj=1, \ldots, n. Визначте всі цілі n⩾1n \geqslant 1, для яких сума всіх n2n^{2} елементів таблиці дорівнює 14n2(n−1)\frac{1}{4} n^{2}(n-1).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-005

Сума цілих частин за перестановкою

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найменше значення ⌊a11⌋+⌊a22⌋+⋯+⌊ann⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor за всіма перестановками (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-036

Рівняння із сумою цілих частин квадратів

Доведіть, що існує нескінченно багато попарно взаємно простих натуральних чисел aa, bb і cc таких, що ⌊a22020⌋+⌊b22020⌋=⌊c22020⌋.\left\lfloor \frac{a^2}{2020} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{b^2}{2020} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{c^2}{2020} \right\rfloor.
10–11 класиПіфагорові трійки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-020

Множина різниць, що уникає послідовності Бітті

Нехай H={⌊i2⌋:i∈Z>0}={1,2,4,5,7,…}H=\{\lfloor i \sqrt{2}\rfloor: i \in \mathbb{Z}_{>0}\}=\{1,2,4,5,7, \ldots\}, і нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує стала CC така, що якщо A⊂{1,2,…,n}A \subset\{1,2, \ldots, n\} задовольняє ∣A∣⩾Cn|A| \geqslant C \sqrt{n}, то існують a,b∈Aa, b \in A такі, що a−b∈Ha-b \in H. (Тут Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина натуральних чисел, а ⌊z⌋\lfloor z\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує zz.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа4 розв’язки
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-004

Рівність добутку цілих частин і біноміального коефіцієнта

а) Доведіть, що для довільного натурального числа mm існує таке натуральне n⩾mn \geqslant m, що \left[\frac{n}{1}\right] \cdot \left[\frac{n}{2}\right] \cdot \ldots \cdot \left[\frac{n}{m}\right] = C_n^m. \tag{*} б) Позначимо через p(m)p(m) найменше натуральне число n⩾mn \geqslant m, для якого виконується рівність (). Доведіть, що p(2018)=p(2019)p(2018) = p(2019).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-005

Числа a менші за p з нерівністю для залишків

Нехай p⩾5p \geqslant 5 — просте число. Для натурального числа kk позначимо через R(k)R(k) залишок при діленні kk на pp, причому 0⩽R(k)⩽p−10 \leqslant R(k) \leqslant p-1. Знайдіть усі такі натуральні числа a<pa < p, що при всіх m=1,2,…,p−1m = 1, 2, \ldots, p-1 виконується нерівність m+R(ma)>a.m + R(ma) > a.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-033

Послідовність з цілою частиною і простими значеннями

Чи існують додатні дійсні числа aa і bb такі, що ⌊an+b⌋\lfloor an + b \rfloor є простим числом для кожного натурального числа nn?
10–11 класиРозподіл простих чисел
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-015

Цілозначна функція із симетрією раціонального аргументу

Знайдіть усі функції f:Q⟶Zf: \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють f(f(x)+ab)=f(x+ab)f\left(\frac{f(x)+a}{b}\right)=f\left(\frac{x+a}{b}\right) для всіх x∈Qx \in \mathbb{Q}, a∈Za \in \mathbb{Z} і b∈Z>0b \in \mathbb{Z}_{>0}. (Тут Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел.)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-016

Відмінні пари та сума дільників

Нехай ν\nu — ірраціональне додатне число, а mm — натуральне число. Пару (a,b)(a, b) натуральних чисел називають хорошою, якщо a⌈bν⌉−b⌊aν⌋=ma\lceil b \nu\rceil-b\lfloor a \nu\rfloor=m Хорошу пару (a,b)(a, b) називають відмінною, якщо жодна з пар (a−b,b)(a-b, b) і (a,b−a)(a, b-a) не є хорошою. (Як звичайно, через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor і ⌈x⌉\lceil x\rceil позначаємо цілі числа такі, що x−1<⌊x⌋⩽xx-1<\lfloor x\rfloor \leqslant x і x⩽⌈x⌉<x+1x \leqslant\lceil x\rceil<x+1.) Доведіть, що кількість відмінних пар дорівнює сумі додатних дільників числа mm.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-001

Послідовність із цілою частиною та повними квадратами

Нехай (an)n≥1\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} — послідовність з a1=1a_{1}=1 і an+1=⌊an+an+12⌋a_{n+1}=\left\lfloor a_{n}+\sqrt{a_{n}}+\frac{1}{2}\right\rfloor для всіх n≥1n \geq 1, де ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує xx. Знайдіть усі n≤2013n \leq 2013, для яких ana_{n} є повним квадратом.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.