Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

450 задач
ГеометріяСиметрія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-016

Паралелограм, точка на колі ABD і центр кола PCQ

У паралелограмі ABCDABCD точка PP — довільна точка описаного кола трикутника ABDABD, відмінна від вершин. Пряма PAPA перетинає пряму CDCD у точці QQ. Нехай точка OO — центр описаного кола трикутника PCQPCQ. Доведіть, що ∠ADO=90∘\angle ADO = 90^\circ.
9 класСиметрія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-023

Прямокутний трикутник і дотична до описаного кола

На гіпотенузі ABAB прямокутного трикутника ABCABC позначили точку KK так, що BK=BCBK = BC. Точка PP на перпендикулярі, проведеному з точки KK до прямої CKCK, рівновіддалена від точок KK і BB, точка LL — середина відрізка CKCK. Доведіть, що пряма APAP дотикається до описаного кола трикутника BLPBLP.
10 класПоворотна гомотетія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-024

Перетин середньої лінії з описаним колом і точки дотику

У прямокутному трикутнику ABCABC із гіпотенузою ABAB вписане коло дотикається до катетів BCBC і ACAC у точках A1A_1 і B1B_1 відповідно. Пряма, що містить середню лінію трикутника ABCABC, паралельну гіпотенузі ABAB, перетинає його описане коло в точках PP і TT. Доведіть, що точки P,T,A1,B1P, T, A_1, B_1 лежать на одному колі.
10 класСтепінь точки відносно кола
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-030

Трикутник, подвоєний кут, середина і проекція

На стороні ACAC трикутника ABCABC знайшлася така точка KK, що AK=2KCAK = 2KC і ∠ABK=2∠KBC\angle ABK = 2\angle KBC. Точка FF — середина сторони ACAC, точка LL — проекція точки AA на пряму BKBK. Доведіть, що FL⊥BCFL \perp BC.
11 класПроєктивна геометрія
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2003-005

Середина CD, перпендикулярність AM і BM та паралельність

Нехай точка MM — середина сторони CDCD опуклого чотирикутника ABCDABCD. Відомо, що прямі BMBM і AMAM перпендикулярні і AB=BC+ADAB = BC + AD. Доведіть, що прямі BCBC і ADAD є паралельними.
Симетрія
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-025

Точка B симетріями точки A відносно прямих

На координатній площині xOyxOy відмічено точку A(1;2)A(1; 2). За один крок дозволяється вибрати довільне дійсне число aa та відмітити на площині точку, симетричну одній з уже відмічених точок відносно прямої y=ax−(2a+1)y = ax - (2a + 1). Чи може за декілька описаних кроків на координатній площині виявитися відміченою точка B(−1;1)B(-1; 1)?
Інші інваріанти
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-027

Середина гіпотенузи, бісектриса та паралельність відрізка

Точка MM є серединою гіпотенузи ABAB рівнобедреного прямокутного трикутника ABCABC, а KK — така точка катета BCBC, що BK=2KCBK = 2KC. Точку NN обрано на катеті ACAC так, що для точки LL перетину відрізків AKAK і MNMN півпряма LCLC є бісектрисою кута KLNKLN. Доведіть, що KN∥ABKN \parallel AB.
Симетрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-005

Вписаний чотирикутник з паралельною хордою і дотик кола

Нехай ABCDABCD — такий вписаний у коло ω\omega чотирикутник, для якого AE=ECAE=EC, де E=AC∩BDE=AC \cap BD. Точка FF вибрана на колі ω\omega таким чином, що AC∥BFAC \parallel BF. Доведіть, що якщо GG — точка, симетрична точці FF відносно вершини AA, то описане коло трикутника ADGADG дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-014

Бісектриса, висоти та циклічні точки на сторонах трикутника

Бісектриса ALAL, висоти BEBE та CFCF у різносторонньому трикутнику ABCABC утворюють трикутник XYHXYH, де X=AL∩BEX = AL \cap BE, Y=AL∩CFY = AL \cap CF, H=BE∩CFH = BE \cap CF. Нехай точки PP і QQ лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що середина відрізка PQPQ є ортоцентром трикутника XYHXYH. Доведіть, що точки BB, CC, PP і QQ — циклічні.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-012

Бісектриси кутів вписаного чотирикутника і спільне коло

Вписаний чотирикутник ABCDABCD задовольняє умову AB+AD=CB+CDAB + AD = CB + CD. Нехай ω\omega — коло діаметром ACAC, EE — одна з двох точок перетину бісектриси кута ABCABC та кола ω\omega, що розташована далі від точки BB. Аналогічно, FF — точка перетину бісектриси кута ADCADC та кола ω\omega, що розташована далі від точки DD. Доведіть, що точки BB, EE, DD та FF лежать на одному колі.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-011

Паралельні сторони двох трикутників зі спільними колами

Трикутники A1B1C1A_1B_1C_1 та A2B2C2A_2B_2C_2 мають спільне описане коло із центром OO та спільне вписане коло, що дотикається до сторін B1C1B_1C_1 та B2C2B_2C_2 в точках T1T_1 і T2T_2 відповідно. Доведіть, що коли B1C1∥B2C2B_1C_1 \parallel B_2C_2 (ці прямі не збігаються), то прямі A1T2A_1T_2 та A2T1A_2T_1 перетинаються на описаному колі трикутника A1A2OA_1A_2O.
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-002

Точки X і Y на колах ABD і ACE

У гострокутному трикутнику ABCABC відрізок AFAF — висота, а PP — точка на відрізку AFAF. Прямі, що проходять через точку PP паралельно сторонам ACAC та ABAB, перетинають сторону BCBC у точках DD та EE відповідно. Точки X≠AX \ne A та Y≠AY \ne A вибрано відповідно на описаних колах трикутників ABDABD та ACEACE так, що DA=DXDA = DX та EA=EYEA = EY. Доведіть, що точки BB, CC, XX, YY лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-004

Симетричні кола в чотирикутнику і перетин на AC

Дано чотирикутник ABCDABCD з рівними кутами при вершинах BB і DD. Відомо, що кола ω1\omega_1, ω2\omega_2 симетричні відносно прямої ACAC, причому коло ω1\omega_1 проходить через точку BB та перетинає вдруге прямі ABAB та BCBC у точках KK та LL відповідно, а коло ω2\omega_2 проходить через точку DD та перетинає вдруге прямі CDCD та ADAD у точках MM та NN відповідно. Доведіть, що прямі KMKM та LNLN перетинаються на прямій ACAC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-012

Умова на точку T і відношення IP до IQ

На стороні BCBC трикутника ABCABC знайшлася така точка TT, що BA+BT=CA+CTBA + BT = CA + CT та AT2=AB⋅ACAT^2 = AB \cdot AC. Нехай точка II — інцентр трикутника ABCABC. Пряма, що проходить через інцентр II перпендикулярно до прямої AIAI, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках PP і QQ. Знайдіть усі можливі значення відношення IP:IQIP : IQ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-009

Рівнобедрений трикутник з проєкціями на бічні сторони

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC, у якому BC=CABC = CA. Усередині відрізка ABAB знайшлася така точка DD, що AD<DBAD < DB, і точки PP і QQ — проєкції точки DD на прямі BCBC і CACA відповідно потрапляють точно в середини відрізків BCBC і CACA відповідно. Нехай серединний перпендикуляр до прямої PQPQ перетинає відрізок CQCQ в точці EE та нехай описані кола трикутників ABCABC і CPQCPQ перетинаються вдруге в точці FF, що відмінна від точки CC. Виявилося, що точки PP, EE, FF лежать на одній прямій. Доведіть, що трикутник ABCABC — прямокутний.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-001

Кола трикутників AKH і CLH та бісектриса кута B

Нехай BHBH — висота різностороннього гострокутного трикутника ABCABC. На сторонах ABAB і BCBC вибрано точки KK і LL відповідно так, що BK=BH=BLBK = BH = BL. Описані кола трикутників AKHAKH і CLHCLH удруге перетинаються в точці PP і вдруге перетинають промінь BHBH у точках QQ і RR відповідно. Доведіть, що центр описаного кола трикутника PQRPQR лежить на бісектрисі кута ABCABC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-009

Чотири кола, пов'язані з симетрією відносно середніх ліній

Дано гострокутний трикутник ABCABC і точку PP на його описаному колі. Нехай точки DD, EE, FF — образи точки PP при її симетрії відносно середніх ліній трикутника ABCABC, що паралельні відповідно сторонам BCBC, ACAC і ABAB. Позначимо через wA,wB,wCw_A, w_B, w_C описані кола трикутників ADPADP, BEPBEP, CFPCFP відповідно. Нехай ww — описане коло трикутника, вершини якого є попарними перетинами серединних перпендикулярів до відрізків ADAD, BEBE і CFCF. Доведіть, що всі чотири кола wA,wB,wCw_A, w_B, w_C і ww мають спільну точку.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-003

Симетрії внутрішньої точки трикутника відносно сторін

Усередині трикутника ABCABC вибрано точку TT. Нехай через A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 позначено точки, симетричні точці TT відносно прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Позначимо через Ω\Omega описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1. Прямі A1T,B1T,C1TA_1T, B_1T, C_1T удруге перетинають коло Ω\Omega у точках A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 відповідно. Доведіть, що прямі AA2,BB2,CC2AA_2, BB_2, CC_2 перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-008

Точка перетину кіл та паралельність PM і AK

Задано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<BCAB < BC. Його вписане коло із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці KK. Пряма AKAK удруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці TT. Нехай MM — середина BCBC, а NN — середина дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC. Відрізок NTNT перетинає описане коло трикутника BICBIC у точці PP. Доведіть, що PM∥AKPM \parallel AK.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-003

Середини сторін, середина дуги та перетин MN і XY

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC. Позначимо через MM і NN середини сторін ABAB і ACAC відповідно, TT — середина дуги BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA. Описані кола трикутників AMTAMT і ANTANT перетинають серединні перпендикуляри до сторін ACAC і ABAB у точках XX і YY відповідно. Припустимо, що точки XX і YY лежать усередині трикутника ABCABC. Точку перетину прямих MNMN і XYXY позначимо через KK. Доведіть, що KA=KTKA = KT.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-004

Геометричне місце точок X при вписаному колі

Вписане в рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC) коло ω\omega дотикається до його сторін ABAB і ACAC у точках KK і LL відповідно. На продовженні сторони BCBC за точку BB вибрано довільну точку MM. Пряма MLML удруге перетинає ω\omega у точці NN, пряма BNBN вдруге перетинає ω\omega у точці PP. На прямій PKPK відмічено точку XX, так що KK лежить між PP та XX і KX=KMKX = KM. Визначте геометричне місце точок XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-007

Нерівність для суми сторін трикутника та висоти

Позначимо в трикутнику ABCABC через hh довжину висоти, що проведена з вершини AA, а через α=∠BAC\alpha = \angle BAC. Доведіть, що виконується нерівність AB+AC⩾BC⋅cos⁡α+2hsin⁡αAB + AC \geqslant BC \cdot \cos\alpha + 2h\sin\alpha. Чи існують трикутники, для яких ця нерівність перетворюється в рівність?
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-001

Різниця кутів MTB і CTM у рівнобедреному трикутнику

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC). Позначимо через MM середину сторони BCBC. Нехай XX – деяка точка на меншій з дуг MAMA описаного навколо трикутника ABMABM кола. Точка TT, що лежить всередині кута BMABMA, така, що ∠TMX=90∘\angle TMX = 90^\circ та TX=BXTX = BX. Доведіть, що різниця ∠MTB−∠CTM\angle MTB - \angle CTM не залежить від положення точки XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-004

Площа опуклого п'ятикутника за двома кутами і діагоналлю

Знайдіть площу опуклого п'ятикутника ABCDEABCDE, про який відомо, що в ньому AB=BCAB = BC, CD=DECD = DE, BD=2BD = 2, ∠ABC=150∘\angle ABC = 150^\circ і ∠CDE=30∘\angle CDE = 30^\circ.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-002

Бісектриса кута трикутника та центри вписаних кіл

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC. Бісектриса кута BACBAC вдруге перетинає коло ω\omega в точці WW. На колі ω\omega відмітили точки MM та NN так, що BM∥AW∥CNBM \parallel AW \parallel CN, промені BMBM та CNCN напрямлені протилежно до променя AWAW. Нехай O1,O2,O3,O4O_1, O_2, O_3, O_4 — центри кіл, вписаних в трикутники AMBAMB, ABWABW, ACWACW, ACNACN відповідно. Доведіть, що O1O3=O2O4O_1 O_3 = O_2 O_4.
10–11 класиВписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.