Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

293 задачі
КомбінаторикаБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-007

Послідовні суми та непарні дільники

Нехай nn — натуральне число. Нехай kk — кількість способів подати nn у вигляді суми одного або кількох послідовних натуральних чисел. Доведіть, що kk дорівнює кількості непарних додатних дільників числа nn.
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-003

Збалансовані підмножини з рівністю медіани й середнього

Нехай nn — натуральне число, і позначимо Sn={1,2,…,n}S_n = \{1, 2, \dots, n\}. Розглянемо непорожню підмножину TT множини SnS_n. Будемо казати, що TT збалансована, якщо медіана множини TT дорівнює середньому арифметичному TT. Наприклад, при n=9n = 9 кожна з підмножин {7}\{7\}, {2,5}\{2, 5\}, {2,3,4}\{2, 3, 4\}, {5,6,8,9}\{5, 6, 8, 9\} і {1,4,5,7,8}\{1, 4, 5, 7, 8\} збалансована; проте підмножини {2,4,5}\{2, 4, 5\} і {1,2,3,5}\{1, 2, 3, 5\} не є збалансованими. Для кожного n≥1n \ge 1 доведіть, що кількість збалансованих підмножин множини SnS_n непарна. (Щоб означити медіану множини з kk чисел, спочатку впорядкуйте числа за зростанням; тоді медіаною є середнє число, якщо kk непарне, і середнє арифметичне двох середніх чисел, якщо kk парне. Наприклад, медіана множини {1,3,4,8,9}\{1, 3, 4, 8, 9\} дорівнює 44, а медіана множини {1,3,4,7,8,9}\{1, 3, 4, 7, 8, 9\} дорівнює (4+7)/2=5.5(4+7)/2 = 5.5.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-035

Паліндромні підрядки в слові

Нехай w=w1w2…wnw = w_{1} w_{2} \ldots w_{n} — слово. Підрядком слова ww назвемо слово виду wiwi+1…wj−1wjw_{i} w_{i+1} \ldots w_{j-1} w_{j} для деякої пари натуральних чисел 1≤i≤j≤n1 \leq i \leq j \leq n. Доведіть, що слово ww має не більше ніж nn різних паліндромних підрядків. Наприклад, aaaaa має 5 різних паліндромних підрядків, а abcata — 5 (a,b,c,t,ataa, b, c, t, ata).
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-069

Двійкові слова з умовою голосування та блоковими обмеженнями

Обчисліть кількість можливих слів w=w1w2…w100w = w_{1} w_{2} \ldots w_{100}, що задовольняють умовам: - ww містить рівно 5050 літер AA і 5050 літер BB (та ніяких інших літер). - Для i=1,2,…,100i = 1, 2, \ldots, 100 кількість літер AA серед w1,w2,…,wiw_{1}, w_{2}, \ldots, w_{i} не перевищує кількості літер BB серед w1,w2,…,wiw_{1}, w_{2}, \ldots, w_{i}. - Для всіх i=44,45,…,57i = 44, 45, \ldots, 57: якщо wiw_{i} є BB, то wi+1w_{i+1} має бути BB.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-020

Суми різних реп'юнітів

Реп'юніт — це натуральне число, усі цифри якого дорівнюють 11. Нехай a1<a2<a3<…a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots — список усіх натуральних чисел, які можна подати у вигляді суми різних реп'юнітів. Обчисліть a111a_{111}.
10–11 класиСистеми числення
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-011

Вибір трьох попарно несуміжних будинків

Абеларда, Брунільда та Каллісто, троє давніх знайомих, хочуть купити по одному будинку з 10 будиночків у ряд на головній вулиці міста. Оскільки вони не терплять одне одного, вони будь-що хочуть уникнути сусідства: тому вони хочуть, щоб будинки, які вони придбають, були попарно несуміжними. Скількома способами вони можуть купити будинки так, щоб задовольнити цю умову? (A) 56 (B) 120 (C) 336 (D) 480 (E) 504
10–11 класиБієкції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-032

Дільники квадрата числа з обмеженнями

Щоб визначити кількість додатних дільників числа, достатньо розкласти його на степені різних простих чисел і перемножити числа, на одиницю більші за показники. Наприклад, 2016=25⋅32⋅712016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7^{1} має (5+1)(2+1)(1+1)=36(5+1)(2+1)(1+1)=36 додатних дільників. Розглянемо число n=27⋅34n=2^{7} \cdot 3^{4}. а) Визначте кількість додатних дільників числа n2n^{2}. б) Скільки дільників числа n2n^{2} більші за nn? в) Скільки дільників числа n2n^{2} більші за nn і не є кратними nn?
8–9 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-041

Латинський квадрат 4x4 з початком першого рядка 1, 2

Латинський квадрат — це таблиця n×nn \times n, заповнена nn різними символами так, що в кожному рядку та в кожному стовпці немає повторюваних символів. Наприклад, на рисунку нижче показано приклад латинського квадрата розміру 3×33 \times 3. Назва навіяна працями математика Леонарда Ейлера, який використовував латинські літери як символи. | 1 | 2 | 3 | |:--- |:--- |:--- | | 3 | 1 | 2 | | 2 | 3 | 1 | Відомо, що існує 576 різних латинських квадратів розміру 4×44 \times 4. Скількома способами можна доповнити наведений нижче квадрат, який вже має дві заповнені клітинки, цифрами 1,2,3 і 4 так, щоб у кожному рядку та стовпці містилися всі чотири цифри?
8–9 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-015

Ефективні шляхи на двосмуговій решітці

Розглянемо сітку точок 2×n2 \times n і шлях, що складається з 2n−12n-1 прямолінійних відрізків, які сполучають усі ці 2n2n точок, починаючи з нижнього лівого кута і закінчуючи у верхньому правому куті. Такий шлях називається ефективним, якщо кожна точка проходиться лише один раз і жодні два відрізки не перетинаються. Скільки ефективних шляхів існує при n=2016n=2016?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-093

Добре заповнені підмножини цілих чисел

Непорожня множина SS називається добре заповненою, якщо для кожного m∈Sm \in S є менше ніж 12m\frac{1}{2} m елементів множини SS, які менші за mm. Знайдіть кількість добре заповнених підмножин множини {1,2,…,42}\{1,2, \ldots, 42\}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-095

Ходи фішок на дошці 1 на 6

Рейчел має дві нерозрізнювані фішки й ставить їх на першу та другу клітинки дошки 1×61 \times 6. Вона може рухати фішки двома способами: - Якщо перед фішкою є вільна клітинка, то вона може пересунути цю фішку на одну клітинку вправо. - Якщо клітинка безпосередньо праворуч від фішки зайнята іншою фішкою, то вона може «перестрибнути» першою фішкою; вона пересуває першу фішку на дві клітинки вправо, через іншу фішку, так, щоб вона опинилася на клітинці безпосередньо праворуч від іншої фішки. Якщо фішка досягає 6-ї клітинки, то вона більше не може рухатися вперед, і Рейчел мусить рухати іншу, доки та не досягне 5-ї клітинки. Скільки існує різних послідовностей ходів фішками, якими Рейчел може досягти того, щоб дві фішки опинилися на 5-й та 6-й клітинках?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-054

Підмножини зі спільним екстремальним елементом

Знайдіть кількість способів вибрати дві непорожні підмножини XX і YY множини {1,2,…,2001}\{1,2, \ldots, 2001\}, такі, що ∣Y∣=1001|Y|=1001 і найменший елемент YY дорівнює найбільшому елементу XX.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2016-015

Порівняння суми цифр числа та його подвоєння

Нехай kk — натуральне число, а s(n)s(n) позначає суму цифр натурального числа nn. Доведіть, що серед натуральних чисел із kk цифрами є стільки ж чисел nn, які задовольняють s(n)<s(2n)s(n)<s(2 n), скільки чисел nn, які задовольняють s(n)>s(2n)s(n)>s(2 n).
10–11 класиБієкції
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2016-004

Підрахунок PIN-кодів з обмеженням на суму цифр

PIN-код телефону Євгенії складається з 4 цифр; Євгенія пам’ятає лише, що перша — від 0 до 6, друга — від 0 до 3, третя — від 0 до 4, четверта — від 0 до 2, і що сума чотирьох цифр становить принаймні 8 (наприклад, PIN міг би бути 3330). Скільки існує кодів, сумісних зі спогадами Євгенії?
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-004

Перестановки блоків з умовою стрибка кота

Кунегонда має nn блоків висотою від 1 до nn і хотіла б розташувати їх один за одним так, щоб її кіт міг пересуватися, стрибаючи з одного блока на інший, зліва направо. Її кіт може стрибнути з блока на наступний, якщо той або нижчий, або вищий на 1 за попередній блок. На початку її кіт перебуває на крайньому лівому блоці. Скількома способами Кунегонда може розташувати свої блоки так, щоб її кіт зміг пройти всі блоки?
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-011

Нерівні трикутники у правильному десятикутнику

Нехай DD — правильний десятикутник з довжиною сторони 1. Трикутник TT задають вибором трьох вершин десятикутника DD і сполученням їх відрізками. Скільки існує різних (попарно нерівних) трикутників TT?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-106

Ймовірність утворення квадрата з випадкових клітинок

Розглянемо сітку квадратів 6×66 \times 6. Едмонд вибирає чотири з цих квадратів рівномірно навмання. Яка ймовірність того, що центри цих чотирьох квадратів утворюють квадрат?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-137

Ймовірність різниці в одне замовлення супу і салату

2015 людей сідають у ресторані. Кожна людина замовляє суп з імовірністю 12\frac{1}{2}. Незалежно кожна людина замовляє салат з імовірністю 12\frac{1}{2}. Яка ймовірність того, що кількість людей, які замовили суп, рівно на одну більша за кількість людей, які замовили салат?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-139

Умовна ймовірність із кольоровими кульками

У Келвіна є мішок із 50 червоними кульками, 50 синіми кульками та 30 жовтими кульками. Відомо, що після того, як він навмання витягнув 65 кульок (без повернення), червоних кульок серед витягнутих виявилося на 5 більше, ніж синіх. Яка ймовірність того, що наступна кулька, яку він витягне, буде червоною?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-140

Ймовірність строго зростаючої випадкової послідовності

Група друзів, пронумерованих 1,2,3,…,161,2,3, \ldots, 16, по черзі вибирає випадкові числа. Особа 1 вибирає число рівномірно (випадково) в [0,1][0, 1], потім особа 2 вибирає число рівномірно (випадково) в [0,2][0, 2] і так далі, причому особа kk вибирає число рівномірно (випадково) в [0,k][0, k]. Яка ймовірність того, що 16 вибраних чисел будуть строго зростаючими?
10–11 класиБієкції3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-040

Розфарбування сітки 2×2 з точністю до поворотів

Розглянемо сітку 2×22 \times 2 з квадратиків. Кожен із квадратиків буде пофарбовано в один із 10 кольорів, причому два розфарбування вважаються еквівалентними, якщо одне можна отримати з іншого поворотом. Скільки існує різних розфарбувань?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-068

Підмножини, замкнені відносно симетричної різниці

Нехай PP позначає множину всіх підмножин {1,…,23}\{1, \ldots, 23\}. Підмножина S⊆PS \subseteq P називається хорошою, якщо для будь-яких множин A,BA, B з SS множина (A\B)∪(B\A)(A \backslash B) \cup (B \backslash A) також належить SS. (Тут A\BA \backslash B позначає множину всіх елементів з AA, які не належать BB, а B\AB \backslash A позначає множину всіх елементів з BB, які не належать AA.) Яку частку хороших підмножин PP становлять ті, що мають від 2015 до 3015 елементів включно? Якщо ваша відповідь — десяткове число або дріб (вигляду m/nm / n, де mm і nn — натуральні числа), то ваш результат за цю задачу дорівнюватиме max⁡{0,25−⌊1000∣A−N∣⌋}\max \{0,25-\lfloor 1000|A-N|\rfloor\}, де NN — ваша відповідь, а AA — правильна відповідь. Інакше ваш результат буде нульовим.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-092

Зростаюча послідовність зі чергуванням парності

Знайдіть кількість строго зростаючих послідовностей невід'ємних цілих чисел з такими властивостями: - Перший член дорівнює 00, а останній член дорівнює 1212. Зокрема, послідовність має принаймні два члени. - Серед будь-яких двох сусідніх членів рівно один є парним.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-098

Симетрія кількості балотних послідовностей

Для цілих чисел m,n≥1m, n \geq 1 нехай A(n,m)A(n, m) — кількість послідовностей (a1,⋯ ,anm)(a_{1}, \cdots, a_{n m}) із цілих чисел, які задовольняють такі дві властивості: (a) Кожне ціле число kk з 1≤k≤n1 \leq k \leq n трапляється в послідовності (a1,⋯ ,anm)(a_{1}, \cdots, a_{n m}) рівно mm разів. (b) Якщо i,ji, j і kk — цілі числа, такі, що 1≤i≤nm1 \leq i \leq n m і 1≤j≤k≤n1 \leq j \leq k \leq n, то jj трапляється в послідовності (a1,⋯ ,ai)(a_{1}, \cdots, a_{i}) принаймні стільки ж разів, скільки kk. Наприклад, якщо n=2n=2 і m=5m=5, то можлива послідовність — (a1,⋯ ,a10)=(1,1,2,1,2,2,1,2,1,2)(a_{1}, \cdots, a_{10})=(1,1,2,1,2,2,1,2,1,2). Натомість послідовність (a1,⋯ ,a10)=(1,2,1,2,2,1,1,1,2,2)(a_{1}, \cdots, a_{10})=(1,2,1,2,2,1,1,1,2,2) не задовольняє властивість (b) для i=5,j=1i=5, j=1 і k=2k=2. Доведіть, що A(n,m)=A(m,n)A(n, m)=A(m, n).
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-023

Замкнені вгору системи множин із перетином

Знайдіть кількість непорожніх множин F\mathcal{F} підмножин множини {1,…,2014}\{1, \ldots, 2014\} таких, що: a. Для будь-яких підмножин S1,S2∈FS_{1}, S_{2} \in \mathcal{F}, S1∩S2∈FS_{1} \cap S_{2} \in \mathcal{F}. b. Якщо S∈FS \in \mathcal{F}, T⊆{1,…,2014}T \subseteq \{1, \ldots, 2014\}, і S⊆TS \subseteq T, то T∈FT \in \mathcal{F}.
10–11 класиБієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.