Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

255 задач
КомбінаторикаРекурентний підрахунок
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-009

Випадкове блукання з поглинальною межею

Альберто і Барбара грають у настільний футбол. Перед початком вони домовляються, що партія закінчиться, щойно один із них заб'є на 3 голи більше за іншого. Відомо, що для кожної розіграної кульки і Альберто, і Барбара мають 50%50\% імовірності забити, яка ймовірність того, що партія не закінчиться раніше двадцять першого гола? (A) 39218\frac{3^{9}}{2^{18}} (B) 310220\frac{3^{10}}{2^{20}} (C) 320240\frac{3^{20}}{2^{40}} (D) 13⋅17⋅19⋅31218\frac{13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 31}{2^{18}} (E) 3⋅7⋅13⋅17⋅19218\frac{3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19}{2^{18}}
10–11 класиРекурентний підрахунок
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-004

Перестановки блоків з умовою стрибка кота

Кунегонда має nn блоків висотою від 1 до nn і хотіла б розташувати їх один за одним так, щоб її кіт міг пересуватися, стрибаючи з одного блока на інший, зліва направо. Її кіт може стрибнути з блока на наступний, якщо той або нижчий, або вищий на 1 за попередній блок. На початку її кіт перебуває на крайньому лівому блоці. Скількома способами Кунегонда може розташувати свої блоки так, щоб її кіт зміг пройти всі блоки?
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-023

Знакозмінна перестановка семи гномів різного зросту

Сім гномів мають попарно різний зріст. Вони йдуть до копальні колоною в певному порядку, так, що гном на чолі вищий за другого, другий нижчий за третього, третій вищий за четвертого і так далі... Скільки існує таких способів розставити гномів?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-038

Області, утворені перетином прямих

2015 попарно різних прямих проведено на площині. Припустимо, що вони обмежують менше ніж 8000 областей (області можуть бути необмеженими). Доведіть, що кількість областей дорівнює 2016, 4030, 6042 або 6043, і наведіть приклад конфігурації в кожному випадку.
9–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-133

Різниця ймовірностей досягнення у випадковому блуканні

Починаючи з числа 00, Кейсі виконує нескінченну послідовність ходів у такий спосіб: він навмання обирає число з {1,2}\{1, 2\} (кожне з імовірністю 12\frac{1}{2}) і додає його до поточного числа. Нехай pmp_{m} — імовірність того, що Кейсі коли-небудь досягне числа mm. Знайдіть p20−p15p_{20} - p_{15}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-134

Випадкове прибирання камінців за модулем 5

Алісі Царіні нудно, і вона грається з купкою камінців. Спочатку в купці 20152015 камінців. У кожному раунді, якщо в купці NN камінців, вона забирає kk з них, де 1≤k≤N1 \leq k \leq N, причому кожне можливе kk має однакову ймовірність. Аліса Царіна продовжує, доки в купці не залишиться жодного камінця. Нехай pp — ймовірність того, що кількість камінців, які залишилися в купці після кожного раунду, кратна 55. Якщо pp має вигляд 5a⋅31b⋅cd5^{a} \cdot 31^{b} \cdot \frac{c}{d}, де a,ba, b — цілі числа, а c,dc, d — натуральні числа, взаємно прості з 5⋅315 \cdot 31, знайдіть a+ba+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-082

Графи дружби-ворожнечі без заборонених трикутників

Маркус і четверо його родичів перебувають на вечірці. Кожні двоє з цих п’яти людей — або друзі, або вороги. Для будь-яких двох ворогів не існує людини, з якою дружили б обоє з них. Скількома способами це можливо?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-136

Періодичне розфарбування із забороненими парами

Знайдіть кількість функцій f:Z→{’зелений’,’синій’}f: \mathbb{Z} \rightarrow\{\text{'зелений'}, \text{'синій'}\} таких, що f(x)=f(x+22)f(x)=f(x+22) для всіх цілих xx і не існує цілого yy, для якого f(y)=f(y+2)=’зелений’f(y)=f(y+2)=\text{'зелений'}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-108

Сподівана кількість ходів тури на шаховій дошці

Розгляньмо клітинну дошку 8×88 \times 8. Тура стоїть у лівому нижньому куті, і щохвилини вона переходить на одну з клітинок того самого рядка чи стовпця з однаковою ймовірністю (тура мусить ходити; тобто вона не може залишатися на тій самій клітинці). Чому дорівнює математичне сподівання кількості хвилин до моменту, коли тура дістанеться правого верхнього кута?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-037

Розфарбування дошки 2×5 без одноколірного квадрата 2×2

Кожну клітинку дошки 2×52 \times 5 з одиничних квадратиків треба пофарбувати в білий або чорний колір. Обчисліть кількість таких розфарбувань, для яких жоден квадрат 2×22 \times 2 не є одноколірним.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-007

Обведення сторін правильного дев'ятикутника

Джованні малює олівцем правильний 9-кутник і сполучає кожну з його вершин із центром, провівши загалом 18 відрізків і отримавши в такий спосіб дев'ять трикутників. Потім він обводить ручкою деякі з проведених відрізків так, щоб зрештою кожен із дев'яти трикутників мав рівно одну сторону, обведену ручкою. Скількома способами Джованні може вибрати множину відрізків для обведення? (Заувага: дві множини відрізків, які отримуються одна з одної поворотом або симетрією, вважаються різними.) (A) 49 (B) 65 (C) 74 (D) 76 (E) 85
9–11 класиРекурентний підрахунок
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2014-001

Зигзаги на шаховій дошці

Розглянемо класичну шахову дошку 8×88 \times 8. Зигзаг — це шлях по білих клітинках, який починається з (довільної) клітинки нижнього рядка й піднімається з рядка в рядок, доки не досягне верхнього рядка (на довільній клітинці): на кожному кроці піднімаємося на одну клітинку по діагоналі. Скільки існує зигзагів?
9–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-092

Зростаюча послідовність зі чергуванням парності

Знайдіть кількість строго зростаючих послідовностей невід'ємних цілих чисел з такими властивостями: - Перший член дорівнює 00, а останній член дорівнює 1212. Зокрема, послідовність має принаймні два члени. - Серед будь-яких двох сусідніх членів рівно один є парним.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-132

Досяжні цілі числа з операціями ділення і множення

Маємо калькулятор із двома кнопками, який показує ціле число xx. Натискання першої кнопки замінює xx на ⌊x2⌋\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor, а натискання другої кнопки замінює xx на 4x+14x+1. Спочатку калькулятор показує 00. Скільки цілих чисел, не більших за 20142014, можна отримати за допомогою послідовності довільних натискань кнопок? (Дозволяється, щоб число на екрані перевищувало 20142014 під час послідовності. Тут ⌊y⌋\lfloor y\rfloor позначає найбільше ціле число, не більше за дійсне число yy.)
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-060

Очікувана кількість кроків для зафарбовування відрізка

У Наталі є примірник одиничного відрізка [0,1][0,1], пофарбованого в білий колір. Також у неї є чорний маркер, і вона фарбує відрізок у такий спосіб: на кожному кроці вона вибирає значення x∈[0,1]x \in [0,1] рівномірно навмання, і a. Якщо x≤12x \leq \frac{1}{2}, вона зафарбовує проміжок [x,x+12]\left[x, x+\frac{1}{2}\right] своїм маркером. b. Якщо x>12x > \frac{1}{2}, вона зафарбовує проміжки [x,1][x, 1] і [0,x−12]\left[0, x-\frac{1}{2}\right] своїм маркером. Чому дорівнює математичне сподівання кількості кроків, які знадобляться Наталі, щоб зафарбувати весь відрізок у чорний колір?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-069

Стрибки жаби повз випадкових змій

Розглянемо числову пряму, на кожній цілій точці якої розташоване латаття. Жаба стоїть на лататті в точці 00 і хоче дістатися до латаття в точці 20142014. Якщо жаба стоїть у точці nn, вона може безпосередньо стрибнути або в точку n+2n+2, або в точку n+3n+3. Кожен з листків латаття в точках 1,⋯ ,20131, \cdots, 2013 незалежно з імовірністю 1/21 / 2 містить змію. Нехай pp — імовірність того, що жаба зможе деякою послідовністю стрибків дістатися до латаття в точці 20142014, жодного разу не приземлившись на латаття зі змією. Чому дорівнює p1/2014p^{1 / 2014}? Відповідь запишіть десятковим числом. Якщо CC — справжня відповідь на це запитання, а AA — ваша відповідь, то ваш бал за цю задачу становить ⌈max⁡{25(1−20∣C−A∣),0}⌉\lceil\max \{25(1-20|C-A|), 0\}\rceil.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2014-034

Шляхи без перетинів у множині точок

Нехай nn — натуральне число, а A={P1,P2,…,Pn}A=\{P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\} — множина з nn точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Шлях через множину AA складається з n−1n-1 відрізків Pσ(i)Pσ(i+1)P_{\sigma(i)} P_{\sigma(i+1)} для i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1, де σ\sigma — перестановка множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, така, що жодні два відрізки не перетинаються. Доведіть, що кількість різних шляхів через множину AA є мінімальною тоді й лише тоді, коли точки з AA утворюють опуклий nn-кутник.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-003

Перестановки, що переживають чотири видалення нерухомих точок

nn учнів з різними іменами стають у коло обличчям до центра кола. Спочатку nn бейджів з іменами учнів роздають їм навмання. Учні повторюють такий процес: [процес] Кожен учень, що має бейдж зі своїм іменем, виходить з кола, а решта учнів передають свої бейджі праворуч. Знайдіть кількість початкових роздач бейджів, за яких після 4 процесів ще залишаться деякі учні.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-087

Очікувана кількість кидків рекурсивного кубика

Ґері грає в таку гру з чесним nn-гранним гральним кубиком, грані якого позначено натуральними числами від 11 до nn включно: якщо n=1n=1, він зупиняється; інакше він кидає кубик і починає спочатку з kk-гранним гральним кубиком, де kk — число, яке випало на його nn-гранному кубику. (Зокрема, якщо випало k=1k=1, він більше не кидає кубик.) Якщо на початку в нього 66-гранний гральний кубик, чому дорівнює математичне сподівання кількості кидків, які він зробить?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-107

Випадкове блукання по вершинах шестикутника

На периметрі правильного шестикутника перебувають 2 бігуни, спочатку в сусідніх вершинах. Щосекунди кожен з бігунів незалежно переміщується або на одну вершину вліво з ймовірністю 12\frac{1}{2}, або на одну вершину вправо, також з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Знайдіть ймовірність того, що після 2013-секундного забігу (під час якого кожен з бігунів змінює вершину 2013 разів) бігуни знову опиняться в сусідніх вершинах.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-034

Очікувана кількість ігор у матчі зі зміщенням

Тім і Аллен грають матч з тенусу. У матчі з тенусу двоє гравців грають серію ігор, у кожній з яких перемагає один із двох гравців. Матч закінчується, коли один із гравців виграв рівно на дві гри більше, ніж інший; у цей момент гравець, що виграв більше ігор, виграє матч. В іграх з непарними номерами Тім перемагає з імовірністю 3/43/4, а в іграх з парними номерами Аллен перемагає з імовірністю 3/43/4. Чому дорівнює очікувана кількість ігор у матчі?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-072

Впорядковані розбиття числа 2013 на прості числа

Нехай PP — кількість способів розбити 20132013 на впорядкований кортеж простих чисел. Чому дорівнює log⁡2(P)\log_{2}(P)? Якщо ваша відповідь дорівнює AA, а правильна відповідь дорівнює CC, то ваша оцінка за цю задачу становитиме ⌊1252(min⁡(CA,AC)−35)⌋\left\lfloor\frac{125}{2}\left(\min \left(\frac{C}{A}, \frac{A}{C}\right)-\frac{3}{5}\right)\right\rfloor або нуль, залежно від того, яке з цих значень більше.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-013

Підрахунок незвичайних шляхів у діаграмі

Розглянемо діаграму, зображену нижче: Аугушту любить рахувати шляхи, що починаються в деякій точці, приходять у точку AA і ніколи не проходять через одну й ту саму вершину двічі. Для цього він зображує шлях послідовністю точок, які відвідує шлях. Наприклад, пунктирний шлях на рисунку нижче зображується послідовністю DCBAD C B A. Аугушту називає шлях незвичайним, якщо послідовність, що зображує цей шлях, упорядкована у зворотному алфавітному порядку. Іншими словами, шлях є незвичайним, якщо він ніколи не йде вліво, чи то вгору, чи то вниз. Наприклад, шлях DCBAD C B A є незвичайним. А шлях DBCAD B C A не є незвичайним, оскільки літера CC з'являється перед літерою BB. a) Скільки існує незвичайних шляхів, що починаються в DD і закінчуються в AA? b) Покажіть, що кількість незвичайних шляхів, які починаються в EE, дорівнює сумі кількості незвичайних шляхів, які починаються в DD, і кількості незвичайних шляхів, які починаються в CC. c) Аугушту обчислив кількість незвичайних шляхів, що виходять з KK і приходять в AA. Чому дорівнює це число?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-019

Замощення дошки 2×n доміно

Малий Абель отримав у подарунок дошку 2×n2 \times n і nn фішок розміром 2×12 \times 1. Наприклад, на рисунку нижче показано випадок, коли n=10n=10, тобто коли Абель має дошку 2×102 \times 10 і 10 фішок розміром 2×12 \times 1. Він бавиться, заповнюючи дошку за допомогою nn фішок. Наприклад, при n=10n=10 Абель міг би заповнити її способами, проілюстрованими нижче: Зауважте, однак, що існує багато інших способів, якими Абель може заповнити свою дошку. a) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку у випадках, коли n=1,n=2n=1, n=2 і n=3n=3, тобто у випадку, коли дошки мають розміри 2×1,2×22 \times 1,2 \times 2 і 2×32 \times 3. b) Нехай ana_{n} — кількість способів, якими Абель може заповнити дошку 2×n2 \times n, використавши nn фішок 2×12 \times 1. Покажіть, що a10=a9+a8a_{10}=a_{9}+a_{8}. c) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку, коли n=10n=10.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-002

Обходи кола із забороненими ходами

Для натурального числа n≥3n \ge 3 позначимо nn рівновіддалених точок навколо кола. Позначимо одну з них AA і поставимо фішку в AA. Фішку можна рухати вперед за годинниковою стрілкою або до наступної точки, або через одну. Отже, загалом є 2n2n різних ходів; по два з кожної точки. Нехай ana_n позначає кількість способів пройти навколо кола рівно двічі, починаючи і закінчуючи в AA, не повторюючи жодного ходу. Доведіть, що an−1+an=2na_{n-1} + a_n = 2^n для всіх n≥4n \ge 4.
10–11 класиРекурентний підрахунок4 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.