Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
ГеометріяГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-047

Математичне сподівання периметра перерізу куба

Нехай PP — точка, обрана навмання рівномірно в кубі [0,1]3[0,1]^3. Площина, паралельна до площини x+y+z=0x+y+z=0, що проходить через PP, перетинає куб у двовимірній області R\mathcal{R}. Нехай tt — математичне сподівання периметра області R\mathcal{R}. Якщо t2t^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2021-004

Бісектриса прямокутного трикутника з інцентром

Нехай ABCA B C — трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle B A C=90^{\circ}, з центром описаного кола OO та інцентром II. Бісектриса кута ∠BAC\angle B A C перетинає описане коло трикутника ABCA B C у точках AA і PP. Нехай QQ — проєкція точки PP на пряму ABA B, а RR — проєкція точки II на пряму PQP Q. Доведіть, що пряма ROR O ділить відрізок CIC I навпіл.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2021-021

Паралельна пряма, дотична до вписаного кола

Дано трикутник ABCA B C з властивістю, що ∣AB∣+∣AC∣=3∣BC∣|A B|+|A C|=3|B C|. Нехай TT — точка на відрізку ACA C така, що ∣AC∣=4∣AT∣|A C|=4|A T|. Нехай KK і LL — внутрішні точки відрізків ABA B і ACA C відповідно такі, що, по-перше, KL∥BCK L \| B C і, по-друге, KLK L дотикається до вписаного кола трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай SS — точка перетину відрізків BTB T і KLK L. Знайдіть відношення ∣SL∣∣KL∣\frac{|S L|}{|K L|}.
10–11 класиВписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-031

Паралельні прямі через вершини трикутника і три центри кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його описане коло. Нехай ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C} — дві прямі, паралельні одна одній, що проходять відповідно через точки BB і CC. Позначимо через DD точку перетину, відмінну від BB, між колом ω\omega і прямою ℓB\ell_{B}. Так само позначимо через EE точку перетину, відмінну від CC, між колом ω\omega і прямою ℓC\ell_{C}. Припустимо, що прямі ℓC\ell_{C} і (AD)(AD) перетинаються в точці FF, а прямі ℓB\ell_{B} і (AE)(AE) перетинаються в точці GG. Позначимо далі через O,O1O, O_{1} і O2O_{2} центри відповідно описаних кіл трикутників ABCABC, ADGADG і AEFAEF. Нарешті, позначимо через PP центр описаного кола трикутника OO1O2OO_{1}O_{2}. Доведіть, що пряма (OP)(OP) паралельна обом прямим ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C}.
8–10 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-082

Відбиття інцентра і поділ відрізка навпіл

У трикутнику ABCABC, де AB=8AB=8 і AC=10AC=10, інцентр II відображено симетрично відносно сторони ABAB у точку XX та відносно сторони ACAC у точку YY. Відомо, що відрізок XYXY ділить AIAI навпіл. Обчисліть BC2BC^{2}. (Інцентр II — це центр вписаного кола трикутника ABCABC.)
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-131

Відрізок дотичної у вкладених колах

Нехай Γ\Gamma — коло, а ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що не перетинаються, всередині Γ\Gamma, які дотикаються до кола Γ\Gamma внутрішньо в точках X1X_{1} і X2X_{2} відповідно. Нехай одна зі спільних внутрішніх дотичних до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикається до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точках T1T_{1} і T2T_{2} відповідно, перетинаючи при цьому Γ\Gamma у двох точках AA і BB. Відомо, що 2X1T1=X2T22 X_{1} T_{1}=X_{2} T_{2} і що кола ω1,ω2\omega_{1}, \omega_{2} і Γ\Gamma мають радіуси 2, 3 і 12 відповідно, обчисліть довжину відрізка ABA B.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-038

Трикутник із вписаним колом, дотичним до серединного перпендикуляра

Нехай ABCABC — трикутник, вписане коло якого дотикається до серединного перпендикуляра до сторони BCBC. Якщо BC=AE=20BC = AE = 20, де EE — точка дотику AA-зовнівписаного кола до сторони BCBC, обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-004

Прямокутники з самоподібним розбиттям

Якщо аркуш A4 розрізати точно навпіл уздовж прямої, паралельної коротшій стороні, утворяться два аркуші, які мають ту саму форму, що й початковий, тобто отримуються з нього поворотом і зменшенням масштабу. Цього року назвемо прямокутний аркуш «сучасним», якщо, розрізавши його на 2020 рівних частин розрізами, паралельними його коротшій стороні, отримаємо 2020 прямокутників, які мають ту саму форму, що й початковий. Якщо коротка сторона сучасного аркуша дорівнює 1, яка довжина іншої сторони? (A) 2020\sqrt{2020} (B) 20203/22020^{3 / 2} (C) 20212\frac{2021}{2} (D) 2020 (E) Жодна з попередніх
10–11 класиГомотерія і подібність
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-010

Бісектриса кута при внутрішньому дотику кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — кола, що дотикаються внутрішньо в точці AA, причому Γ1\Gamma_{1} лежить усередині кола Γ2\Gamma_{2}. Нехай BCBC — хорда кола Γ2\Gamma_{2}, яка дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в точці DD. Доведіть, що пряма ADAD є бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-017

Вкладені кола в рівносторонньому трикутнику

Усередині рівностороннього трикутника проведено коло, яке дотикається до всіх трьох сторін. Радіус цього кола дорівнює 1010. Друге, менше, коло дотикається до першого кола та двох сторін трикутника. Третє, ще менше, коло дотикається до другого кола та двох сторін трикутника (див. рисунок). Чому дорівнює радіус третього кола?
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-020

Дотик описаних кіл, побудованих за чевіанами

Нехай ABCABC — трикутник, нехай II — центр вписаного в трикутник ABCABC кола. Нехай A′A', B′B' і C′C' — три точки, розташовані відповідно на прямих (AI)(AI), (BI)(BI) і (CI)(CI). Припустімо, що A′A', B′B' і C′C' відмінні від AA, BB, CC і II, і що вони колінеарні. Нарешті, нехай PAP_A — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [BB′][BB'] і [CC′][CC']. Так само нехай PBP_B — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [CC′][CC'] і [AA′][AA'], а PCP_C — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [AA′][AA'] і [BB′][BB']. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і PAPBPCP_A P_B P_C дотикаються одне до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-030

Комірка Вороного центра правильного тетраедра

Правильний тетраедр має об'єм 88. Який об'єм множини всіх точок простору (не обов'язково всередині тетраедра), які ближчі до центра тетраедра, ніж до будь-якої з чотирьох вершин?
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-137

Коло, дотичне до описаних кіл трикутників з ортоцентром

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Знайдіть радіус кола з ненульовим радіусом, дотичного до описаних кіл трикутників AHBAHB, BHCBHC, CHACHA.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-140

Площа шестикутника з вкладених квадратів

У трикутнику ABCABC, AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Квадрати ABB1A2ABB_1A_2, BCC1B2BCC_1B_2, CAA1C2CAA_1C_2 побудовано назовні трикутника. Квадрати A1A2A3A4A_1A_2A_3A_4, B1B2B3B4B_1B_2B_3B_4, C1C2C3C4C_1C_2C_3C_4 побудовано назовні шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2. Квадрати A3B4B5A6A_3B_4B_5A_6, B3C4C5B6B_3C_4C_5B_6, C3A4A5C6C_3A_4A_5C_6 побудовано назовні шестикутника A4A3B4B3C4C3A_4A_3B_4B_3C_4C_3. Знайдіть площу шестикутника A5A6B5B6C5C6A_5A_6B_5B_6C_5C_6.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-063

Відношення площ трикутників з вписаним і зовнівписаним колами

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, CA=11CA = 11. Вписане коло ω\omega і AA-зовнівписане коло Γ\Gamma мають центри I1I_1 і I2I_2 відповідно та дотикаються до сторони BCBC у точках D1D_1 і D2D_2 відповідно. Знайдіть відношення площі △AI1D1\triangle A I_1 D_1 до площі △AI2D2\triangle A I_2 D_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-007

Коло на діаметрі AK і середина сторони BC

Нехай II — інцентр, а Ω\Omega — вписане коло трикутника ABCABC, а MM — середина сторони BCBC. Нехай KK — точка перетину прямої, що проходить через AA і перпендикулярна до прямої BCBC, та прямої, що проходить через MM і перпендикулярна до прямої AIAI. Доведіть, що коло, діаметром якого є відрізок AKAK, дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиЗовнівписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-013

Відношення хорди до сторони трикутника

Нехай DD, EE — точки на сторонах ABAB, ACAC відповідно трикутника ABCABC, причому відомо: AB=6AB = 6, AC=9AC = 9, AD=4AD = 4, AE=6AE = 6. Припустімо, крім того, що описане коло трикутника ADEADE перетинає сторону BCBC у двох точках FF, GG, причому точки BB, FF, GG, CC розташовані в цьому порядку. Якщо точка перетину прямих DFDF і EGEG лежить на описаному колі трикутника ABCABC, знайдіть значення FGBC\frac{FG}{BC}. Тут XYXY позначає також довжину відрізка XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-063

Центри описаних кіл серединних трикутників

У трикутнику ABCABC, AB=6AB = 6, BC=7BC = 7 і CA=8CA = 8. Нехай DD, EE, FF — середини сторін BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Також нехай OAO_{A}, OBO_{B}, OCO_{C} — центри описаних кіл трикутників AFDAFD, BDEBDE і CEFCEF відповідно. Знайдіть площу трикутника OAOBOCO_{A} O_{B} O_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-069

Бісектриса кута у дотичних колах

Нехай два кола ω1\omega_{1}, ω2\omega_{2} дотикаються одне до одного в точці TT, причому ω1\omega_{1} міститься всередині кола ω2\omega_{2}. Нехай MM і NN — дві різні точки на колі ω1\omega_{1}, відмінні від TT. Нехай [AB][AB] і [CD][CD] — дві хорди кола ω2\omega_{2}, що проходять відповідно через MM і NN. Припустимо, що відрізки [BD][BD], [AC][AC] і [MN][MN] перетинаються в одній точці KK. Доведіть, що пряма (TK)(TK) є бісектрисою кута MTN^\widehat{MTN}.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-051

Конкурентність прямих до точок дотику в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, Γ\Gamma — його описане коло. Нехай ωA\omega_{A} — коло, дотичне зсередини до прямих (AB),(AC)(AB),(AC) і до кола Γ\Gamma. Позначимо через TAT_{A} точку дотику кола Γ\Gamma з колом ωA\omega_{A}. Аналогічно визначимо TBT_{B} і TCT_{C}. Доведіть, що прямі (ATA),(BTB)\left(AT_{A}\right),\left(BT_{B}\right) і (CTC)\left(CT_{C}\right) перетинаються в одній точці.
9–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-032

Дотична до описаного кола і перпендикуляри до сторони

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB≠ACAB \neq AC. Нехай EE — така точка, що AE=BEAE = BE і (BE)(BE) перпендикулярна до (BC)(BC), а FF — така точка, що AF=CFAF = CF і (CF)(CF) перпендикулярна до (BC)(BC). Нехай DD — точка на прямій (BC)(BC) така, що (AD)(AD) є дотичною до описаного кола трикутника ABCABC в точці AA. Доведіть, що точки DD, EE, FF лежать на одній прямій.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-058

Радіус описаного кола: дотичні кола та відношення

Нехай ω\omega і Γ\Gamma — кола, причому ω\omega внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma у точці PP. Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma, яка дотикається до кола ω\omega у точці QQ. Нехай R≠PR \neq P — друга точка перетину прямої PQPQ з колом Γ\Gamma. Якщо радіус кола Γ\Gamma дорівнює 1717, радіус кола ω\omega дорівнює 77 і AQBQ=3\frac{AQ}{BQ} = 3, знайдіть радіус описаного кола трикутника AQRAQR.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-061

Відношення відстаней до середин діагоналей у чотирикутнику з вписаним колом

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, у який вписано коло ω\omega. Нехай II — центр кола ω\omega, причому IA=12IA = 12, IB=16IB = 16, IC=14IC = 14 і ID=11ID = 11. Нехай MM — середина відрізка ACAC. Обчисліть відношення IMIN\frac{IM}{IN}, де NN — середина відрізка BDBD.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-044

Проєкція на спільну дотичну до півкіл

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC2+BCAB = \frac{AC}{2} + BC. Розглянемо два півкола поза трикутником з діаметрами ABAB і BCBC. Нехай XX — ортогональна проєкція точки AA на спільну дотичну до цих півкіл. Знайдіть ∠CAX\angle CAX.
10–11 класиГомотерія і подібність
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-005

Трикутник з дотичною та відстанню між серединами

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AC>ABAC > AB. Нехай PP — точка перетину прямої BCBC і дотичної, проведеної через AA, до описаного кола трикутника ABCABC. Нехай QQ — точка на прямій ACAC, така, що виконується AQ=ABAQ = AB і AA лежить між CC і QQ. Нехай XX і YY — середини відрізків BQBQ і APAP відповідно. Нехай RR — точка на відрізку APAP, така, що виконується AR=BPAR = BP і RR лежить між AA і PP. Доведіть, що виконується BR=2XYBR = 2XY.
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.