Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

166 задач
КомбінаторикаЖадібний алгоритм
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-004

Стрибки блохи через лавові проміжки

Нехай AA, BB і FF — натуральні числа, причому A<B<2AA < B < 2A. Блоха знаходиться в точці 00 на числовій прямій. Блоха може рухатися, стрибаючи вправо на AA або на BB. Перед тим, як блоха почне стрибати, Лавамен вибирає скінченну кількість проміжків {m+1,m+2,…,m+A}\{m+1, m+2, \dots, m+A\}, що складаються з AA послідовних натуральних чисел, і розміщує лаву в усіх цілих числах із цих проміжків. Проміжки треба вибрати так, щоб: (i) будь-які два різні проміжки не перетинались і не були сусідніми; (ii) між будь-якими двома проміжками було принаймні FF натуральних чисел без лави; і (iii) лаву не розміщено в жодному цілому числі, меншому за FF. Доведіть, що найменше FF, за якого блоха може перестрибнути через усі проміжки й уникнути всієї лави, незалежно від дій Лавамена, дорівнює F=(n−1)A+BF = (n - 1)A + B, де nn — натуральне число таке, що An+1≤B−A<An.\frac{A}{n+1} \leq B - A < \frac{A}{n} .
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-026

Розливання пляшок у відра не більше ніж по літру

Нехай n⩾1n \geqslant 1. Маємо скінченну кількість пляшок, кожна з яких містить кількість води, меншу від 1 літра, причому загальна кількість води становить n2\frac{n}{2} літрів. Маємо також nn порожніх відер. Доведіть, що можна вилити кожну пляшку у відро (можна виливати кілька пляшок в одне й те саме відро, але не можна виливати одну пляшку частково в одне відро, а частково в інше) так, щоб у кожному відрі було не більше 1 літра води.
9–11 класиМетод математичної індукції
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-050

Середні значення сум послідовних чисел

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні цілі числа. Для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n позначимо mk=max⁡1≤ℓ≤kak−ℓ+1+ak−ℓ+2+⋯+akℓ.m_{k}=\max _{1 \leq \ell \leq k} \frac{a_{k-\ell+1}+a_{k-\ell+2}+\cdots+a_{k}}{\ell} . Доведіть, що для будь-якого α>0\alpha>0 кількість цілих kk, для яких mk>αm_{k}>\alpha, строго менша за a1+a2+⋯+anα\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{\alpha}.
9–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-093

Мінімальна кількість пігулок до цільової ваги

Нео має необмежений запас червоних і синіх пігулок. Коли він приймає червону пігулку, його вага подвоюється, а коли приймає синю пігулку — він втрачає один фунт. Якщо спочатку Нео важить один фунт, яка найменша кількість пігулок, яку він має прийняти, щоб його вага стала 2015 фунтів?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-104

Гра на дошці з максимізацією червоної області

Розглянемо сітку 4×44 \times 4 з клітинок. Азірафаель і Кроулі грають на цій сітці в гру, ходячи по черзі, причому першим ходить Азірафаель. Своїм ходом Азірафаель може пофарбувати будь-яку незафарбовану клітинку в червоний колір, а своїм ходом Кроулі може пофарбувати будь-яку незафарбовану клітинку в синій колір. Гра закінчується, коли всі клітинки зафарбовано, а результатом Азірафаеля є площа найбільшої замкненої області, яка повністю червона. Якщо Азірафаель прагне максимізувати свій результат, Кроулі прагне його мінімізувати, і обидва гравці грають оптимально, яким буде результат Азірафаеля?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2014-029

Покриття чисел перевертанням аркушів

Нехай nn — натуральне число. Даніель і Мерлін грають у гру. Даніель має kk аркушів паперу, що лежать поруч на столі, де kk — натуральне число. Він пише на кожному аркуші паперу кілька з чисел від 1 до nn включно (можна жодного, можна й усі). На звороті кожного аркуша паперу він пише саме решту чисел від 1 до nn включно. Коли Даніель закінчить, Мерлін може покласти кілька аркушів паперу зворотом догори (він може не перевертати жодного аркуша або ж перевернути всі). Якщо йому вдасться зробити всі числа від 1 до nn включно одночасно видимими (повторення дозволені), то він виграє. Знайдіть найменше kk, для якого Мерлін завжди може виграти, що б не робив Даніель.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-057

Мінімальна кількість павуків для ловлі мухи на решітці

На площині розглянемо множину SS точок із координатами (x,y)(x, y), де x,y∈{1,2,…,2013}x, y \in \{1,2, \ldots, 2013\}. Дві точки з множини SS називаються сусідніми, якщо відстань між ними дорівнює 11. Щосекунди муха і павуки переміщуються по точках множини SS у такий спосіб: спочатку муха або не рухається, або переходить у точку, сусідню з тією, в якій вона перебуває. Потім кожен павук або не рухається, або переходить у точку, сусідню з тією, в якій він перебуває. Кілька павуків можуть одночасно перебувати в одній точці, а муха й павуки знають відповідні положення одне одного. а) Знайти найменше ціле число kk, для якого kk павуків завжди зможуть зрештою впіймати муху за скінченний час, незалежно від початкових положень мухи й павуків у точках множини SS. б) Дати відповідь на те саме запитання, якщо цього разу ми перебуваємо у звичайному просторі і SS — множина точок із координатами (x,y,z)(x, y, z), де x,y,z∈{1,2,…,2013}x, y, z \in \{1,2, \ldots, 2013\}.
9–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-103

Зсування опуклих многокутників зі столу

У Чім Ту є великий прямокутний стіл. На ньому лежить скінченна кількість аркушів паперу з попарно неперетинними внутрішностями, кожен у формі опуклого многокутника. За один хід Чім Ту може зсунути один аркуш паперу по прямій так, щоб під час руху його внутрішність не торкалася жодного іншого аркуша паперу. Чи зможе Чім Ту завжди за скінченну кількість ходів зсунути всі аркуші паперу зі столу?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-017

Перестановки з обмеженою спадною підпослідовністю

Є 500 комірок для кульок, пронумерованих від 1 до 500 зліва направо. Кульки з номерами від 1 до 500 розкладено в ці комірки безладно: їхні номери не обов’язково збігаються з номерами комірок. (У кожній комірці міститься рівно одна кулька.) Кажуть, що порядок кульок радше зростаючий, якщо найдовша спадна підпослідовність номерів кульок, яку можна виділити з цього порядку, містить не більше ніж 5 елементів. Доведіть, що існує не більше 510005^{1000} радше зростаючих порядків.
9–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-058

Переслідування фішки на шаховій дошці

Аліса та Боб грають у гру «Фішки-навздоганялки», яку грають на шаховій дошці 8×88 \times 8. На початку гри Боб ставить на дошку фішку кожного гравця. Після цього в кожному раунді спочатку ходить Аліса своєю фішкою, а потім Боб ходить своєю фішкою. Якщо в будь-який момент раунду обидві фішки опиняються на одній клітинці, Аліса одразу перемагає. Якщо Аліса не перемогла до кінця 2012 раундів, то перемагає Боб. a. Припустімо, що фішка за один хід може піти на будь-яку сусідню за горизонталлю чи вертикаллю клітинку. Покажіть, що Боб має виграшну стратегію в цій грі. b. Припустімо натомість, що фішка за один хід може піти на будь-яку сусідню за горизонталлю, вертикаллю чи діагоналлю клітинку. Покажіть, що Аліса має виграшну стратегію в цій грі.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-071

Доганяння фішок на шаховій дошці

Аліса й Боб грають у гру «Доганяння фішок» на шаховій дошці 8×88 \times 8. На початку гри Боб ставить на дошку фішку кожного гравця. Після цього в кожному раунді спочатку Аліса ходить своєю фішкою, а потім Боб ходить своєю. Якщо в будь-який момент раунду обидві фішки опиняються на одній клітинці, Аліса одразу перемагає. Якщо Аліса не перемогла до кінця 2012 раундів, то перемагає Боб. a. Припустімо, що фішка за хід може перейти на будь-яку сусідню по горизонталі чи вертикалі клітинку. Доведіть, що Боб має виграшну стратегію в цій грі. b. Припустімо натомість, що фішка за хід може перейти на будь-яку сусідню по горизонталі, вертикалі чи діагоналі клітинку. Доведіть, що Аліса має виграшну стратегію в цій грі.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-012

Виграшні руки проти фіксованого набору

Нот готовий зіграти проти Гаммадорфа в карткову гру. У цій грі є колода з двадцяти карт, пронумерованих від 11 до 2020. Кожен гравець починає з рукою з п'яти карт, взятих із цієї колоди. У кожному раунді Гаммадорф грає карту зі своєї руки, а потім Нот грає карту зі своєї руки. Той, хто зіграв карту з більшим значенням, отримує очко. Наприкінці п'яти раундів перемагає гравець із найбільшою кількістю очок. Якщо Гаммадорф починає з рукою 1,5,10,15,201,5,10,15,20, скільки рук з п'яти карт серед п'ятнадцяти карт, що залишилися, може витягнути Нот, щоб завжди перемагати (за умови оптимальної гри)?
10–11 класиКомбінації
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-017

Гра на ґратці із забороненими точками

Нехай kk — натуральне число. Гравці AA і BB грають у гру за таким правилом: спочатку шахова фігура стоїть у початку координат (0,0)(0, 0) площини xyxy. Гру почне гравець AA, за ним BB, і далі по черзі, кожен обирає хід серед дозволених такими правилами: Можливі ходи AA: вибрати точку цілочисельної решітки, в якій немає шахової фігури, і позначити цю точку символом ✓. (Тут під точкою цілочисельної решітки розуміємо точку площини xyxy, у якої і координата xx, і координата yy — цілі числа). Можливі ходи BB: повторити процес переміщення шахової фігури, що стоїть у (x,y)(x, y), або в (x+1,y)(x+1, y), або в (x,y+1)(x, y+1) jj разів, де 1≤j≤k1 \le j \le k. Проте на кожному кроці цього процесу йому заборонено переміщати шахову фігуру в точку цілочисельної решітки, позначену символом ✓. AA виграє гру, якщо BB опиняється в ситуації, коли не може перемістити шахову фігуру. Визначте всі можливі значення kk, для яких AA може виграти гру за скінченну кількість кроків, як би BB не обирав свої ходи.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-016

Перестановка чисел з умовою на остачі сум

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Розглянемо способи вишикувати зліва направо n2n^2 чисел, які складаються з nn чисел кожного виду з {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\}. Чи можна вишикувати їх так, щоб виконувалася така умова? Умова: Для будь-якого цілого kk з 1≤k≤n2−11 \le k \le n^2 - 1 остача від ділення суми перших kk чисел зліва на nn відрізняється від остачі від ділення kk на nn.
7–9 класиЖадібний алгоритм
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-014

Досягнення неспадної послідовності замінами

Нехай NN — натуральне число. NN клітинок розташовано підряд зліва направо. Учні A і B грають у гру за такими правилами: (1) Спочатку A записує по одному невід'ємному цілому числу в кожну з NN клітинок. (2) Гра закінчується, коли досягнуто такої умови: для кожного ii, що задовольняє 1≤i≤N−11 \le i \le N - 1, число в ii-й клітинці зліва менше або дорівнює числу в (i+1)(i+1)-й клітинці зліва. Доки цю умову не виконано, гра триває повторенням такої процедури: (a) A називає одне невід'ємне ціле число. (b) B вибирає одну з NN клітинок і замінює число в цій клітинці числом, названим A в пункті (a). Чи може B завершити гру незалежно від того, як грає A?
10–11 класиНапівінваріанти
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-007

Знакова сума з обмеженими доданками

Нехай n≥2n \ge 2. Дано натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n з парною сумою, які задовольняють ai≤ia_i \le i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Доведіть, що можна вибрати знаки у виразі a1±a2±⋯±ana_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n так, щоб його значення стало 00. (Старша ліга.)
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-127

Найбільший єгипетський дріб рангу 3 менший від чверті

Ранг раціонального числа qq — це єдине kk, для якого q=1a1+⋯+1akq = \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{k}}, де кожне aia_{i} — найменше натуральне число таке, що q≥1a1+⋯+1aiq \geq \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{i}}. Нехай qq — найбільше раціональне число, менше за 14\frac{1}{4}, рангу 33, і припустімо, що подання числа qq має вигляд 1a1+1a2+1a3\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}}. Знайдіть впорядковану трійку (a1,a2,a3)\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right).
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-074

Многочлен із коефіцієнтами 1 або -1

Многочлен PP має вигляд ±x6±x5±x4±x3±x2±x±1\pm x^{6} \pm x^{5} \pm x^{4} \pm x^{3} \pm x^{2} \pm x \pm 1. Відомо, що P(2)=27P(2)=27. Чому дорівнює P(3)P(3)?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-100

Розбиття цифр на частини з рівними сумами

Назвемо 2n2n-значне десяткове число особливим, якщо його цифри можна розбити на дві множини розміру nn так, щоб суми чисел у цих двох множинах були однаковими. Нехай pnp_{n} — ймовірність того, що навмання вибране 2n2n-значне число є особливим. (У 2n2n-значних числах дозволено нулі на початку запису). a. Послідовність pnp_{n} збігається до сталої cc. Знайдіть cc. b. Нехай qn=pn−cq_{n} = p_{n} - c. Існує єдина додатна стала rr така, що qnrn\frac{q_{n}}{r^{n}} збігається до сталої dd. Знайдіть rr і dd.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-108

Розбиття цифр на дві групи з рівними сумами

Назвемо 2n2n-цифрове число особливим, якщо його цифри можна розбити на дві множини розміру nn так, щоб суми чисел у цих двох множинах були однаковими. Нехай pnp_{n} — ймовірність того, що навмання вибране 2n2n-цифрове число є особливим (нулі на початку запису числа дозволені). a. Послідовність pnp_{n} збігається до сталої cc. Знайдіть cc.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-055

Періодичність послідовності вибору карток

У грі «Галактичне панування» гравці змагаються, щоб назбирати картки, кожна з яких приносить певну кількість очок. Припустімо, ви граєте у версію цієї гри лише з двома видами карток: картками планет і картками гегемонів. Кожна картка планети коштує 20102010 очок, а кожна картка гегемона коштує чотири очки за кожну наявну картку планети. На початку ви не маєте жодної картки планети й жодної картки гегемона, і кожного ходу, починаючи з першого, ви берете або картку планети, або картку гегемона — ту, яка коштує більше очок з огляду на набір, який ви наразі маєте. Визначимо послідовність {an}\{a_{n}\} для всіх натуральних чисел nn, поклавши ana_{n} рівним 00, якщо на ході nn ви берете картку планети, і 11, якщо ви берете картку гегемона. Яке найменше значення NN таке, що послідовність aN,aN+1,…a_{N}, a_{N+1}, \ldots обов'язково є періодичною (тобто існує натуральне число kk таке, що an+k=ana_{n+k}=a_{n} для всіх n≥Nn \geq N)?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-031

Вибір більшості при розподілі фруктів

Банани, яблука й апельсини довільно розподілені по 100 ящиках. Доведіть, що можна вибрати 51 ящик, які разом містять принаймні половину фруктів кожного виду.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-092

Хроматичне число регулярного графа

Нехай GG — скінченний граф, у якому кожна вершина має степінь kk. Доведіть, що хроматичне число графа GG не перевищує k+1k+1.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-002

Розбиття чисел на дві групи з рівними сумами

Нехай NN — натуральне число. Припустімо, що на дошці написано деяку сукупність цілих чисел, які задовольняють такі властивості. Кожне написане число kk задовольняє 1≤k≤N1 \le k \le N. Кожне kk з 1≤k≤N1 \le k \le N написано принаймні один раз. Сума всіх написаних чисел парна. Доведіть, що, позначивши деякі з написаних чисел символом O\mathcal{O}, а решту — символом ×\times, можна зробити суму тих, що позначені символом O\mathcal{O}, рівною сумі тих, що позначені символом ×\times.
10–11 класиЖадібний алгоритм2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2008-018

Розфарбування цілих чисел у три кольори

Нехай a,ba, b — натуральні числа. Доведіть, що цілі числа можна розфарбувати трьома кольорами так, щоб будь-які два цілі числа з різницею aa або bb завжди були пофарбовані по-різному.
10–11 класиЖадібний алгоритм4 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.