Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

387 задач
АлгебраСуми послідовностей
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-003

Квадратна послідовність із сумами у вигляді квадратів

Нескінченну послідовність натуральних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots назвемо квадратною, якщо: 1) a1a_1 є точним квадратом; 2) для всіх натуральних n⩾2n \geqslant 2 ana_n є найменшим натуральним числом, для якого na1+(n−1)a2+…+2an−1+anna_1 + (n-1)a_2 + \ldots + 2a_{n-1} + a_n є точним квадратом. Доведіть, що для будь-якої квадратної послідовності a1,a2,…a_1, a_2, \ldots існує таке натуральне число kk, що рівність an=aka_n = a_k виконується для всіх натуральних n⩾kn \geqslant k.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-005

Недосяжні суми значень многочлена степеня вище першого

Задано многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами степеня, вищого за 11. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел, які не можна подати у вигляді виразу f(n+1)+f(n+2)+…+f(n+k)f(n+1)+f(n+2)+\ldots+f(n+k) з натуральними числами nn та kk.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-006

Дві обмежені послідовності з умовою для різниць

Чи існують дві такі обмежені послідовності (an)(a_n) та (bn)(b_n), що для довільних натуральних m>nm > n справджується принаймні одна з двох умов: ∣am−an∣>1nабо∣bm−bn∣>1n.|a_m - a_n| > \frac{1}{\sqrt{n}} \quad \text{або} \quad |b_m - b_n| > \frac{1}{\sqrt{n}}.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-002

Нерівність для суми нормованих дійсних чисел

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, а a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа такі, що a1+a2+⋯+an=1a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1. Доведіть, що ∑k=1nak1−ak(a1+a2+⋯+ak−1)2<13.\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{1-a_{k}}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k-1}\right)^{2}<\frac{1}{3} .
10–11 класиСуми послідовностей3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-003

Нерівність для послідовності з квадратичною умовою

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — ціле число, а x0,x1,…,xn+1x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n+1} — n+2n+2 невід'ємних дійсних чисел, які задовольняють xixi+1−xi−12⩾1x_{i} x_{i+1}-x_{i-1}^{2} \geqslant 1 для всіх i=1,2,…,ni=1,2, \ldots, n. Доведіть, що x0+x1+⋯+xn+xn+1>(2n3)3/2x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}>\left(\frac{2 n}{3}\right)^{3 / 2}
10–11 класиНерівність Коші
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-008

Стаціонарність нескінченної послідовності з нерівністю середніх

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \ldots — нескінченна послідовність додатних чисел така, що для кожного натурального nn справджується нерівність a1+a2+…+ann⩾a12+a22+…+an+12n+1.\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geqslant \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{n+1}^2}{n+1}}. Доведіть, що послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots є стаціонарною, тобто всі її члени рівні між собою.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-006

Числа від 1 до 15 і сумарне значення виразів

На аркуші паперу записано числа 1,2,3,…,14,151, 2, 3, \ldots, 14, 15. Андрій і Дарина виконують такі дії: Андрій вибирає на аркуші два довільних числа, наприклад xx і yy, витирає їх і записує суму x+yx + y на цьому аркуші. Водночас Дарина записує значення виразу xy(x+y)xy(x + y) у свій зошит. Вони виконують ці операції, доки на аркуші не залишиться єдине число. Тоді Дарина додає всі числа, що були записані в її зошиті. Позначимо їх суму через kk. а) Доведіть, що значення kk не залежить від порядку виконання операцій. б) Знайдіть значення kk.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-004

Сума з обмеженою послідовністю та квадратними коренями

Нехай nn і kk — натуральні числа. Доведіть, що для a1,…,an∈[1,2k]a_{1}, \ldots, a_{n} \in [1,2^{k}] виконується ∑i=1naia12+…+ai2⩽4kn\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{\sqrt{a_{1}^{2}+\ldots+a_{i}^{2}}} \leqslant 4 \sqrt{k n}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-011

Ітеративна заміна в послідовності добутків

Нехай m≥2m \ge 2 — натуральне число. Розглянемо 2m2m чисел 1⋅2,2⋅3,3⋅4,…,2m(2m+1).1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \dots, 2m(2m + 1). Хід полягає у виборі трьох чисел a,b,ca, b, c і заміні їх одним числом abcab+bc+ca.\frac{abc}{ab + bc + ca}. Після m−1m-1 таких ходів залишаться лише два числа. Припустивши, що одне з них дорівнює 43\frac{4}{3}, доведіть, що інше перевищує 4.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-002

Різні суми підвідрізків перестановки

Нехай a1,a2,…,a100a_1, a_2, \dots, a_{100} — перестановка чисел 1,2,…,1001, 2, \dots, 100. Позначимо через NN кількість різних значень сум ∑i=uvai,де1≤u≤v≤100.\sum_{i=u}^{v} a_i, \quad \text{де} \quad 1 \le u \le v \le 100. Чи можливо, що N≥2500N \ge 2500?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-003

Суми стовпців у трикутній таблиці

У деяких клітинках таблиці 100×100100 \times 100 записано невід'ємні цілі числа. Для кожного kk, 1≤k≤1001 \le k \le 100, kk-й рядок таблиці містить числа від 11 до kk, записані в порядку зростання (зліва направо), але не обов'язково в сусідніх клітинках. Порожні клітинки заповнено нулями. Доведіть, що існують два стовпці такі, що сума чисел в одному з них принаймні в 1919 разів більша за суму в другому стовпці.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-007

Добуток дробів із четвертими степенями до 2018

Обчисліть такий добуток: ∏m=12018(2m−1)4+14(2m)4+14\prod_{m=1}^{2018} \frac{(2m-1)^4 + \frac{1}{4}}{(2m)^4 + \frac{1}{4}}
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-001

Нерівність для впорядкованих дійсних послідовностей

Знайдіть найбільше дійсне число aa таке, що для всіх n⩾1n \geqslant 1 і для всіх дійсних чисел x0,x1,…,xnx_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}, які задовольняють 0=x0<x1<x2<⋯<xn0=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}, виконується 1x1−x0+1x2−x1+⋯+1xn−xn−1⩾a(2x1+3x2+⋯+n+1xn)\frac{1}{x_{1}-x_{0}}+\frac{1}{x_{2}-x_{1}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}-x_{n-1}} \geqslant a\left(\frac{2}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}+\cdots+\frac{n+1}{x_{n}}\right)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-002

Блок-подібні многочлени фіксованого степеня

Нехай nn — фіксоване ціле число таке, що n⩾2n \geqslant 2. Будемо казати, що два многочлени PP і QQ з дійсними коефіцієнтами є блок-подібними, якщо для кожного i∈{1,2,…,n}i \in\{1,2, \ldots, n\} послідовності P(2015i),P(2015i−1),…,P(2015i−2014) і Q(2015i),Q(2015i−1),…,Q(2015i−2014)\begin{aligned} & P(2015 i), P(2015 i-1), \ldots, P(2015 i-2014) \quad \text{ і } \\ & Q(2015 i), Q(2015 i-1), \ldots, Q(2015 i-2014) \end{aligned} є перестановками одна одної. a. Доведіть, що існують різні блок-подібні многочлени степеня n+1n+1. b. Доведіть, що не існує різних блок-подібних многочленів степеня nn.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-025

Четвірки з рівними сумами пар

Нехай n≥4n \ge 4 — парне натуральне число. Скількома способами можна вибрати чотири різні натуральні числа kk, 1≤k≤n1 \le k \le n, так, щоб сума двох із вибраних чисел дорівнювала сумі двох інших?
10–11 класиРозбиття на випадки
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-018

Сума перших 2012 чисел рядка з 1 і 2012

У рядок записано числа, кожне з яких дорівнює 11 або 20122012. Перше число в рядку — 20122012. Між першим числом 20122012 і другим числом 20122012 записано рівно одну одиницю. Між другим числом 20122012 і третім числом 20122012 записано рівно дві одиниці, між третім числом 20122012 і четвертим числом 20122012 записано рівно три одиниці і т. д. Знайдіть суму перших 20122012 чисел такої послідовності.
4–6 класиАрифметична прогресія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-029

Рівнобедрені трикутники на ґратці з діагоналями

Квадратна сітка 2011×20112011 \times 2011 поділена на трикутники діагоналями клітинок. Яка загальна кількість рівнобедрених трикутників у фігурі?
10–11 класиРозбиття на випадки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2011-003

Сума за взаємно простими парами з обмеженням

Доведіть, що для будь-якого цілого n≥2n \geq 2 сума дробів 1ab\frac{1}{a b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа такі, що a<b≤na < b \leq n і a+b>na + b > n, дорівнює 12\frac{1}{2}.
10–11 класиСуми послідовностей
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-002

Рекурентна послідовність з невід'ємними частковими сумами

Послідовність x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \ldots визначено умовами x1=1x_{1}=1 та x2k=−xkx_{2k}=-x_{k}, x2k−1=(−1)k+1xkx_{2k-1}=(-1)^{k+1} x_{k} для всіх k≥1k \geq 1. Доведіть, що x1+x2+⋯+xn≥0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geq 0 для всіх n≥1n \geq 1.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-002

Обмеженість із субадитивності та спадання на степенях двійки

Нехай c>2c>2, і нехай a(1),a(2),…a(1), a(2), \ldots — послідовність невід'ємних дійсних чисел така, що a(m+n) \leq 2 a(m)+2 a(n) \quad \text{ для всіх } m, n \geq 1, \tag{1} і a\left(2^{k}\right) \leq \frac{1}{(k+1)^{c}} \quad \text{ для всіх } k \geq 0 \tag{2} Доведіть, що послідовність a(n)a(n) обмежена.
10–11 класиСуми послідовностей
Балтійський шляхBW-2005-003

Сума з рекурентною послідовністю

Розглянемо послідовність aka_{k}, задану умовами a1=1a_{1}=1, a2=12a_{2}=\frac{1}{2}, ak+2=ak+12ak+1+14akak+1при k≥1a_{k+2}=a_{k}+\frac{1}{2} a_{k+1}+\frac{1}{4 a_{k} a_{k+1}} \quad \text{при } k \geq 1 Доведіть, що 1a1a3+1a2a4+1a3a5+⋯+1a98a100<4\frac{1}{a_{1} a_{3}}+\frac{1}{a_{2} a_{4}}+\frac{1}{a_{3} a_{5}}+\cdots+\frac{1}{a_{98} a_{100}}<4
10–11 класиСуми послідовностей
Балтійський шляхBW-2004-003

Середні суфіксів, обмежені загальним середнім

Нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — дійсні числа із середнім арифметичним XX. Доведіть, що існує натуральне число KK таке, що середнє арифметичне кожного зі списків {x1,x2,…,xK}\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{K}\}, {x2,x3,…,xK}\{x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{K}\}, …\ldots, {xK−1,xK}\{x_{K-1}, x_{K}\}, {xK}\{x_{K}\} не більше за XX.
10–11 класиСуми послідовностей
Балтійський шляхBW-2002-019

Арифметична прогресія з цілих степенів

Чи існує нескінченна непостійна арифметична прогресія, кожен член якої має вигляд aba^{b}, де aa і bb — натуральні числа, причому b⩾2b \geqslant 2?
10–11 класиСуми послідовностей
Балтійський шляхBW-1995-008

Знакозмінна сума з телескопічними дробами

Доведіть, що 19952−19943+19934−⋯−21995+11996=1999+31000+⋯+19951996.\frac{1995}{2}-\frac{1994}{3}+\frac{1993}{4}-\cdots-\frac{2}{1995}+\frac{1}{1996}=\frac{1}{999}+\frac{3}{1000}+\cdots+\frac{1995}{1996} .
10–11 класиСуми послідовностей
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1991-003

Оцінка суми обернених квадратів

Доведіть, що 122+132+…+1n2<23\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}<\frac{2}{3}
10–11 класиСуми послідовностей

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.