Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
КомбінаторикаНапівінваріанти
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-002

Обміни в колі з упорядкованим зростом

Є nn учнів, які стоять у колі один за одним. Учні мають зрости h1<h2<⋯<hnh_1 < h_2 < \dots < h_n. Якщо учень зі зростом hkh_k стоїть безпосередньо за учнем зі зростом hk−2h_{k-2} чи менше, то ці двоє учнів можуть помінятися місцями. Доведіть, що неможливо зробити більше ніж (n3)\binom{n}{3} таких обмінів, доки не буде досягнуто розташування, у якому жодні подальші обміни неможливі.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-002

Розбиття чисел на дві групи з рівними сумами

Нехай NN — натуральне число. Припустімо, що на дошці написано деяку сукупність цілих чисел, які задовольняють такі властивості. Кожне написане число kk задовольняє 1≤k≤N1 \le k \le N. Кожне kk з 1≤k≤N1 \le k \le N написано принаймні один раз. Сума всіх написаних чисел парна. Доведіть, що, позначивши деякі з написаних чисел символом O\mathcal{O}, а решту — символом ×\times, можна зробити суму тих, що позначені символом O\mathcal{O}, рівною сумі тих, що позначені символом ×\times.
10–11 класиЖадібний алгоритм2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-003

Перерозподіл камінців на цілочисельній решітці

Є 20092009 камінців у деяких точках (x,y)(x, y) з обома цілими координатами. Операція полягає у виборі точки (a,b)(a, b) з чотирма або більше камінцями, знятті чотирьох камінців з точки (a,b)(a, b) і розміщенні по одному камінцю в кожну з точок (a,b−1),(a,b+1),(a−1,b),(a+1,b)(a, b - 1), (a, b + 1), (a - 1, b), (a + 1, b) Покажіть, що після скінченної кількості операцій у кожній точці обов'язково буде не більше трьох камінців. Доведіть, що кінцева конфігурація не залежить від порядку виконання операцій.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2008-014

Періодичні рекурентні послідовності цілих чисел

Дві послідовності цілих чисел, a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots і b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots, задовольняють рівняння (an−an−1)(an−an−2)+(bn−bn−1)(bn−bn−2)=0(a_n - a_{n-1})(a_n - a_{n-2}) + (b_n - b_{n-1})(b_n - b_{n-2}) = 0 для кожного цілого числа nn, більшого за 22. Доведіть, що існує натуральне число kk таке, що ak=ak+2008a_k = a_{k+2008}.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2008-021

Стабілізація перетворення цілочисельної послідовності

Нехай A=(a1,a2,…,an)A = (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) — послідовність цілих чисел. Наступником послідовності AA називається послідовність A′=(a1′,a2′,…,an′)A' = (a_{1}', a_{2}', \ldots, a_{n}'), де ak′=∣{i<k∣ai<ak}∣−∣{i>k∣ai>ak}∣a_{k}' = \left|\{i < k \mid a_{i} < a_{k}\}\right| - \left|\{i > k \mid a_{i} > a_{k}\}\right| Нехай A0A_{0} — скінченна послідовність цілих чисел, а для k≥0k \geq 0 нехай Ak+1=Ak′A_{k+1} = A_{k}' — наступник послідовності AkA_{k}. Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що Am=Am+1A_{m} = A_{m+1}.
10–11 класиНапівінваріанти
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-011

Передавання карток у грі по колу

Є по 20082008 червоних і білих карток. Ці 40164016 карток перемішують і складають у стопку. Потім кожному з 20082008 гравців роздають по 22 картки зі стопки, після чого всіх гравців садять по колу обличчям до середини кола. У кожному ході гри кожен гравець одночасно виконує таку дію: якщо гравець має принаймні одну червону картку, він передає одну червону картку гравцеві, що сидить поруч зліва від нього. Якщо гравець не має жодної червоної картки, то він передає одну білу картку гравцеві зліва. Визначте найбільшу можливу кількість ходів, необхідну для того, щоб уперше досягти ситуації, коли кожен гравець матиме по одній червоній і одній білій картці.
10–11 класиНапівінваріанти
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-005

Лінійна залежність і процес віднімання

На дошці записано три невід'ємні дійсні числа r1r_1, r2r_2, r3r_3. Ці числа мають таку властивість: існують цілі числа a1a_1, a2a_2, a3a_3, не всі рівні нулю, такі, що a1r1+a2r2+a3r3=0a_1 r_1 + a_2 r_2 + a_3 r_3 = 0. Дозволено виконувати таку операцію: знайти на дошці два числа xx, yy, для яких x≤yx \le y, після чого стерти yy і записати замість нього y−xy-x. Доведіть, що після скінченної кількості таких операцій на дошці можна отримати принаймні один 00.
10–11 класиНапівінваріанти
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-001

Послідовність з модульною умовою подільності

Нехай nn — натуральне число. Визначимо послідовність, поклавши a1=na_1 = n і для кожного k>1k > 1 взявши за aka_k єдине ціле число в межах 0≤ak≤k−10 \le a_k \le k - 1, для якого a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \cdots + a_k ділиться на kk. Наприклад, коли n=9n = 9, отримана послідовність має вигляд 9,1,2,0,3,3,3,…9, 1, 2, 0, 3, 3, 3, \dots. Доведіть, що для будь-якого nn послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots з певного місця стає сталою.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-009

Стабілізація списку після заміни на НСД і НСК

На дошці написано список натуральних чисел. Далі багаторазово виконують таку операцію: вибирають два довільні числа a,ba, b, стирають їх і пишуть на їхнє місце НСД(a,b)\text{НСД}(a, b) і НСК(a,b)\text{НСК}(a, b). Доведіть, що, починаючи з певного моменту, вміст списку більше не змінюється.
10–11 класиНапівінваріанти
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2003-003

Ітероване перетворення обмежених послідовностей

Нехай n≠0n \neq 0. Для кожної послідовності цілих чисел a=a0,a1,a2,…,ana = a_0, a_1, a_2, \dots, a_n з умовою 0≤ai≤i0 \le a_i \le i при i=0,…,ni = 0, \dots, n визначимо іншу послідовність t(a)=t(a)0,t(a)1,t(a)2,…,t(a)nt(a) = t(a)_0, t(a)_1, t(a)_2, \dots, t(a)_n так: t(a)it(a)_i — це кількість членів послідовності aa, що передують членові aia_i і відрізняються від aia_i. Доведіть, що, починаючи з довільної послідовності aa, як визначено вище, менш ніж nn застосувань перетворення tt приводять до послідовності bb, для якої t(b)=bt(b) = b.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2003-006

Процес різниць у вершинах шестикутника

У вершинах правильного шестикутника записано шість невід'ємних цілих чисел, сума яких дорівнює 20032003. Берт може робити ходи такого вигляду: він може вибрати вершину і замінити записане там число абсолютним значенням різниці чисел, записаних у двох сусідніх вершинах. Доведіть, що Берт може зробити послідовність ходів, після якої в усіх шести вершинах з'явиться число 00.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2001-018

Сума обернених до префіксно-вільної послідовності

Нехай a1<a2<…<ana_{1}<a_{2}<\ldots<a_{n} — послідовність натуральних чисел з властивістю, що для i<ji<j десятковий запис числа aja_{j} не починається із запису числа aia_{i} (наприклад, числа 137 і 13729 не можуть обидва входити до послідовності). Доведіть, що виконується ∑i=1n1ai≤11+12+13+…+19\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{9}
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2001-025

Множина з рівними добутком і сумою квадратів

Нехай AA — скінченна множина натуральних чисел. Доведіть, що існує скінченна множина BB натуральних чисел така, що A⊆BA \subseteq B і ∏x∈Bx=∑x∈Bx2.\prod_{x \in B} x = \sum_{x \in B} x^2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-014

Гра з пересуванням фішок у ряді

Розглянемо ряд клітинок, пронумерованих 0,1,…,k0,1, \ldots, k зліва направо, де для кожного i⩾1i \geqslant 1 клітинка номер ii містить xix_{i} фішок. Спочатку на клітинці номер 00 немає жодної фішки. Далі Аліса та Боб грають по черзі за такими правилами: - Боб вибирає множину SS фішок, не обов'язково всіх з однієї клітинки. - Аліса може далі або усунути всі фішки, які не входять до SS, але тоді пересунути кожну фішку з SS з клітинки, яку вона займає, до сусідньої клітинки ліворуч (така фішка переходить, отже, з клітинки номер ii до клітинки номер i−1i-1), або усунути всі фішки, які входять до SS, але тоді пересунути кожну фішку, яка не входить до SS, з клітинки, яку вона займає, до сусідньої клітинки ліворуч. Боб виграє партію, якщо йому вдається привести якусь фішку на клітинку номер 00, а Аліса виграє, якщо їй вдається усунути всі фішки. 1) Доведіть, що Аліса має виграшну стратегію, якщо ∑i=1k2−ixi<1\sum_{i=1}^{k} 2^{-i} x_{i}<1. 2) Чи правда, що якщо ∑i=1k2−ixi⩾1\sum_{i=1}^{k} 2^{-i} x_{i} \geqslant 1, то Боб має виграшну стратегію?
8–10 класиНапівінваріанти
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-018

Раціональна послідовність з рекурсією за парністю чисельника

Нехай x0,x1,x2,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots — послідовність раціональних чисел, задана рекурентно таким чином: x0x_{0} — довільне раціональне число, а для n≥0n \geq 0 xn+1={∣xn2−1∣ якщо чисельник xn парний ,∣1xn−1∣ якщо чисельник xn непарний ,x_{n+1}= \begin{cases}\left|\frac{x_{n}}{2}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { парний }, \\ \left|\frac{1}{x_{n}}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { непарний },\end{cases} де під чисельником раціонального числа розуміється чисельник дробу, зведеного до найменшого вигляду. Доведіть, що для кожного значення x0x_{0}: (a) послідовність містить лише скінченну кількість попарно різних членів; (b) послідовність містить рівно одне з чисел 0 і 2/32 / 3 (тобто: або існує індекс kk такий, що xk=0x_{k}=0, або існує індекс mm такий, що xm=2/3x_{m}=2 / 3, але не обидва разом).
10–11 класиНапівінваріанти
Математичний гурток БеркліBMC-2022-019

Процес на клітинній дошці зі зменшенням і збільшенням сусідів

Аеріт записує натуральне число в кожну клітинку клітинної дошки 2021×20212021 \times 2021. Щосекунди Боб вибиратиме клітинку зі значенням щонайменше п'ять, якщо така існує, зменшуватиме її значення на чотири та збільшуватиме на 11 значення кожного її сусіда. Чи обов'язково цей процес колись зупиниться?
Напівінваріанти
Математичний гурток БеркліBMC-2019-017

Перевертання прямокутників на шаховій дошці

На екрані комп’ютера показано шахову дошку 98×9898 \times 98, розфарбовану звичайним чином. Мишею можна вибрати будь-який прямокутник зі сторонами на лініях шахової дошки й натиснути кнопку миші: внаслідок цього кольори у вибраному прямокутнику змінюються (чорний стає білим, а білий стає чорним). Визначте найменшу кількість натискань кнопки миші, необхідну для того, щоб зробити шахову дошку одноколірною.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2018-030

Квадратична гра з додатними коренями

На дошці написано квадратне рівняння x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, причому pp і qq — дійсні числа такі, що рівняння на дошці має дійсні розв'язки і всі розв'язки додатні. Два гравці по черзі змінюють коефіцієнти рівняння за такими правилами. Перший гравець зменшує вільний член на будь-який із розв'язків рівняння і (тим самим ходом) збільшує коефіцієнт при лінійному члені на 1. Другий гравець може замінити вільний член довільним дійсним числом. Або ж другий гравець може збільшити вільний член на найбільший розв'язок рівняння і (тим самим ходом) зменшити коефіцієнт при лінійному члені на 1, але такий хід дозволено лише якщо розв'язки рівняння на дошці перед ходом відрізняються один від одного більш ніж на 1. Якщо після ходу будь-якого з гравців отримане рівняння не має дійсних розв'язків або має недодатний дійсний розв'язок, то перший гравець перемагає. Чи може перший гравець перемогти незалежно від того, як грає суперник?
Теорема Вієта
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-006

Мурахи на дошці з правилом повороту

На дошці m×mm \times m у серединах одиничних клітинок перебувають кілька мурах. У момент часу 00 кожна мураха починає рухатися зі швидкістю 11 паралельно до деякої сторони дошки, доки не зустріне мураху, що рухається в протилежному напрямку, або доки не досягне краю дошки. Коли дві мурахи, що рухаються в протилежних напрямках, зустрічаються, обидві повертають на 90∘90^\circ за годинниковою стрілкою і продовжують рухатися паралельно до іншої сторони дошки. Досягнувши краю дошки, мураха падає з дошки. а) Доведіть, що зрештою всі мурахи впадуть з дошки. б) Знайдіть найпізніший можливий момент падіння останньої мурахи з дошки.
Напівінваріанти2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-002

Гра з розділенням стопок монет: виграшні позиції

У цій грі беруть участь двоє гравців і початкова стопка з nn монет (n≥3n \geq 3). Гравці по черзі обирають одну зі стопок монет на столі та розділяють її на дві стопки. Перемагає гравець, чий хід приводить до того, що всі стопки мають висоту 1 або 2. За яких початкових значень nn перемагає гравець, що ходить першим, за найкращої гри обох гравців?
Виграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2000-004

Зняття монет із шахової дошки за правилами суміжності

Аліса грає в такий пасьянс на дошці 20×2020 \times 20. Спочатку вона кладе на дошку 100 пенні, 100 монет по 5 центів, 100 монет по 10 центів і 100 монет по 25 центів так, щоб у кожній із 400 клітинок лежало рівно по одній монеті. Потім вона вибирає 59 із цих монет і знімає їх з дошки. Після цього вона знімає монети по одній, дотримуючись таких правил: - Пенні можна зняти, лише якщо чотири клітинки дошки, суміжні з його клітинкою (зверху, знизу, ліворуч і праворуч), вільні (не містять монет). Клітинки «поза дошкою» не зараховуються до цих чотирьох: наприклад, некутова клітинка на краю дошки, що межує з краєм дошки, має три суміжні клітинки, тому пенні в такій клітинці не можна зняти за цим правилом, навіть якщо всі три суміжні клітинки вільні. - Монету в 5 центів можна зняти, лише якщо є принаймні три вільні клітинки, суміжні з її клітинкою. (І знову клітинки «поза дошкою» не зараховуються.) - Монету в 10 центів можна зняти, лише якщо є принаймні дві вільні клітинки, суміжні з її клітинкою (клітинки «поза дошкою» не зараховуються). - Монету в 25 центів можна зняти, лише якщо є принаймні одна вільна клітинка, суміжна з її клітинкою (клітинки «поза дошкою» не зараховуються). Аліса виграє, якщо їй зрештою вдасться зняти всі монети. Доведіть, що виграти їй неможливо.
Напівінваріанти
Математичний гурток БеркліBMC-0000-117

Ітерації цифрової довжини до числа 4

Означимо цифрову довжину натурального числа як загальну кількість літер, використаних для написання словами його цифр. Наприклад, оскільки «two zero one one» має загалом 13 літер, цифрова довжина числа 2011 дорівнює 13. Почнемо з довільного натурального числа й неодноразово братимемо його цифрову довжину. Доведіть, що через кілька кроків ми обов'язково отримаємо число 4.
Метод оцінок, що веде до малого п…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-128

Солдати в шерензі з правилом сусіда

Декілька солдатів стоять у шерензі, витягнутій у напрямку схід–захід, кожен обличчям на північ. Офіцер командує: «Направо!» Усі мали б тепер стати обличчям на схід, але, оскільки вони лише починають військову службу, дехто з них виконує наказ неправильно і повертається на захід. Кожен солдат, який після цього опиняється обличчям до свого сусіда, одразу розуміє, що помилився, і виконує розворот на 180∘180^{\circ} за 1 секунду. Процес триває далі, тож будь-які двоє солдатів, які тепер опиняються обличчям один до одного, виконують розвороти на 180∘180^{\circ} за 1 секунду. Доведіть, що через деякий час солдати припинять рухатися.
Напівінваріанти
Математичний гурток БеркліBMC-0000-458

Процес із кульками за кроками подільності

nn коробок спочатку містять 1,2,…,n1, 2, \ldots, n кульок відповідно (n≥1n \geq 1). Шарлотта спочатку додає по одній кульці до кожної коробки. Потім вона додає по кульці до кожної коробки, у якій кількість кульок ділиться на 22, потім по кульці до кожної коробки, у якій кількість кульок ділиться на 33, і так далі, доки вона не додасть по кульці до кожної коробки, у якій кількість кульок ділиться на nn. Для яких значень nn процедура завершується з рівно n+1n+1 кульками в кожній коробці?
Прості числа (базові властивості)
Математичний гурток БеркліBMC-0000-248

Стабілізація при операціях НСД та НСК

На дошці написано кілька натуральних чисел. Можна стерти будь-які два числа й написати замість них їхній найбільший спільний дільник (НСД) та найменше спільне кратне (НСК). Доведіть, що зрештою числа перестануть змінюватися.
Напівінваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.