Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

21 566 задач
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-021

Коефіцієнти квадратичної тотожності та зсунута система

a. Знайдіть aa, bb і cc такі, що рівність (n+2)2=a(n+1)2+bn2+c(n−1)2(n+2)^2 = a(n+1)^2 + b n^2 + c(n-1)^2 справджується для будь-якого числа nn. b. Припустімо, що x1,x2,…,x7x_1, x_2, \ldots, x_7 задовольняють систему {x1+4x2+9x3+16x4+25x5+36x6+49x7=14x1+9x2+16x3+25x4+36x5+49x6+64x7=129x1+16x2+25x3+36x4+49x5+64x6+81x7=123\left\{\begin{array}{l} x_1 + 4 x_2 + 9 x_3 + 16 x_4 + 25 x_5 + 36 x_6 + 49 x_7 = 1 \\ 4 x_1 + 9 x_2 + 16 x_3 + 25 x_4 + 36 x_5 + 49 x_6 + 64 x_7 = 12 \\ 9 x_1 + 16 x_2 + 25 x_3 + 36 x_4 + 49 x_5 + 64 x_6 + 81 x_7 = 123 \end{array}\right. Знайдіть значення 16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x716 x_1 + 25 x_2 + 36 x_3 + 49 x_4 + 64 x_5 + 81 x_6 + 100 x_7
Метод невизначених коефіцієнтів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-031

Цифра одиниць квадрата з цифрою десятків 7

Квадрат числа 1313 дорівнює 169169, у якому цифра десятків дорівнює 66. У квадраті іншого числа цифра десятків дорівнює 77. Які можливі значення цифри одиниць цього квадрата?
Розклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-032

Сума найбільших непарних дільників

Нехай nn — натуральне число. Для кожного з цілих чисел n+1,…,2nn+1, \ldots, 2n розглянемо його найбільший непарний дільник. Доведіть, що сума всіх цих дільників дорівнює n2n^{2}.
Метод математичної індукції
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-001

Прості суми підмножин трьох чисел

Через {a,b,c}\{a, b, c\} позначимо множину з трьох різних натуральних чисел a,ba, b і cc. Вибираючи деякі або всі з чисел a,ba, b і cc, можна утворити сім непорожніх підмножин множини {a,b,c}\{a, b, c\}. Далі можна обчислити суму елементів кожної підмножини. Наприклад, для множини {4,7,42}\{4,7,42\} отримаємо для її семи підмножин суми 4,7,42,11,46,494,7,42,11,46,49 і 5353. Оскільки 77, 1111 і 5353 — прості, множина {4,7,42}\{4,7,42\} має рівно три підмножини з простими сумами. (Нагадаємо, що простими називаються числа, які мають рівно два різні дільники — 11 і саме це число. Зокрема, число 11 не є простим.) Яка найбільша кількість підмножин із простими сумами можлива для множини з трьох різних натуральних чисел? Наведіть приклад множини {a,b,c}\{a, b, c\}, що має таку кількість підмножин із простими сумами, і поясніть, чому жодна інша триелементна множина не може мати більше.
Парність та непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-002

Сума чотирьох різних цифр з найбільшою кількістю відповідей

Підказка «kk цифр, сума nn» задає число kk і суму kk різних ненульових цифр. Відповідь до такої підказки складається з kk цифр із сумою nn. Наприклад, підказка «Три цифри, сума 23» має лише одну відповідь: 6,8,96,8,9. Підказка «Три цифри, сума 8» має дві відповіді: 1,3,41,3,4 і 1,2,51,2,5. Якщо підказка «Чотири цифри, сума nn» має найбільшу кількість відповідей серед усіх чотирицифрових підказок, то чому дорівнює nn? Скільки відповідей має ця підказка? Поясніть, чому жодна інша чотирицифрова підказка не може мати більше відповідей.
Рекурентний підрахунок
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-003

Нерівність між сумою чисел і середнім їх модулів

Нехай a,b,ca, b, c — дійсні числа, для яких a+b≥0a+b \geq 0, b+c≥0b+c \geq 0 і c+a≥0c+a \geq 0. Доведіть, що a+b+c≥∣a∣+∣b∣+∣c∣3.a+b+c \geq \frac{|a|+|b|+|c|}{3} . (Зауваження: ∣x∣|x| називається абсолютною величиною (модулем) числа xx і визначається так: якщо x≥0x \geq 0, то ∣x∣=x|x|=x; якщо ж x<0x<0, то ∣x∣=−x|x|=-x. Наприклад, ∣6∣=6|6|=6, ∣0∣=0|0|=0 і ∣−6∣=6|-6|=6.)
Лінійні нерівності та системи3 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-004

Тури на дошці з уникненням зафарбованих клітин

Вісім тур розставлено на стандартній 8×88 \times 8 шаховій дошці так, щоб жодні дві не стояли в одному рядку чи стовпці. За стандартними шаховими правилами це означає, що жодні дві тури не б'ють одна одну. Тепер 27 з решти клітин (не зайнятих турами) пофарбовано в червоний колір. Доведіть, що незалежно від розташування тур і від того, які саме 27 клітин пофарбовано, завжди можна пересунути деякі або всі тури так, щоб: - Усі тури й надалі стояли на незафарбованих клітинах. - Тури й надалі не били одна одну (жодні дві не стоять в одному рядку чи в одному стовпці). - Принаймні одна раніше порожня клітина тепер зайнята турою; тобто тури стоять не на тих самих 8 клітинах, що й раніше.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-005

Многокутник з цілими сторонами та вершинами на решітці

Усі вершини многокутника PP лежать у точках з цілочисельними координатами на площині, і всі сторони PP мають цілі довжини. Доведіть, що периметр PP обов'язково є парним числом.
Парність та непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-006

Перпендикулярність через відображення у трикутнику

Гострокутний трикутник ABCA B C такий, що ∠BAC<45∘\angle B A C < 45^{\circ}. Точка DD лежить усередині трикутника ABCA B C, причому BD=CDB D = C D і ∠BDC=4∠BAC\angle B D C = 4 \angle B A C. Точка EE — це відображення точки CC відносно прямої ABA B, а точка FF — відображення точки BB відносно прямої ACA C. Доведіть, що прямі ADA D і EFE F перпендикулярні.
Симетрія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-007

Нерівність з циклічним обмеженням на добуток

Нехай aa, bb, cc і dd — додатні дійсні числа, що задовольняють умову abcd=1a b c d = 1. Доведіть, що 112+a+ab+abc+112+b+bc+bcd+112+c+cd+cda+112+d+da+dab≥2.\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + a + a b + a b c}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + b + b c + b c d}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + c + c d + c d a}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + d + d a + d a b}} \geq \sqrt{2}.
Нерівність Коші
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-005

Характеризація степенів простого числа через НСД

Для довільних натуральних чисел a,ba, b позначимо a⊖b=a−bНСД(a,b)a \ominus b = \frac{a-b}{\text{НСД}(a,b)}. Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що такі умови еквівалентні: (i) НСД(n,n⊖m)=1\text{НСД}(n, n \ominus m) = 1 для кожного натурального числа m<nm < n; (ii) n=pkn = p^k, де pp — просте число, а kk — невід'ємне ціле число.
НСД та НСК
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-004

Шалькові терези з гирями

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найбільше ціле число NN, для якого існує набір з nn гир, що дає змогу визначити масу всіх тіл з масами 11, 22, …\ldots, NN за допомогою шалькових терезів (тобто визначити, чи має тіло з невідомою масою масу 11, 22, …\ldots, NN, і яку саме).
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-001

Сума квадратів котангенсів у трикутнику

Нехай кути трикутника дорівнюють α\alpha, β\beta і γ\gamma, периметр дорівнює 2p2p, а радіус описаного кола дорівнює RR. Доведіть нерівність ctg⁡2α+ctg⁡2β+ctg⁡2γ≥3(9R2p2−1).\operatorname{ctg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \beta + \operatorname{ctg}^2 \gamma \ge 3 \left( \frac{9R^2}{p^2} - 1 \right). Коли досягається рівність?
Інші класичні нерівності
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-002

Бісектриса кута в конструкції з описаним колом

У гострокутному трикутнику ABCABC кут CC більший за кут AA. Нехай AEAE — діаметр описаного кола трикутника. Нехай точкою перетину променя ACAC і дотичної до описаного кола, проведеної через вершину BB, буде KK. Перпендикуляр до AEAE, проведений через KK, вдруге перетинає описане коло трикутника BCKBCK у точці DD. Доведіть, що CECE ділить навпіл кут BCDBCD.
Центральні і вписані кути
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-003

Однорідний многочлен, сталий на колі

Нехай P(x,y)P(x, y) — несталий однорідний многочлен з дійсними коефіцієнтами такий, що P(sin⁡t,cos⁡t)=1P(\sin t, \cos t) = 1 для кожного дійсного числа tt. Доведіть, що існує натуральне число kk таке, що P(x,y)=(x2+y2)kP(x, y) = (x^2 + y^2)^k.
Заміни в однорідних виразах2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-006

Розфарбування квадратів 2×2 на дошці

Кожну клітинку дошки n×nn \times n пофарбовано в червоний або синій колір так, що серед усіх квадратів 2×22 \times 2 на цій дошці трапляються всі можливі розфарбування квадратів 2×22 \times 2 у ці два кольори (розфарбування, отримані одне з одного поворотом чи відбиттям, вважаються різними). a) Знайдіть найменше можливе значення nn. б) Для найменшого можливого значення nn знайдіть найменшу можливу кількість червоних клітинок.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-014

Інтеграл із тригонометричним знаменником

Обчисліть ∫0π/4x(sin⁡x+cos⁡x)cos⁡x dx.\int_{0}^{\pi/4} \frac{x}{(\sin x + \cos x) \cos x} \, dx.
Заміни, породжені симетрією
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-047

Обернена матриця зі строго додатними елементами

Нехай nn — ціле число, а n1n_1 — один з його дільників. Нехай AA — симетрична матриця розміру n×nn \times n, задана рівностями ai,i=4a_{i,i} = 4, ai,i+1=ai+1,i=−1a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = -1 для всіх ii таких, що 1≤i≤n−11 \le i \le n-1 і i+1i+1 не кратне n1n_1, ai,i+n1=ai+n1,i=−1a_{i,i+n_1} = a_{i+n_1,i} = -1, а ai,j=0a_{i,j} = 0 в інших випадках. Доведіть, що AA має обернену матрицю і що всі елементи оберненої матриці додатні.
Нерівність Коші-Буняковського
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-048

Розклад степенів за біноміальними многочленами

Визначимо многочлени (xj)=x(x−1)(x−2)⋯(x−j+1)j!\binom{x}{j} = \frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-j+1)}{j!} для натурального jj і (x0)=1\binom{x}{0} = 1. a. Доведіть, що кожен ненульовий многочлен можна єдиним чином записати як лінійну комбінацію таких многочленів (xn)\binom{x}{n}. b. Нехай c(n,k)c(n,k) — коефіцієнт при (xk)\binom{x}{k} у розкладі xnx^n (як описано в попередньому пункті). Обчисліть c(n,k)+c(n,k+1)c(n+1,k+1).\frac{c(n, k) + c(n, k + 1)}{c(n + 1, k + 1)}.
Властивості біноміальних коефіціє…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-049

Відношення об'ємів об'єднань куль

Для кожної скінченної підмножини FF простору R3R^3 визначимо Vr(F)V_r(F) як об'єднання відкритих куль з центрами в кожній точці множини FF та радіусом rr. Доведіть, що при 0<r<R0 < r < R об’єм(VR(F))≤R3r3об’єм(Vr(F)).\text{об'єм}(V_R(F)) \le \frac{R^3}{r^3} \text{об'єм}(V_r(F)).
Гомотерія і подібність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-050

Прості дільники квадратичного виразу

Доведіть, що якщо 102n+8⋅10n+110^{2n} + 8 \cdot 10^n + 1 має простий дільник вигляду 60k+760k + 7, де kk і nn — натуральні числа, то nn і kk — парні.
Квадратичні лишки і символ Лежанд…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-001

Знакозмінна сума чисел Фібоначчі

Послідовність Фібоначчі — це список чисел, який починається з 11, 22, 33, 55, 88, 1313 і продовжується так, що кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх. Доведіть, що коли перші nn елементів послідовності Фібоначчі почергово додавати й віднімати, результат є елементом цієї послідовності або числом, протилежним до елемента цієї послідовності. Наприклад, 1−2+3−5=−31-2+3-5=-3 а 33 є елементом послідовності Фібоначчі.
Числа Фібоначі
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-002

Однакові останні дві цифри квадратів і середні арифметичні

Існує багато наборів з двох різних натуральних чисел aa і bb, обидва менші за 5050, таких, що a2a^{2} і b2b^{2} закінчуються на однакові останні дві цифри. Наприклад, 352=122535^{2}=1225 і 452=202545^{2}=2025 обидва закінчуються на 2525. Знайдіть усі можливі значення середнього арифметичного чисел aa і bb. Для потреб цієї задачі вважаємо, що одноцифрові квадрати мають нуль на початку; так, наприклад, ми вважаємо, що 222^{2} закінчується цифрами 0404, а не 44.
Міркування за модулем
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-003

Скінченні множини, замкнені щодо НСД-суми

Множина SS натуральних чисел називається магічною, якщо для будь-яких двох різних елементів ii та jj множини SS число i+jНСД(i,j)\frac{i+j}{\text{НСД}(i, j)} також належить SS. НСД\text{НСД}, тобто найбільший спільний дільник, двох натуральних чисел — це найбільше ціле число, що ділить націло кожне з них; наприклад, НСД(36,80)=4\text{НСД}(36,80)=4. Знайдіть і опишіть усі скінченні магічні множини.
НСД та НСК
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-004

Стрибки жаб по правильному шестикутнику

На початку цієї задачі шість жаб сидять по одній у кожній із шести вершин правильного шестикутника. Щохвилини ми обираємо жабу, яка має стрибнути через іншу жабу за одним із двох правил, зображених нижче. Якщо жаба в точці FF стрибає через жабу в точці PP, то вона приземлиться в точці F′F' такій, що FF, PP і F′F' лежать на одній прямій, причому: - за Правилом 11, F′P=2FPF'P = 2FP. - за Правилом 22, F′P=FP/2F'P = FP / 2. Правило 1 Правило 2 Яку жабу обрати для стрибка і через яку жабу стрибнути — вирішуємо ми. а. Якщо ми користуємось лише Правилом 1, чи може якась жаба за скінченний час приземлитися в центр початкового шестикутника? б. Якщо дозволені обидва правила — і Правило 1, і Правило 2 (вільно обираючи, яким правилом користуватися, яка жаба стрибає і через яку жабу вона стрибає), чи може якась жаба за скінченний час приземлитися в центр початкового шестикутника?
Остача від ділення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.