Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

253 задачі
ГеометріяТочка перетину висот
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-008

Конкурентність прямих у конфігурації дотичних кіл

Кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} зовні дотикаються в точці DD і внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках EE і FF відповідно. Пряма tt — спільна дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точці DD. Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega, перпендикулярний до прямої tt, причому AA, EE і O1O_{1} лежать по один бік від прямої tt. Доведіть, що прямі AO1A O_{1}, BO2B O_{2}, EFEF і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2025-009

Гострокутний трикутник і пряма KT через центр кола

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|, нехай ω\omega — описане коло трикутника △ABC\triangle ABC з центром OO. Висота з вершини AA перетинає BCBC у точці DD і перетинає ω\omega вдруге в точці PP. Позначимо через HH ортоцентр трикутника △ABC\triangle ABC і нехай KK — точка на відрізку BCBC така, що ∣BD∣=∣KC∣|BD| = |KC|. Описане коло трикутника △PKH\triangle PKH перетинає ω\omega вдруге в точці QQ і перетинає пряму BCBC вдруге в точці NN. Нехай TT — точка на прямій ADAD така, що TN⊥PQTN \perp PQ. Доведіть, що пряма KTKT проходить через OO.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2025-008

Перетини описаних кіл і ортоцентр

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|, а ω\omega — описане коло △ABC\triangle ABC з центром OO. Висота з AA перетинає BCBC у точці DD і перетинає ω\omega вдруге в точці PP. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC, а KK — точка на відрізку BCBC така, що ∣BD∣=∣KC∣|BD| = |KC|. Описане коло △PKH\triangle PKH перетинає ω\omega вдруге в точці QQ і перетинає пряму BCBC вдруге в точці NN. Нехай TT — точка на прямій ADAD така, що TN⊥PQTN \perp PQ. Доведіть, що пряма KTKT проходить через OO.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-020

Хорда описаного кола в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний рівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} відповідно. Описане коло трикутника MHNMHN перетинає пряму BCBC у двох точках XX і YY. Відомо, що XY=AB=AC=2XY = AB = AC = 2, обчисліть BC2BC^2.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові тести на IMOTST-2024-001

Дотична у вершині перпендикулярна до прямої через ортоцентр

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Нехай DD — точка, симетрична AA відносно BB, а EE — точка, симетрична AA відносно CC. Нехай MM — середина відрізка DEDE. Доведіть, що дотична до кола Γ\Gamma у точці AA перпендикулярна до HMHM.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові тести на IMOTST-2024-003

Дотична в A перпендикулярна до HM

Нехай дано трикутник △ABC\triangle A B C з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Нехай далі DD — образ AA при симетрії відносно BB, а EE — образ AA при симетрії відносно CC. Середину відрізка DED E позначимо через MM. Доведіть, що дотична до кола Γ\Gamma у точці AA перпендикулярна до прямої HMH M.
10–11 класиТочка перетину висот4 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-001

Точки на одному колі із симетрій трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, D,ED, E — основи висот, проведених з AA і BB відповідно. Пряма (DE)(DE) перетинає описане коло трикутника ABCABC у двох точках PP і QQ. Нехай A′A', B′B' — точки, симетричні до AA і BB відносно прямих (BC)(BC) і (AC)(AC) відповідно. Доведіть, що A′A', B′B', PP, QQ лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-070

Коло через середину дуги, дотичне до сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник з кутом BAC^=60∘\widehat{BAC}=60^{\circ}, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC, а SS — середина дуги BC^\widehat{BC}, яка не містить AA. Нехай PP — точка кола Γ\Gamma така, що SPH^=90∘\widehat{SPH}=90^{\circ}. Доведіть, що існує коло, яке проходить через P,SP, S і дотикається до прямих (AB)(AB) та (AC)(AC).
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-097

Перпендикулярність бісектриси AD і прямої XY

Нехай ABCABC — трикутник. Точка DD лежить на відрізку BCBC так, що ∠BAD=∠DAC\angle BAD = \angle DAC. Точка XX лежить по інший бік від прямої BCBC, ніж AA, і задовольняє XB=XDXB = XD та ∠BXD=∠ACB\angle BXD = \angle ACB. Аналогічно, точка YY лежить по інший бік від прямої BCBC, ніж AA, і задовольняє YC=YDYC = YD та ∠CYD=∠ABC\angle CYD = \angle ABC. Доведіть, що прямі XYXY і ADAD перпендикулярні.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-014

Перпендикулярність у конфігурації з медіаною та проєкціями

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай DD, EE і FF — середини сторін BCBC, CACA і ABAB відповідно. Нехай XX і YY — основи перпендикулярів, проведених із DD до сторін ABAB і ACAC відповідно. Пряма, що проходить через FF і паралельна прямій XYXY, перетинає пряму DYDY в точці PP, відмінній від EE. Доведіть, що пряма ADAD і пряма EPEP перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-131

Еліпс і парабола з ортоцентром

Нехай E\mathcal{E} — еліпс з фокусами AA і BB. Припустімо, що існує парабола P\mathcal{P} така, що - P\mathcal{P} проходить через AA і BB, - фокус FF параболи P\mathcal{P} лежить на еліпсі E\mathcal{E}, - ортоцентр HH трикутника △FAB\triangle F A B лежить на директрисі параболи P\mathcal{P}. Якщо довжини великої та малої осей еліпса E\mathcal{E} дорівнюють 5050 і 1414 відповідно, обчисліть AH2+BH2A H^{2}+B H^{2}.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2022-004

Центри описаних кіл у трикутнику з висотами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого ∣AB∣>∣CA∣>∣BC∣|AB| > |CA| > |BC|. Нехай DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC відповідно. Пряма через FF, паралельна до прямої DEDE, перетинає BCBC у точці MM. Бісектриса кута ∠MFE\angle MFE перетинає DEDE у точці NN. Доведіть, що FF є центром описаного кола трикутника △DMN\triangle DMN тоді й лише тоді, коли BB є центром описаного кола трикутника △FMN\triangle FMN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-010

Трикутник з ортоцентром і умовою на описане коло

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник зі сторонами AB=11AB = 11, AC=10AC = 10, ортоцентр позначено через HH, а середину сторони BCBC — через MM. Точка PP всередині трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника BHCBHC і задовольняє ∠ABP=∠CPM\angle ABP = \angle CPM, PM=3PM = 3. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-001

Діаметр кола та відношення відрізків

Нехай kk — коло з центром MM, а ABA B — діаметр кола kk. Крім того, нехай CC — точка на колі kk така, що AC=AMA C = A M. Нехай DD — точка на прямій ACA C така, що CD=ABC D = A B і CC лежить між AA і DD. Нехай EE — друга точка перетину описаного кола трикутника BCDB C D з прямою ABA B, а FF — точка перетину прямих EDE D і BCB C. Пряма AFA F перетинає відрізок BDB D у точці XX. Знайдіть відношення BX/XDB X / X D.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-002

Перпендикуляр із симетричної точки у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через HAH_{A} основу висоти трикутника ABCABC, проведеної з AA, а через A′A' — середину відрізка [BC][BC]. Далі позначимо через QAQ_{A} точку, симетричну HAH_{A} відносно A′A'. Аналогічно визначимо точки QBQ_{B} і QCQ_{C}. Нарешті, позначимо через RR точку перетину, відмінну від QAQ_{A}, описаних кіл трикутників QAQBCQ_{A} Q_{B} C і QABQCQ_{A} B Q_{C}. Доведіть, що прямі (QAR)\left(Q_{A} R\right) і (BC)(BC) перпендикулярні.
9–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-007

Коло, дотичне до сторін прямокутного трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}. Коло ω\omega з центром на гіпотенузі BCBC дотикається до катета ABAB у точці DD та до катета ACAC у точці EE. Нехай FF і GG — точки перетину кола ω\omega і гіпотенузи BCBC, причому FF лежить між BB і GG. Якщо прямі DGDG і EFEF перетинаються в точці XX, доведіть, що AX=ADAX = AD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути5 розв’язків
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-123

Трикутник з рівними відстанями від центра описаного кола

У трикутнику ABCA B C нехай MM — середина сторони BCB C, HH — ортоцентр, а OO — центр описаного кола. Нехай NN — точка, симетрична MM відносно HH. Припустімо, що OA=ON=11O A = O N = 11 і OH=7O H = 7. Обчисліть BC2B C^{2}.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-030

Хорда вписаного кола і паралельність до сторони

Нехай різносторонній трикутник ABCA B C має центр описаного кола OO і інцентр II. Його вписане коло ω\omega дотикається до сторін BC,CAB C, C A і ABA B у точках D,ED, E і FF відповідно. Нехай PP — основа висоти з DD на пряму EFE F, а пряма DPD P перетинає ω\omega вдруге в точці Q≠DQ \neq D. Пряма OIO I перетинає висоту з AA на сторону BCB C у точці TT. За умови, що OI∥BCO I \parallel B C, доведіть, що PQ=PTP Q = P T.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2021-014

Відбиття центра описаного кола на сторону

Нехай ABCABC — гострокутний нерівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а KK — центр описаного кола трикутника AHOAHO. Доведіть, що образ точки KK при симетрії відносно прямої OHOH лежить на прямій BCBC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2021-017

Відбиття центра описаного кола відносно прямої Ейлера

Нехай ABCABC — гострокутний нерівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а KK — центр описаного кола трикутника AHOAHO. Доведіть, що відбиття точки KK відносно прямої OHOH лежить на прямій BCBC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-005

Ортоцентри трикутників, що збігаються

У трикутнику ABCABC нехай PP і QQ — точки на стороні BCBC, причому ортоцентр трикутника ACPACP і ортоцентр трикутника ABQABQ збігаються. Відомо, що AB=10AB = 10, AC=11AC = 11, BP=5BP = 5, CQ=6CQ = 6. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-003

Ортоцентр тетраедра та відстані

Нехай P1P2P3P4P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} — тетраедр у R3\mathbb{R}^{3}, а OO — точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Припустімо, що існує точка HH така, що для кожного ii пряма PiHP_{i} H перпендикулярна до площини через три інші вершини. Пряма P1HP_{1} H перетинає площину через P2,P3,P4P_{2}, P_{3}, P_{4} у точці AA та містить точку B≠P1B \neq P_{1} таку, що OP1=OBO P_{1}=O B. Доведіть, що HB=3HAH B=3 H A.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-101

Висоти трикутника EHF перетинаються на прямій BC

Висоти BEB E і CFC F гострокутного трикутника ABCA B C перетинаються в точці HH. Припустімо, що висоти трикутника EHFE H F перетинаються на прямій BCB C. Якщо AB=3A B = 3 і AC=4A C = 4, то BC2=abB C^{2} = \frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-062

Площа трикутника за ортоцентричним колом

У гострокутному трикутнику ABCA B C нехай HH — ортоцентр, а DD — основа висоти з AA. Описане коло трикутника BHCB H C перетинає сторону ACA C в точці E≠CE \neq C, а сторону ABA B — в точці F≠BF \neq B. Якщо BD=3B D = 3, CD=7C D = 7 і AHHD=57\frac{A H}{H D} = \frac{5}{7}, то площу трикутника AEFA E F можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2020-034

Конкурентність прямих з ортоцентрів трикутників

Нехай AA, BB, CC, DD — чотири точки, серед яких жодні три не лежать на одній прямій, причому DD не є ортоцентром трикутника ABCABC. Нехай PP, QQ, RR — ортоцентри трикутників △BCD\triangle BCD, △CAD\triangle CAD, △ABD\triangle ABD відповідно. Припустимо, що прямі APAP, BQBQ, CRCR попарно різні та перетинаються в одній точці. Доведіть, що чотири точки AA, BB, CC, DD лежать на одному колі.
10–11 класиТочка перетину висот

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.