Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

450 задач
ГеометріяСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-006

Сума відношень відрізків для побудованих зовні трикутників

Дано гострокутний трикутник ABCABC. Нехай DACDAC, EABEAB, FBCFBC — рівнобедрені трикутники, побудовані зовні на сторонах трикутника ABCABC так, що DA=DCDA = DC, EA=EBEA = EB, FB=FCFB = FC та ∠ADC=2∠BAC\angle ADC = 2\angle BAC, ∠BEA=2∠ABC\angle BEA = 2\angle ABC, ∠CFB=2∠ACB\angle CFB = 2\angle ACB. Нехай D′D' — точка перетину прямих DBDB та EFEF, E′E' — прямих ECEC та DFDF, F′F' — прямих FAFA та DEDE. Знайдіть значення суми DBDD′+ECEE′+FAFF′\dfrac{DB}{DD'} + \dfrac{EC}{EE'} + \dfrac{FA}{FF'}.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-003

Ортоцентр трикутника ADE і точки P, Q, M, N

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Точки BB, DD, EE та CC лежать на одній прямій у вказаному порядку і задовольняють умову BD=DE=ECBD = DE = EC. Нехай MM та NN — середини відрізків ADAD та AEAE відповідно. Припустимо, що трикутник ADEADE є гострокутним, і нехай точка HH — його ортоцентр. Нехай PP та QQ — такі точки на прямих BMBM та CNCN відповідно, що точки DD, HH, MM та PP лежать на одному колі та є попарно різними, і точки EE, HH, NN та QQ також лежать на одному колі та є попарно різними. Доведіть, що точки PP, QQ, NN та MM лежать на одному колі.
10–11 класиСиметрія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-005

Три кола, пов'язані з точками A', F, H

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC, а HH і OO — його ортоцентр та центр описаного кола відповідно. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника BOCBOC. Коло Γ\Gamma перетинає пряму AOAO в точках OO та A′A', а також перетинає коло радіуса AOAO із центром у точці AA в точках OO і FF. Доведіть, що коло, яке має діаметр AA′AA', описане коло трикутника AFHAFH та коло Γ\Gamma проходять через спільну точку.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Балтійський шляхBW-2024-013

Відображення сторін трикутника та колінеарність точок D, P, H

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Нехай DD — точка поза описаним колом трикутника ABCABC, така, що ∠ABD=∠DCA\angle ABD = \angle DCA. Відображення ABAB відносно BDBD перетинає CDCD у точці XX. Відображення ACAC відносно CDCD перетинає BDBD у точці YY. Прямі, перпендикулярні до ACAC і ABAB, проведені через точки XX і YY відповідно, перетинаються в точці PP. Доведіть, що точки DD, PP і HH колінеарні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-004

Кути KIL і YPX у трикутнику з вписаним колом

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<AC<BCAB < AC < BC. Точка II — центр вписаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Нехай XX, де X≠CX \neq C, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку XX паралельно прямій ACAC, дотикається до кола ω\omega. Аналогічно нехай YY, де Y≠BY \neq B, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку YY паралельно прямій ABAB, дотикається до кола ω\omega. Нехай пряма AIAI вдруге перетинає описане коло ω\omega трикутника ABCABC у точці P≠AP \neq A. Точки KK та LL — середини сторін ACAC та ABAB відповідно. Доведіть, що ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL + \angle YPX = 180^\circ.
10–11 класиСиметрія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-005

Відрізок BC та два кола через X і Y

На площині зафіксовано відрізок BCBC. Нехай AA — це змінна точка площини, що не лежить на прямій BCBC. На променях CACA та BABA відповідно вибрано різні точки XX та YY так, що ∠CBX=∠YCB=∠BAC\angle CBX = \angle YCB = \angle BAC. Нехай дотичні до описаного кола трикутника ABCABC, що проведені у точках BB і CC, перетинають пряму XYXY у точках PP і QQ відповідно, причому точки XX, PP, YY та QQ є попарно різними та лежать по один бік від прямої BCBC. Нехай Ω1\Omega_1 — це коло із центром на прямій BCBC, що проходить через точки XX і PP. Аналогічно нехай Ω2\Omega_2 — це коло із центром на прямій BCBC, що проходить через точки YY і QQ. Доведіть, що кола Ω1\Omega_1 та Ω2\Omega_2 перетинаються у двох фіксованих точках, які не залежать від вибору точки AA.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-011

Відбиття центра зовнівписаного кола та вписаний чотирикутник

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, а JJ — центр зовнівписаного кола, протилежного вершині AA. Образ точки JJ при симетрії відносно прямої BCBC позначимо через KK. Точки EE і FF лежать на прямих BJBJ і CJCJ відповідно так, що ∠EAB=∠CAF=90∘\angle EAB = \angle CAF = 90^\circ. Доведіть, що ∠FKE+∠FJE=180∘\angle FKE + \angle FJE = 180^\circ.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-006

Пряма INa і спільна пряма двох дотичних кіл

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC. Через SbS_b та ScS_c позначимо середини дуг ACAC та ABAB відповідно, що не містять третю вершину трикутника ABCABC, а через NaN_a позначимо середину дуги BACBAC (дуга BCBC, що містить вершину AA). Нехай ωb\omega_b — коло, що дотикається до прямої ABAB та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці SbS_b. Нехай ωc\omega_c — коло, що дотикається до прямої ACAC та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці ScS_c. Доведіть, що пряма INaIN_a та пряма, яка проходить через точку перетину кіл ωb\omega_b та ωc\omega_c, перетинаються на колі Ω\Omega, де через II позначено центр вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Європейський математичний кубокEMC-2023-003

Перетин прямих NF, DE та GM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки MM та NN — це середини відрізків BCBC та ABAB відповідно. Коло, побудоване на відрізку ABAB як на діаметрі, перетинає прямі BCBC, AMAM та ACAC у точках DD, EE та FF відповідно. Точка GG є серединою відрізка FCFC. Доведіть, що прямі NFNF, DEDE та GMGM перетинаються в одній точці.
7–10 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-005

Перетин перпендикулярів на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AC>BCAC > BC. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC, а rr — радіус кола ω\omega. Точка PP лежить на відрізку ACAC так, що BC=CPBC = CP, а точка SS — основа перпендикуляра, опущеного з PP на пряму ABAB. Нехай промінь BPBP перетинає ω\omega вдруге в точці DD, а точка QQ лежить на прямій SPSP так, що PQ=rPQ = r, причому точки S,P,QS, P, Q лежать на цій прямій саме в такому порядку. Нарешті, нехай пряма, проведена через AA перпендикулярно до CQCQ, перетинає пряму, проведену через BB перпендикулярно до DQDQ, у точці EE. Доведіть, що EE лежить на колі ω\omega.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-003

Два кола, що перетинаються, пряма і дотичні

Кола Ω1\Omega_1 і Ω2\Omega_2 різних радіусів перетинаються у двох точках, позначимо одну з них через PP. Змінна пряма ℓ\ell, що проходить через точку PP, перетинає в точці X1X_1 дугу кола Ω1\Omega_1, яка лежить зовні кола Ω2\Omega_2, та перетинає в точці X2X_2 дугу Ω2\Omega_2, яка лежить зовні кола Ω1\Omega_1. Нехай RR — це така точка на відрізку X1X2X_1X_2, що X1P=RX2X_1P = RX_2. Дотична до кола Ω1\Omega_1, що проходить через точку X1X_1, перетинає дотичну до кола Ω2\Omega_2, проведену через точку X2X_2, у точці TT. Доведіть, що пряма RTRT дотикається до фіксованого кола, яке не залежить від вибору прямої ℓ\ell.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-003

Рівність кутів CPM і DPL у паралелограмі

У паралелограмі ABCDABCD з гострим кутом AA на відрізку ADAD відмічено точку NN, а на відрізку CNCN — точку MM так, що AB=BM=CMAB = BM = CM. Точка KK симетрична точці NN відносно прямої MDMD. Пряма MKMK перетинає відрізок ADAD у точці LL. Нехай PP — спільна точка описаних кіл трикутників AMDAMD та CNKCNK, при цьому точки AA та PP лежать по один бік від прямої MKMK. Доведіть, що ∠CPM=∠DPL\angle CPM = \angle DPL.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-004

Середина сторони, центр вписаного кола і симетричні точки

У трикутнику ABCABC точка MM — середина сторони ABAB, а точка II — центр вписаного кола. Точка A1A_1 симетрична точці AA відносно прямої BIBI, а точка B1B_1 симетрична точці BB відносно прямої AIAI. Доведіть, що IN>IMIN > IM.
10–11 класиВекторний метод
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-012

Відображення центра описаного кола і конкурентність

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Нехай DD, EE і FF — образи точки OO при симетрії відносно прямих BCBC, CACA і ABAB відповідно. Доведіть, що прямі ADAD, BEBE і CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-013

Ізогональне спряження через симетрію відносно середини

Точка PP лежить усередині трикутника ABCABC, MM — середина сторони BCBC, а P′P' — точка, симетрична точці PP відносно MM. KK і HH — проєкції точки PP на прямі ABAB і ACAC відповідно, причому KM=HMKM = HM. Доведіть, що ∠PAB=∠CAP′\angle PAB = \angle CAP'.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-004

Точка, симетрична A відносно EF, на прямій BC

Дано трикутник ABCABC з інцентром II. Нехай DD — довільна точка на стороні BCBC. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої BIBI, перетинає відрізок CICI в точці EE. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої CICI, перетинає відрізок BIBI в точці FF. Доведіть, що точка, симетрична точці AA відносно прямої EFEF, належить прямій BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-004

Рівність сум сторін чотирикутників ADTX і CDYZ

Дано коло Γ\Gamma із центром у точці II. Опуклий чотирикутник ABCDABCD — описаний навколо кола Γ\Gamma. Коло ww — описане навколо трикутника AICAIC. Продовження відрізка BABA за точку AA перетинає коло ww у точці XX, продовження відрізка BCBC за точку CC перетинає коло ww у точці ZZ. Продовження відрізків ADAD і CDCD за точку DD перетинають коло ww у точках YY і TT відповідно. Доведіть, що AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC.
10–11 класиДотична кола
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2021-004

Колінеарність з паралельною хордою

Нехай AA, BB, CC і DD — точки на колі ω\omega такі, що ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Припустімо, що прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці EE такій, що AA лежить між BB і EE, а прямі BDBD і ACAC перетинаються в точці FF. Нехай X≠DX \neq D — точка на колі ω\omega така, що DXDX і EFEF паралельні. Нехай YY — образ точки DD при симетрії відносно прямої EFEF, і припустімо, що YY лежить усередині кола ω\omega. Доведіть, що точки AA, XX і YY лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-017

Коло через ортоцентр і відображення

Дано трикутник ABCABC. Позначимо його ортоцентр через HH. Визначимо ω\omega як коло через BB, CC і HH, а Γ\Gamma — як коло з діаметром AHAH. Нехай XX — друга точка перетину кіл ω\omega і Γ\Gamma, а відображенням кола Γ\Gamma відносно прямої AXAX є коло γ\gamma. Припустимо, що кола γ\gamma і ω\omega перетинаються знову в точці Y≠XY \neq X, а пряма AHAH і коло ω\omega перетинаються знову в точці Z≠HZ \neq H. Доведіть, що коло через AA, YY, ZZ проходить через середину відрізка BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-003

Фіксована точка на прямій через два інцентри

Дано трикутник ABCABC, у якому AB>BCAB > BC. Нехай DD — змінна точка на стороні BCBC. Нехай EE — така точка описаного кола трикутника ABCABC, яка лежить по другий бік від прямої BCBC, ніж точка AA, та для якої ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC. Нехай точка II — інцентр трикутника ABDABD, а точка JJ — інцентр трикутника ACEACE. Доведіть, що пряма IJIJ проходить через деяку фіксовану точку, що не залежить від розташування точки DD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-005

Точка на стороні тупокутного трикутника і вписане коло

Розглянемо трикутник ABCABC з кутом ∠BCA>90∘\angle BCA > 90^\circ. Описане коло Γ\Gamma трикутника ABCABC має радіус RR. Строго всередині відрізка ABAB існує точка PP така, що PB=PCPB = PC, а довжина відрізка PAPA дорівнює RR. Серединний перпендикуляр PBPB перетинає коло Γ\Gamma в точках DD та EE. Доведіть, що точка PP є центром вписаного кола трикутника CDECDE.
10–11 класиТеорема про тризуб
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-004

Нерівнобедрений трикутник з бісектрисою та точкою S

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола, а CNCN — бісектриса. Пряма CNCN удруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці MM. Пряма l∥ABl \parallel AB і дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC. Точка RR на прямій ll така, що CI⊥IRCI \perp IR. Описане коло трикутника MNRMNR удруге перетинає пряму IRIR у точці SS. Доведіть, що AS=BSAS = BS.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-001

Прямокутний трикутник, симетрії точок і описані кола

Трикутник ABCABC має прямий кут при вершині CC. Точка II — центр вписаного кола, CDCD — висота цього трикутника. Вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB у точках A1A_1, B1B_1 та C1C_1 відповідно. Нехай точки EE та FF — симетричні образи точки CC відносно прямих C1A1C_1A_1 та C1B1C_1B_1 відповідно, точки KK та LL — симетричні образи точки DD відносно прямих C1A1C_1A_1 та C1B1C_1B_1 відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників A1EIA_1EI, B1FIB_1FI та C1KLC_1KL перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-017

Ортоцентр і колінеарність відбиттів

Нехай ABCABC — трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай PP — довільна точка відрізка BCBC. Доведіть, що HH лежить на прямій, що проходить через відображення точки PP відносно прямих ABAB і ACAC, тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC прямокутний.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-020

Конкурентність прямих означає рівнобедреність трикутника

Коло з центром OO проходить через вершини BB і CC трикутника ABCABC і вдруге перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках C1C_1 і B1B_1 відповідно. Прямі AOAO, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці. Доведіть, що трикутник ABCABC рівнобедрений.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.