Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-026

Шаховий турнір з рівним розподілом очок

Розгляньмо шаховий турнір за участю землян та інопланетян, у якому кожен гравець грає проти кожного іншого рівно один раз. Наприкінці турніру кожен гравець здобув половину своїх очок у партіях проти землян і половину — у партіях проти інопланетян. Нехай tt і aa — кількості землян та інопланетян відповідно. Дайте відповідь на запитання: а) Яка загальна кількість партій цього турніру як функція від tt і aa? б) У цьому турнірі кожна перемога дає 1 очко, кожна нічия дає 0,5 очка, а кожна поразка дає нуль очок. Яка загальна кількість очок землян як функція від tt і aa? в) Доведіть, що загальна кількість гравців турніру є повним квадратом.
8–9 класиПідрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-027

Розфарбування дошки 7 на 7 з точністю до повороту

Дві клітинки дошки 7×77 \times 7 пофарбовано в жовтий колір, а решту — у зелений. Дві схеми розфарбування вважаються еквівалентними, якщо одну можна отримати з іншої поворотом у площині дошки. Скільки нееквівалентних схем розфарбування можна отримати?
8–9 класиКомбінації
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-013

Ліфти, що сполучають пари поверхів

Висотний будинок має 7 ліфтів, причому кожен зупиняється лише на 6 поверхах. Проте для будь-яких двох поверхів завжди є ліфт, який безпосередньо сполучає ці два поверхи. Доведіть, що будинок може мати щонайбільше 14 поверхів, і що такий будинок із 14 поверхами справді можна реалізувати.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-007

Послідовні суми та непарні дільники

Нехай nn — натуральне число. Нехай kk — кількість способів подати nn у вигляді суми одного або кількох послідовних натуральних чисел. Доведіть, що kk дорівнює кількості непарних додатних дільників числа nn.
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-007

Розфарбування ребер тетраедра з урахуванням симетрій

Два тривимірні тіла вважаються однаково розфарбованими, якщо одне з них можна зорієнтувати (перемістивши або повернувши) так, що воно стане невідмінним від другого. Наприклад, нехай на столі стоять два одиничні куби, причому всі грані одного куба чорні, крім верхньої, яка червона, а всі грані другого куба чорні, крім нижньої, яка пофарбована в червоний колір. Тоді ці два куби мають однакове розфарбування. Скількома різними способами можна розфарбувати ребра правильного тетраедра, пофарбувавши два ребра в червоний колір, два ребра — у чорний і два ребра — у зелений? (Правильний тетраедр має чотири грані, кожна з яких — рівносторонній трикутник. На рисунку нижче зображено одне з розфарбувань тетраедра, де товсті, тонкі та пунктирні лінії позначають три кольори.)
6–8 класиГеометричні розфарбування2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-003

Збалансовані підмножини з рівністю медіани й середнього

Нехай nn — натуральне число, і позначимо Sn={1,2,…,n}S_n = \{1, 2, \dots, n\}. Розглянемо непорожню підмножину TT множини SnS_n. Будемо казати, що TT збалансована, якщо медіана множини TT дорівнює середньому арифметичному TT. Наприклад, при n=9n = 9 кожна з підмножин {7}\{7\}, {2,5}\{2, 5\}, {2,3,4}\{2, 3, 4\}, {5,6,8,9}\{5, 6, 8, 9\} і {1,4,5,7,8}\{1, 4, 5, 7, 8\} збалансована; проте підмножини {2,4,5}\{2, 4, 5\} і {1,2,3,5}\{1, 2, 3, 5\} не є збалансованими. Для кожного n≥1n \ge 1 доведіть, що кількість збалансованих підмножин множини SnS_n непарна. (Щоб означити медіану множини з kk чисел, спочатку впорядкуйте числа за зростанням; тоді медіаною є середнє число, якщо kk непарне, і середнє арифметичне двох середніх чисел, якщо kk парне. Наприклад, медіана множини {1,3,4,8,9}\{1, 3, 4, 8, 9\} дорівнює 44, а медіана множини {1,3,4,7,8,9}\{1, 3, 4, 7, 8, 9\} дорівнює (4+7)/2=5.5(4+7)/2 = 5.5.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-041

Задача Йосифа Флавія з кроком 2

У віддаленій Тортурії візир розставляє по колу nn засуджених, пронумерованих по порядку від 1 до nn. Невблаганно він відправляє до ката кожного другого засудженого: засуджених 2,4,…2,4, \ldots і так далі, рухаючись по колу та пропускаючи одну людину між двома стратами, доки не залишиться лише один. Обчисліть залежно від nn номер останнього засудженого, що залишився.
9–11 класиМетод математичної індукції
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-026

Попарні суми п'яти натуральних чисел

Розглянемо 5 натуральних чисел. Додаючи їх попарно всіма можливими способами, отримаємо 10 цілих чисел. Доведіть, що ці 10 цілих чисел не можуть бути 10 послідовними цілими числами.
10–11 класиПарність та непарність
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-049

Підрахунок латинських квадратів

Скільки таблиць 3×33 \times 3 можна побудувати, заповнивши їх числами від 1 до 3 так, щоб у жодному рядку й у жодному стовпці не було двічі того самого числа? А таблиць 4×44 \times 4 з числами від 1 до 4?
9–11 класиПравила суму та добутку
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-053

Послідовність Ленгфорда для числа 50

Чи можна розташувати числа 1,1,2,2,…,50,501,1,2,2, \ldots, 50,50 так, щоб для будь-якого 1⩽k⩽501 \leqslant k \leqslant 50 між двома числами kk було рівно kk елементів?
9–11 класиМіркування за модулем
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-072

Розбиття з рівними сумами з вилученням елементів

1) П'єр розподіляє цілі числа 1,2,…,20121,2, \ldots, 2012 на дві неперетинні групи, суми елементів яких рівні. Клара, навіть не дивлячись на розподіл, який обрав П'єр, стверджує, що можна вилучити по два числа з кожної групи так, щоб у кожній групі суми елементів, що залишилися, були рівними. Доведіть, що Клара має рацію. 2) П'єр розподіляє цілі числа 1,2,…,201,2, \ldots, 20 на дві неперетинні групи, суми елементів яких рівні. Клара, навіть не дивлячись на розподіл, який обрав П'єр, стверджує, що можна вилучити по два числа з кожної групи так, щоб у кожній групі суми елементів, що залишилися, були рівними. Доведіть, що цього разу Кларі, мабуть, краще було б подивитися, перш ніж говорити.
9–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-001

Математичне сподівання сталої величини

Генератор випадкових чисел завжди видає 77. Сем використовує цей генератор один раз. Чому дорівнює математичне сподівання отриманого числа?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-048

Цілочисельні послідовності із сумою попарних добутків

Скільки існує послідовностей цілих чисел (a1,…,a7)(a_{1}, \ldots, a_{7}), для яких −1≤ai≤1-1 \leq a_{i} \leq 1 для кожного ii, і a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6+a6a7=4?a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}+a_{6} a_{7}=4 ?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-003

Точки цілочисельної решітки всередині еліпса

Знайдіть кількість пар цілих чисел (x,y)(x, y), для яких виконується x2+2y2<25x^{2}+2 y^{2}<25.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-064

Шляхи по сітці з фіксованою сумою

Сем проводить цілі дні, гуляючи по такій 2×22 \times 2 сітці квадратів. | 1 | 2 | |:--- |:--- | | 4 | 3 | Кажемо, що два квадрати сусідні, якщо вони мають спільну сторону. Він починає з квадрата, позначеного 11, і щосекунди переходить у сусідній квадрат. Скільки шляхів може обрати Сем так, щоб сума чисел у всіх квадратах, які він відвідує на своєму шляху, дорівнювала 2020 (не рахуючи квадрата, з якого він стартував)?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-035

Паліндромні підрядки в слові

Нехай w=w1w2…wnw = w_{1} w_{2} \ldots w_{n} — слово. Підрядком слова ww назвемо слово виду wiwi+1…wj−1wjw_{i} w_{i+1} \ldots w_{j-1} w_{j} для деякої пари натуральних чисел 1≤i≤j≤n1 \leq i \leq j \leq n. Доведіть, що слово ww має не більше ніж nn різних паліндромних підрядків. Наприклад, aaaaa має 5 різних паліндромних підрядків, а abcata — 5 (a,b,c,t,ataa, b, c, t, ata).
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-061

Підрахунок входжень 012 у послідовних трійкових записах

Кожне з цілих чисел 1,2,…,7291,2, \ldots, 729 записане у трійковій системі числення без початкових нулів. Потім ці числа в указаному порядку дописують одне за одним, утворюючи неперервний рядок цифр: 12101112202122…12101112202122 \ldots. Скільки разів у цьому рядку трапляється підрядок 012?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-065

Випадкове блукання з відбивною межею

Емілі починає з порожнього відра. Щосекунди вона або кладе камінець у відро, або виймає камінець з відра, причому кожна з дій відбувається з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Якщо вона збирається вийняти камінець з відра, а відро в цей момент порожнє, то вона просто нічого не робить протягом цієї секунди (все одно з ймовірністю 12\frac{1}{2}). Яка ймовірність того, що після 2017 секунд у її відрі буде рівно 1337 камінців?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-062

Підрахунок послідовностей ДНК з обмеженнями на сусідство

Ртея — далека планета, на якій живуть істоти, чия ДНК складається з двох (розрізнюваних) ланцюгів основ із фіксованою орієнтацією. Кожна основа — це одна з літер HH, MM, NN, TT, а кожен ланцюг складається з послідовності з п'яти основ, так що утворюється п'ять пар. Через хімічні властивості основ кожна пара має складатися з різних основ. Також основи HH і MM не можуть стояти поруч на тому самому ланцюгу; те саме стосується NN і TT. Скільки можливих послідовностей ДНК існує на Ртеї?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-067

Випадковий граф зі степенями, кратними 4

Кельвін та ще 15 жаб зібралися на зборах, разом 16 жаб. Під час зборів кожна пара різних жаб стає друзями з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Кельвін вважає ситуацію після зборів крутою, якщо для кожної з 16 жаб кількість друзів, яких вона знайшла за час зборів, кратна 4. Нехай ймовірність того, що ситуація буде крутою, можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості. Знайдіть aa.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-044

Очікуваний розмір після випадкових об'єднань і перетинів

У Мариси є колекція з 28−1=2552^{8}-1=255 різних непорожніх підмножин множини {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. На кожному кроці вона вибирає дві підмножини з колекції навмання рівноймовірно і замінює їх або їхнім об'єднанням, або їхнім перетином, які вибираються випадково з рівною ймовірністю. (У колекції дозволено повторення множин.) Вона повторює цей процес 28−2=2542^{8}-2=254 рази, доки в колекції не залишиться лише одна множина. Яке математичне сподівання кількості елементів цієї множини?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-068

Підмножини з великими симетричними різницями

Нехай mm — натуральне число, а TT позначає множину всіх підмножин множини {1,2,…,m}\{1,2, \ldots, m\}. Підмножину SS множини TT назвемо δ\delta-доброю, якщо для всіх s1,s2∈Ss_{1}, s_{2} \in S, s1≠s2s_{1} \neq s_{2}, виконується ∣Δ(s1,s2)∣≥δm\left|\Delta\left(s_{1}, s_{2}\right)\right| \geq \delta m, де Δ\Delta позначає симетричну різницю (симетрична різниця двох множин — це множина елементів, що належать рівно одній із цих двох множин). Знайдіть найбільше можливе ціле число ss, для якого існують ціле число mm та 10242047\frac{1024}{2047}-добра множина розміру ss.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-069

Двійкові слова з умовою голосування та блоковими обмеженнями

Обчисліть кількість можливих слів w=w1w2…w100w = w_{1} w_{2} \ldots w_{100}, що задовольняють умовам: - ww містить рівно 5050 літер AA і 5050 літер BB (та ніяких інших літер). - Для i=1,2,…,100i = 1, 2, \ldots, 100 кількість літер AA серед w1,w2,…,wiw_{1}, w_{2}, \ldots, w_{i} не перевищує кількості літер BB серед w1,w2,…,wiw_{1}, w_{2}, \ldots, w_{i}. - Для всіх i=44,45,…,57i = 44, 45, \ldots, 57: якщо wiw_{i} є BB, то wi+1w_{i+1} має бути BB.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-051

Періодична функція з квадратичною конгруенцією

Нехай N\mathbb{N} позначає натуральні числа. Обчисліть кількість функцій f:N→{0,1,…,16}f: \mathbb{N} \rightarrow \{0,1, \ldots, 16\} таких, що f(x+17)=f(x)іf(x2)≡f(x)2+15(mod17)f(x+17)=f(x) \quad \text{і} \quad f\left(x^{2}\right) \equiv f(x)^{2}+15 \pmod{17} для всіх цілих x≥1x \geq 1.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-046

Циклічне домінування у випадковому турнірі

П'ятеро однаково сильних тенісистів на ім'я Аллен, Боб, Кетрін, Девід та Еван грають круговий турнір, у якому кожна пара гравців грає рівно один раз і нічиїх немає. У кожній з десяти ігор обидва гравці мають 50%50\% шанс на перемогу, а результати ігор незалежні. Обчисліть ймовірність того, що існують чотири різні гравці P1,P2,P3,P4P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} такі, що PiP_{i} перемагає Pi+1P_{i+1} при i=1,2,3,4i=1,2,3,4. (Позначаємо P5=P1P_{5}=P_{1}).
10–11 класиОрієнтовані графи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.