Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
ГеометріяГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-002

Коло через середини та ортоцентр

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, ортоцентром HH і описаним колом Ω\Omega. Нехай MM — середина відрізка AHAH, а NN — середина відрізка BHBH. Припустимо, що точки M,N,O,HM, N, O, H різні й лежать на колі ω\omega. Доведіть, що кола ω\omega і Ω\Omega дотикаються внутрішнім чином.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-130

Трикутник із центрами напіввписаних кіл

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Нехай HH і Γ\Gamma позначають ортоцентр і описане коло △ABC\triangle ABC. BB-напіввписане коло з центром у точці OBO_{B} дотикається до прямих BABA і BCBC та внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma. CC-напіввписане коло з центром у точці OCO_{C} визначено аналогічно. Припустімо, що DH‾⊥OBOC‾\overline{DH} \perp \overline{O_{B}O_{C}}, AB=3AB=\sqrt{3} і AC=2AC=2. Знайдіть довжину сторони BCBC.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-050

Ланцюжок вписаних кіл і кількість перетинів

Нехай ΔA1B1C\Delta A_{1} B_{1} C — трикутник, у якому ∠A1B1C=90∘\angle A_{1} B_{1} C=90^{\circ} і CA1CB1=5+2\frac{C A_{1}}{C B_{1}}=\sqrt{5}+2. Для довільного i≥2i \geq 2 визначимо AiA_{i} як точку на прямій A1CA_{1} C таку, що AiBi−1⊥A1CA_{i} B_{i-1} \perp A_{1} C, а BiB_{i} визначимо як точку на прямій B1CB_{1} C таку, що AiBi⊥B1CA_{i} B_{i} \perp B_{1} C. Нехай Γ1\Gamma_{1} — вписане коло трикутника ΔA1B1C\Delta A_{1} B_{1} C, а для i≥2,Γii \geq 2, \Gamma_{i} — коло, дотичне до Γi−1,A1C,B1C\Gamma_{i-1}, A_{1} C, B_{1} C, яке менше за Γi−1\Gamma_{i-1}. Скільки існує цілих чисел kk таких, що пряма A1B2016A_{1} B_{2016} перетинає Γk\Gamma_{k}?
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-056

Еліпс через чотири точки з мінімальною площею

Знайдіть найменшу можливу площу еліпса, що проходить через (2,0)(2,0), (0,3)(0,3), (0,7)(0,7) і (6,0)(6,0).
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-005

Пряма Сімсона проходить через центроїд

Нехай ABCABC — трикутник. Нехай PP належить описаному колу. Відомо, що проєкції точки PP на (BC)(BC), (CA)(CA) і (AB)(AB) лежать на одній прямій, що називається прямою Сімсона. Припустимо, що ця пряма проходить через точку, діаметрально протилежну точці PP. Доведіть, що вона також проходить через центроїд трикутника ABCABC.
9–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-004

Конкурентність прямих при дотику кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай MM — середина дуги BCBC, яка не містить AA. Коло C\mathscr{C} дотикається до променів [AB),[AC)[AB), [AC) у точках DD і EE відповідно та дотикається зсередини до кола Γ\Gamma у точці FF. Доведіть, що прямі (DE),(BC)(DE), (BC) і (FM)(FM) перетинаються в одній точці.
9–11 класиПроєктивна геометрія
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-013

Чотирикутник зі спільною точкою вписаних кіл

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Припустимо, що вписані кола трикутників ABCABC, BCDBCD, CDACDA і DABDAB мають спільну точку. Доведіть, що ABCDABCD — ромб.
8–10 класиВписане коло
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-028

Симетричні точки дотику відносно інцентра і перпендикулярність

Нехай ABCABC — трикутник, D,E,FD, E, F — точки дотику вписаного кола зі сторонами (BC)(BC), (AC)(AC) і (AB)(AB), MM — середина сторони [BC][BC], II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Точки GG і HH симетричні точкам EE і FF відносно II. Позначимо через QQ перетин прямих (BC)(BC) і (GH)(GH). Доведіть, що прямі (IQ)(IQ) і (IM)(IM) перпендикулярні.
9–11 класиПроєктивна геометрія
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-015

Конкурентність прямих у конфігурації з дотичними колами

Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точці SS, причому ω1\omega_{1} лежить усередині кола ω2\omega_{2}. Нехай OO — центр кола ω1\omega_{1}. Хорда [AB][AB] кола ω2\omega_{2} дотикається до кола ω1\omega_{1} в точці TT. Доведіть, що пряма (AO)(AO), перпендикуляр до прямої (AB)(AB), який проходить через BB, і перпендикуляр до прямої (ST)(ST), який проходить через SS, перетинаються в одній точці.
8–10 класиТеорема Чеви
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-122

Трикутник із центроїдів, побудованих від ортоцентра

Нехай ABCABC — трикутник з ортоцентром HH; припустимо, що AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай GAG_{A} — центроїд трикутника HBCHBC, і аналогічно визначимо GB,GCG_{B}, G_{C}. Знайдіть площу трикутника GAGBGCG_{A} G_{B} G_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2015-008

Рівні кути у трикутнику з прямою, паралельною до основи

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB>ACAB > AC, а MM — середина сторони ACAC. Далі нехай DD — точка на стороні ABAB така, що DB=DCDB = DC. Пряма, паралельна стороні BCBC, що проходить через DD, і пряма BMBM перетинаються в точці KK. Доведіть, що ∠KCD=∠DAC\angle KCD = \angle DAC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2015-015

Радіуси вписаних кіл у трикутниках, утворених чевіанами

Нехай ABCABC — трикутник. Точки KK, LL і MM лежать на сторонах BCBC, CACA і ABAB так, що прямі AKAK, BLBL і CMCM перетинаються в одній точці. Доведіть, що серед трикутників AMLAML, BKMBKM і CLKCLK можна вибрати два так, щоб сума радіусів їхніх вписаних кіл була не меншою за радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТеорема Чеви
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-002

Центри описаних кіл у конфігурації з вписаним колом

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, вписане коло якого дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає пряму EFEF у точках PP і QQ. Якщо O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників IABIAB і IACIAC відповідно, доведіть, що центр описаного кола трикутника DPQDPQ лежить на прямій O1O2O_1O_2.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-033

Точки на одному колі при паралельних радіусах двох кіл

Нехай дано два кола C\mathcal{C} і C′\mathcal{C}^{\prime} з центрами OO і O′O^{\prime}, що лежать одне поза іншим. Проведено два паралельні однаково напрямлені радіуси [OM][O M] і [O′M′][O^{\prime} M^{\prime}], а також два інші паралельні однаково напрямлені радіуси [OP][O P] і [O′P′][O^{\prime} P^{\prime}]. Пряма (MM′)(M M^{\prime}) вдруге перетинає C′\mathcal{C}^{\prime} в точці NN, а пряма (PP′)(P P^{\prime}) вдруге перетинає C′\mathcal{C}^{\prime} в точці QQ. Доведіть, що M,N,P,QM, N, P, Q лежать на одному колі.
9–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-083

Коло через дві внутрішні точки кола

Нехай ω\omega — коло, а AA і BB — дві точки в його внутрішності. Доведіть, що існує коло, яке проходить через AA і BB і міститься у внутрішності кола ω\omega.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-105

Хорди парабол у рівносторонньому трикутнику

У рівносторонньому трикутнику ABCABC зі стороною 22 парабола з фокусом AA і директрисою BCBC перетинає сторони ABAB і ACAC у точках A1A_{1} і A2A_{2} відповідно. Аналогічно парабола з фокусом BB і директрисою CACA перетинає сторони BCBC і BABA у точках B1B_{1} і B2B_{2} відповідно. Нарешті, парабола з фокусом CC і директрисою ABAB перетинає сторони CACA і CBCB у точках C1C_{1} і C2C_{2} відповідно. Знайдіть периметр трикутника, утвореного прямими A1A2A_{1}A_{2}, B1B2B_{1}B_{2}, C1C2C_{1}C_{2}.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-126

Коло, дотичне до описаного кола у вершині

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14 і CA=15CA = 15. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, нехай OO — його центр, а MM — середина меншої дуги BC^\widehat{BC}. Коло ω1\omega_1 дотикається до кола Γ\Gamma внутрішнім чином у точці AA, а коло ω2\omega_2 з центром у точці MM дотикається до кола ω1\omega_1 зовнішнім чином у точці TT. Промінь ATAT перетинає відрізок BCBC у точці SS, причому BS−CS=4/15BS - CS = 4/15. Знайдіть радіус кола ω2\omega_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-101

Шестикутник з паралельними сторонами й відношеннями площ

Нехай ABCDEFA B C D E F — опуклий шестикутник з такими властивостями. a. AC‾\overline{A C} та AE‾\overline{A E} ділять ∠BAF\angle B A F на три рівні частини. b. BE‾∥CD‾\overline{B E} \parallel \overline{C D} і CF‾∥DE‾\overline{C F} \parallel \overline{D E}. c. AB=2AC=4AE=8AFA B = 2 A C = 4 A E = 8 A F. Припустімо, що чотирикутники ACDEA C D E і ADEFA D E F мають площу 20142014 і 14001400 відповідно. Знайдіть площу чотирикутника ABCDA B C D.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-033

Точки повороту в правильному п’ятикутнику

Дано правильний п’ятикутник площею 11, поворотна пряма — це пряма, яка не проходить через жодну з вершин п’ятикутника, така, що з одного боку від прямої лежать 33 вершини п’ятикутника, а з іншого — 22. Точка повороту — це точка всередині п’ятикутника, через яку проходить лише скінченна кількість неповоротних прямих. Знайдіть площу області точок повороту.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-057

Трикутник з перетинів парабол

У трикутнику ABCABC нехай парабола з фокусом AA і директрисою BCBC перетинає сторони ABAB і ACAC у точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Аналогічно, нехай парабола з фокусом BB і директрисою CACA перетинає сторони BCBC і BABA у точках B1B_1 і B2B_2 відповідно. Нарешті, нехай парабола з фокусом CC і директрисою ABAB перетинає сторони CACA і CBCB у точках C1C_1 і C2C_2 відповідно. Якщо трикутник ABCABC має сторони завдовжки 55, 1212 і 1313, знайдіть площу трикутника, утвореного прямими A1C2A_1C_2, B1A2B_1A_2 і C1B2C_1B_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-037

Подібність трикутників, породжена серединами дуг

Нехай ABCABC — трикутник, а D,E,FD, E, F — середини дуг BC,CA,ABBC, CA, AB на описаному колі. Пряма lal_a проходить через основи перпендикулярів, опущених з AA на прямі DBDB і DCDC. Пряма mam_a проходить через основи перпендикулярів, опущених з DD на прямі ABAB і ACAC. Нехай A1A_1 — точка перетину прямих lal_a і mam_a. Точки B1B_1 і C1C_1 визначимо аналогічно. Доведіть, що трикутники DEFDEF і A1B1C1A_1B_1C_1 подібні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-028

Рівність площ чотирикутника та чотирикутника ортоцентрів

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а точки E,F,GE, F, G і HH — середини сторін AB,BC,CDAB, BC, CD і DADA відповідно. Нехай W,X,YW, X, Y і ZZ — ортоцентри трикутників AHE,BEF,CFGAHE, BEF, CFG і DGHDGH відповідно. Доведіть, що чотирикутники ABCDABCD і WXYZWXYZ мають однакову площу.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-033

Дотичні кола й прямокутний трикутник

Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точці AA і містяться всередині кола Ω\Omega. При цьому ω1\omega_{1} дотикається до кола Ω\Omega в точці BB, а ω2\omega_{2} дотикається до кола Ω\Omega в точці CC. Пряма ACA C перетинає ω1\omega_{1} ще раз у точці DD. Доведіть, що DBCD B C — прямокутний трикутник, якщо A,BA, B і CC не лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-014

Площа трапеції через бісектриси трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами ABAB, CACA і BCBC завдовжки відповідно 1717, 2525 і 2626. Нехай XX і YY — перетини прямої, паралельної до ABAB, що проходить через CC, з бісектрисами кутів CA^BC\widehat{A}B і AB^CA\widehat{B}C відповідно. Чому дорівнює площа трапеції ABXYABXY? (A) 816 (B) 338(1+2)338(1+\sqrt{2}) (C) 784 (D) 408 (E) Визначити за наявними даними неможливо.
9–11 класиГомотерія і подібність
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-005

Точка Мікеля серединного трикутника

У трикутнику ABCABC серединами сторін BCBC, CACA і ABAB є точки DD, EE і FF відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників AEFAEF, BFDBFD і CDECDE всі перетинаються в одній точці.
8–10 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.